Гипотеза Ферма–Каталана

В теории чисел гипотеза Ферма –Каталана является обобщением Великой теоремы Ферма и гипотезы Каталана . Гипотеза утверждает, что уравнение

${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad }$

( 1 )

имеет только конечное число решений ( a , b , c , m , n , k ) с различными тройками значений ( am , bn ^{, ck} ) , где a , b , ^c — положительные взаимно простые целые числа, а m , n , k — положительные целые числа , удовлетворяющие условию

${\displaystyle {\frac {1}{м}}+{\frac {1}{н}}+{\frac {1}{к}}<1.}$

( 2 )

Неравенство относительно m , n и k является необходимой частью гипотезы. Без неравенства было бы бесконечно много решений, например, с k = 1 (для любых a , b , m и n и с c = a ^m + b ⁿ ) или с m , n и k, равными двум (для бесконечного множества известных пифагорейских троек ).

По состоянию на 2015 год известны следующие десять решений уравнения (1), которые удовлетворяют критериям уравнения (2): ^[1]

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$(для удовлетворения уравнения 2)${\displaystyle м>6}$

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}$

${\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}\;}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}$

${\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}$

Первое из них (1 ^m + 2 ³ = 3 ² ) является единственным решением, где один из a , b или c равен 1, согласно каталонской гипотезе , доказанной в 2002 году Предой Михайлеску . Хотя этот случай приводит к бесконечному числу решений (1) (поскольку можно выбрать любое m для m > 6), эти решения дают только одну тройку значений ( a ^m , b ⁿ , c ^k ).

Из теоремы Дармона–Гренвилля, которая использует теорему Фалтингса , известно , что для любого фиксированного выбора положительных целых чисел m , n и k, удовлетворяющих (2), существует лишь конечное число взаимно простых троек ( a ,  b ,  c ), решающих (1). ^{[2] [3] : стр. 64} Однако полная гипотеза Ферма–Каталана сильнее, поскольку она допускает изменение показателей степеней m , n и k .

Гипотеза abc подразумевает гипотезу Ферма–Каталана. ^[4]

Список результатов для невозможных комбинаций показателей см. в разделе Гипотеза Била#Частичные результаты . Гипотеза Била верна тогда и только тогда, когда все решения Ферма–Каталана имеют m = 2, n = 2 или k = 2.

• Суммы степеней , список связанных гипотез и теорем

• Совершенные силы: труды Пиллаи и их развитие. Вальдшмидт, М.