Лакунарная функция

В анализе лакунарная функция , также известная как лакунарный ряд , — это аналитическая функция , которая не может быть аналитически продолжена нигде за пределами радиуса сходимости , внутри которого она определена степенным рядом . Слово лакунарный происходит от слова lacuna ( мн. ч. lacunae), что означает пробел или вакансия.

Первые известные примеры лакунарных функций включали ряды Тейлора с большими зазорами, или лакунами, между ненулевыми коэффициентами их разложений. Более поздние исследования также сосредоточили внимание на рядах Фурье с аналогичными зазорами между ненулевыми коэффициентами. Существует небольшая двусмысленность в современном использовании термина лакунарный ряд , который может относиться как к рядам Тейлора, так и к рядам Фурье.

Выберите целое число . Рассмотрим следующую функцию, определенную простым степенным рядом:${\displaystyle а\geq 2}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{a^{n}}=z+z^{a}+z^{a^{2}}+z ^{a^{3}}+z^{a^{4}}+\cdots \,}$

Степенной ряд сходится локально равномерно на любой открытой области | z | < 1. Это можно доказать, сравнив f с геометрическим рядом , который абсолютно сходится при | z | < 1. Таким образом , f является аналитической на открытом единичном круге. Тем не менее, f имеет особенность в каждой точке на единичной окружности и не может быть аналитически продолжена за пределы открытого единичного круга, как показывает следующее рассуждение.

Очевидно, что f имеет особенность при z = 1, поскольку

${\displaystyle f(1)=1+1+1+\cdots \,}$

является расходящимся рядом. Но если z допускается недействительным, возникают проблемы, поскольку

${\displaystyle f\left(z^{a}\right)=f(z)-z\qquad f\left(z^{a^{2}}\right)=f(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)=f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)=f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}}$

мы можем видеть, что f имеет особенность в точке z, когда z ^a = 1, а также когда z ^{a 2} = 1. По индукции, предложенной приведенными выше уравнениями, f должна иметь особенность в каждом из корней степени ⁿ из единицы для всех натуральных чисел n. Множество всех таких точек плотно на единичной окружности, поэтому при непрерывном расширении каждая точка на единичной окружности должна быть особенностью f. ^[1]

Очевидно, аргумент, выдвинутый в простом примере, показывает, что некоторые ряды могут быть построены для определения лакунарных функций. Что не так очевидно, так это то, что промежутки между степенями z могут расширяться гораздо медленнее, и полученный ряд все равно будет определять лакунарную функцию. Чтобы сделать это понятие более точным, необходимы некоторые дополнительные обозначения.

Мы пишем

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}z^{\lambda _{k}}=\sum _{n=1}^{\infty }b_ {n}z^{n}\,}$

где b _n = a _{k ,} когда n = λ _k , и b _n  = 0 в противном случае. Участки, где коэффициенты b _n во второй серии все равны нулю, являются пробелами в коэффициентах. Монотонно возрастающая последовательность положительных натуральных чисел {λ _k } определяет степени z, которые находятся в степенном ряду для f ( z ).

Теперь можно сформулировать теорему Адамара . ^[2] Если

${\displaystyle {\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{k-1}}}>1+\delta \,}$

для всех k , где δ > 0 — произвольная положительная константа, то f ( z ) — лакунарная функция, которая не может быть продолжена за пределы своего круга сходимости. Другими словами, последовательность {λ _k } не обязательно должна расти так быстро, как 2 ^k , чтобы f ( z ) была лакунарной функцией — она просто должна расти так быстро, как некоторая геометрическая прогрессия (1 + δ) ^k . Говорят, что ряд, для которого λ _k растёт так быстро, содержит пробелы Адамара . См. теорему Островского–Адамара о пробелах .

Математики также исследовали свойства лакунарных тригонометрических рядов.

${\displaystyle S((\lambda _{k})_{k},\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k},\theta ,\omega )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta +\omega )\,}$

для которых λ _k находятся далеко друг от друга. Здесь коэффициенты a _k являются действительными числами. В этом контексте внимание было сосредоточено на критериях, достаточных для того, чтобы гарантировать сходимость тригонометрического ряда почти всюду (то есть почти для каждого значения угла θ и коэффициента искажения ω ).

• Колмогоров показал, что если последовательность { λ _k } содержит пробелы Адамара, то ряд S ( λ _k ,  θ ,  ω ) сходится (расходится) почти всюду, когда

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}}$

сходится (расходится).

• Зигмунд показал при том же условии, что S ( λ _k ,  θ ,  ω ) не является рядом Фурье, представляющим интегрируемую функцию , когда эта сумма квадратов a k _{является} расходящимся рядом. ^[3]

Более глубокое понимание основного вопроса, который мотивирует исследование лакунарных степенных рядов и лакунарных тригонометрических рядов, можно получить, повторно рассмотрев простой пример выше. В этом примере мы использовали геометрический ряд

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\,}$

и М-тест Вейерштрасса , чтобы продемонстрировать, что простой пример определяет аналитическую функцию на открытом единичном круге.

Сам геометрический ряд определяет аналитическую функцию, которая сходится всюду на замкнутом единичном круге, за исключением случая z = 1, где g ( z ) имеет простой полюс. ^[4] И, поскольку z  =  e ^iθ для точек на единичной окружности, геометрический ряд становится

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)\,}$

при определенном z , | z | = 1. С этой точки зрения математики, исследующие лакунарные ряды, задаются вопросом: насколько сильно должна быть искажена геометрическая прогрессия — путем вырезания больших участков и введения коэффициентов a _k  ≠ 1 — прежде чем полученный математический объект преобразуется из красивой гладкой мероморфной функции в нечто, демонстрирующее примитивную форму хаотического поведения?

• Аналитическое продолжение
• Шолем Мандельбройт
• Бенуа Мандельброт
• Множество Мандельброта
• Теорема Фабри о зазоре
• Теорема Островского–Адамара о разрыве

• Катуси Фукуяма и Сигеру Такахаси, Труды Американского математического общества , т. 127 № 2 стр. 599–608 (1999), «Центральная предельная теорема для лакунарных рядов».
• Шолем Мандельбройт и Эдвард Рой Сесил Майлз, Брошюра Института Райса , т. 14, № 4, стр. 261–284 (1927), «Лакунарные функции».
• ET Whittaker и GN Watson , Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge University Press, 1927.

• Фукуяма и Такахаши, 1999 г. Статья (PDF) под названием «Центральная предельная теорема для лакунарных рядов » из AMS.
• Мандельбройт и Майлз, 1927 г. Статья (PDF) под названием «Лакунарные функции » из Университета Райса.
• Статья MathWorld о лакунарных функциях