Резольвентный кубический

В алгебре резольвентный кубический многочлен — это один из нескольких различных, хотя и связанных, кубических многочленов, определяемых из монического многочлена четвертой степени :

${\displaystyle P(x)=x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

В каждом случае:

• Коэффициенты кубической резольвенты можно получить из коэффициентов P ( x ), используя только суммы, вычитания и умножения.
• Знание корней резольвентной кубической функции P ( x ) полезно для нахождения корней самой функции P ( x ) . Отсюда и название «резольвентная кубическая функция».
• Многочлен P ( x ) имеет кратный корень тогда и только тогда, когда его резольвента кубическая имеет кратный корень.

Предположим, что коэффициенты P ( x ) принадлежат полю k , характеристика которого отлична от  2 . Другими словами, мы работаем в поле, в котором 1 + 1 ≠ 0 . Всякий раз, когда упоминаются корни P ( x ) , они принадлежат некоторому расширению K поля k такому, что P ( x ) раскладывается на линейные множители в K [ x ] . Если k — поле Q рациональных чисел, то K может быть полем C комплексных чисел или полем Q алгебраических чисел .

В некоторых случаях понятие резольвентной кубической функции определяется только тогда, когда P ( x ) является квартикой в ​​подавленной форме, то есть когда a ₃  = 0 .

Обратите внимание, что четвертое и пятое определения, приведенные ниже, также имеют смысл и что связь между этими резольвентными кубиками и P ( x ) остается в силе, если характеристика k равна  2 .

Предположим, что P ( x ) является подавленной квартикой, то есть, что a ₃ = 0. Возможное определение резольвентной кубической функции P ( x ) таково: ^[1]

${\displaystyle R_{1}(y)=8y^{3}+8a_{2}y^{2}+(2{a_{2}}^{2}-8a_{0})y-{a_{ 1}}^{2}.}$

Происхождение этого определения лежит в применении метода Феррари для нахождения корней P ( x ) . Если быть точнее:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}+a_{2}x^{2}=-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow \left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}\right)^{2}=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}.\end{aligned}}}$

Добавьте новое неизвестное, y , к x ²  +  a ₂ /2 . Теперь у вас есть:

${\displaystyle {\begin{align}\left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}+y\right)^{2}&=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+2x^{2}y+a_{2}y+y^{2}\\&=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}.\end{align}}}$

Если это выражение является квадратом, то оно может быть только квадратом

${\displaystyle {\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}.}$

Но равенство

${\displaystyle \left({\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}\right)^{2}=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}}$

эквивалентно

${\displaystyle {\frac {{a_{1}}^{2}}{8y}}=-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}{\text{,}}}$

и это то же самое, что утверждение, что R ₁ ( y )  = 0.

Если y ₀ является корнем R ₁ ( y ) , то следствием вычислений, выполненных выше, является то, что корни P ( x ) являются корнями многочлена

${\displaystyle x^{2}-{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}+{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}$

вместе с корнями многочлена

${\displaystyle x^{2}+{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}.}$

Конечно, это не имеет смысла, если y0 = 0 _{, но} поскольку свободный член R1 ( y ) равен –a12 , 0 является корнем R1 ( y ) тогда и только тогда, когда a1 ₌ 0 , ^{и в} _этом случае корни P ( x ) _можно найти с помощью квадратной формулы .

Другое возможное определение ^[1] (все еще предполагая, что P ( x ) является подавленной квартикой) —

${\displaystyle R_{2}(y)=8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}}$

Происхождение этого определения похоже на предыдущее. На этот раз мы начнем с того, что сделаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow (x^{2}+y)^{2}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}+2yx^{2}+y^{2}\end{aligned}}}$

и вычисление, аналогичное предыдущему, показывает, что это последнее выражение является квадратом тогда и только тогда, когда

${\displaystyle 8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}=0{\text{.}}}$

Простой расчет показывает, что

${\displaystyle R_{2}\left(y+{\frac {a_{2}}{2}}\right)=R_{1}(y).}$

Другое возможное определение ^{[2] [3]} (опять же, предполагая, что P ( x ) является подавленной квартикой) —

${\displaystyle R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y-{a_{1}}^{2}{\text{.}}}$

Происхождение этого определения лежит в другом методе решения уравнений четвертой степени, а именно в методе Декарта . Если вы попытаетесь найти корни P ( x ), выразив его как произведение двух монических квадратичных полиномов x ²  +  αx  +  β и x ²  –  αx  +  γ , то

${\displaystyle P(x)=(x^{2}+\alpha x+\beta)(x^{2}-\alpha x+\gamma)\Longleftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=a_{2}\\\альфа (-\beta +\gamma)=a_{1}\\\бета \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.}$

Если существует решение этой системы с α  ≠ 0 (обратите внимание, что если a ₁  ≠ 0 , то это автоматически верно для любого решения), предыдущая система эквивалентна

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma =a_{2}+\alpha ^{2}\\-\beta +\gamma ={\frac {a_{1}}{\alpha }}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.}$

Это является следствием первых двух уравнений, которые затем

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}-{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right)}$

и

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}+{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right).}$

После замены в третьем уравнении β и γ этими значениями получаем, что

${\displaystyle \left(a_{2}+\alpha ^{2}\right)^{2}-{\frac {{a_{1}}^{2}}{\alpha ^{2}}}=4a_{0}{\text{,}}}$

и это эквивалентно утверждению, что α ² является корнем R ₃ ( y ) . Итак, снова, знание корней R ₃ ( y ) помогает определить корни P ( x ) .

Обратите внимание, что

${\displaystyle R_{3}(y)=R_{1}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}}$

Еще одно возможное определение — ^[4]

${\displaystyle R_{4}(y)=y^{3}-a_{2}y^{2}+(a_{1}a_{3}-4a_{0})y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}-a_{0}{a_{3}}^{2}.}$

Фактически, если корни P ( x ) равны α ₁ , α ₂ , α ₃ и α ₄ , то

${\displaystyle R_{4}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}}$

факт следует из формул Виета . Другими словами, R ₄ ( y ) является моническим многочленом, корни которого составляют α ₁ α ₂ + α ₃ α ₄ , α ₁ α ₃ + α ₂ α ₄ и α ₁ α ₄ + α ₂ α ₃ .

Легко видеть, что

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4})=(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{,}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{.}}}$

Следовательно, P ( x ) имеет кратный корень тогда и только тогда, когда R ₄ ( y ) имеет кратный корень. Точнее, P ( x ) и R ₄ ( y ) имеют одинаковый дискриминант .

Следует отметить, что если P ( x ) — подавленный полином, то

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{4}(y)&=y^{3}-a_{2}y^{2}-4a_{0}y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}\\&=R_{2}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}}$

Еще одно определение: ^{[5] [6]}

${\displaystyle R_{5}(y)=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}+a_{3}a_{1}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}-a_{3}a_{2}a_{1}+{a_{3}}^{2}a_{0}{\text{.}}}$

Если, как и выше, корнями P ( x ) являются α ₁ , α ₂ , α ₃ и α ₄ , то

${\displaystyle R_{5}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}}$

опять же как следствие формул Виеты . Другими словами, R ₅ ( y ) является приведенным многочленом, корни которого: ( α ₁ + α ₂ )( α ₃ + α ₄ ) , ( α ₁ + α ₃ )( α ₂ + α ₄ ) и ( α ₁ + α ₄ )( α ₂ + α ₃ ) .

Легко видеть, что

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})=-(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}}$

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{,}}}$

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{.}}}$

Следовательно, как и в случае с R ₄ ( y ) , P ( x ) имеет кратный корень тогда и только тогда, когда R ₅ ( y ) имеет кратный корень. Точнее, P ( x ) и R ₅ ( y ) имеют одинаковый дискриминант. Это также является следствием того факта, что R ₅ ( y  +  a ₂ )  =  - R ₄ (- y ) .

Обратите внимание, что если P ( x ) — подавленный полином, то

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{5}(y)&=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}\\&=-R_{3}(-y)\\&=-R_{1}\left(-{\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}}$

Выше было объяснено, как R1(y) , R2(y) и R3(y) могут быть использованы для нахождения корней P ( x ) , если этот многочлен подавлен. В общем случае нужно просто найти корни подавленного многочлена P ( x  −  a ₃ /4) . Для каждого корня  x ₀ этого многочлена, x ₀  −  a ₃ /4 является корнем  P ( x ) .

Если многочлен четвертой степени P ( x ) приводим в k [ x ] , то он является произведением двух квадратных многочленов или произведением линейного многочлена на кубический многочлен. Эта вторая возможность имеет место тогда и только тогда, когда P ( x ) имеет корень в  k . Чтобы определить, можно ли выразить P ( x ) как произведение _двух квадратных многочленов, предположим для простоты, что P ( x ) является подавленным многочленом. Тогда выше было замечено, что если резольвентная кубическая R 3 ( y ) имеет ненулевой корень вида α ² , для некоторого α  ∈  k , то такое разложение существует.

Это можно использовать для доказательства того, что в R [ x ] каждый многочлен четвертой степени без действительных корней может быть выражен как произведение двух квадратных многочленов. Пусть P ( x ) — такой многочлен. Мы можем предположить без потери общности , что P ( x ) является моническим. Мы также можем предположить без потери общности, что это приведенный многочлен, потому что P ( x ) может быть выражен как произведение двух квадратных многочленов тогда и только тогда, когда P ( x  −  a ₃ /4) может и этот многочлен является приведенным. Тогда R ₃ ( y )  =  y ³  + 2 a ₂ y ²  + ( a ₂ ²  − 4 a ₀ ) y  −  a ₁ ² . Есть два случая:

• Если a ₁  ≠ 0 , то R ₃ (0)  =  − a ₁ ²  < 0. Поскольку R ₃ ( y ) > 0 , если y достаточно велико, то по теореме о промежуточном значении R ₃ ( y ) имеет корень y ₀ с y ₀  > 0. Таким образом, мы можем взять α  =  √ y ₀ .
• Если a ₁  =  0 , то R ₃ ( y )  =  y ³  + 2 a ₂ y ²  + ( a ₂ ²  − 4 a ₀ ) y . Корни этого многочлена равны  0 , а корни квадратного многочлена  y ²  + 2 a ₂ y  +  a ₂ ²  − 4 a ₀ . Если a ₂ ²  − 4 a ₀  < 0 , то произведение двух корней этого многочлена меньше  0 , и поэтому он имеет корень больше  0 (который, как оказалось, равен − a ₂  + 2 √ a ₀ ), и мы можем взять α как квадратный корень этого корня. В противном случае a ₂ ²  − 4 a ₀  ≥ 0 , и тогда,

${\displaystyle P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right){\text{.}}}$

В более общем случае, если k — действительное замкнутое поле , то любой многочлен четвертой степени без корней в k может быть выражен как произведение двух квадратичных многочленов от k [ x ] . Действительно, это утверждение может быть выражено в логике первого порядка , и любое такое утверждение, которое справедливо для R, также справедливо для любого действительного замкнутого поля.

Аналогичный подход можно использовать для получения алгоритма ^[2] для определения того, является ли полином четвертой степени P ( x ) ∈  Q [ x ] приводимым, и если да, то как выразить его в виде произведения полиномов меньшей степени. Опять же, предположим, что  P ( x ) является моническим и подавленным. Тогда  P ( x ) приводим тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• Многочлен P ( x ) имеет рациональный корень (это можно определить с помощью теоремы о рациональных корнях ).
• Резольвентная кубическая функция  R ₃ ( y ) имеет корень вида α ² для некоторого ненулевого рационального числа  α (опять же, это можно определить с помощью теоремы о рациональных корнях ).
• Число a ₂ ²  − 4 a ₀ является квадратом рационального числа, причем a ₁  =  0 .

Действительно:

• Если P ( x ) имеет рациональный корень r , то P ( x ) является произведением x  −  r на кубический многочлен из Q [ x ] , который можно определить с помощью деления многочленов в столбик или по правилу Руффини .
• Если существует рациональное число  α  ≠ 0 такое, что α ² является корнем  R ₃ ( y ) , то выше было показано, как выразить  P ( x ) как произведение двух квадратных многочленов от Q [ x ] .
• Наконец, если выполняется третье условие и если δ  ∈  Q таково, что δ ²  = a ₂ ²  − 4 a ₀ , то P ( x )  =  ( x ²  + ( a ₂  +  δ )/2)( x ²  + ( a ₂  −  δ )/2) . 

Резольвентная кубика неприводимого квартического полинома P ( x ) может быть использована для определения его группы Галуа G ; то есть группы Галуа поля расщепления P ( x ) . Пусть  m будет степенью над k поля расщепления резольвентной кубики (это может быть либо R ₄ ( y ) , либо R ₅ ( y ) ; они имеют одно и то же поле расщепления). Тогда группа  G является подгруппой симметрической группы S ₄ . Точнее: ^[4]

• Если m = 1 (то есть если резольвента кубическая разлагается на линейные множители по  k ), то  G является группой { e , (12)(34), (13)(24), (14)(23) }.
• Если m = 2 (то есть, если резольвентная кубика имеет один и, с точностью до кратности , только один корень в  k ), то для определения  G можно определить, является ли P ( x ) по -прежнему неприводимой после присоединения к полю k корней резольвентной кубики. Если нет, то G является циклической группой порядка  4; точнее, это одна из трех циклических подгрупп  S _{4 ,} порожденных любым из ее шести 4 -циклов. Если она по-прежнему неприводима, то G является одной из трех подгрупп  S ₄ порядка  8 , каждая из которых изоморфна диэдральной группе порядка  8 .
• Если m = 3 , то G — знакопеременная группа A ₄ .
• Если m = 6 , то G — это вся группа S4 _.

• Резольвента (теория Галуа)