Заторможенный фермион
Дискретизация фермионов с четырьмя удвоителями

В решеточной теории поля , заторможенные фермионы (также известные как фермионы Когута-Сусскинда ) являются фермионной дискретизацией, которая уменьшает число фермионных удвоителей с шестнадцати до четырех. Они являются одними из самых быстрых решеточных фермионов, когда дело доходит до моделирования, и они также обладают некоторыми приятными особенностями, такими как остаточная киральная симметрия , что делает их очень популярными в решеточных вычислениях КХД . Заторможенные фермионы были впервые сформулированы Джоном Когутом и Леонардом Сасскиндом в 1975 году [1] и позже были обнаружены эквивалентными дискретизированной версии фермиона Дирака-Кэлера . [2]

Построение заторможенных фермионов

Однокомпонентная основа

Наивно дискретизированное действие Дирака в евклидовом пространстве-времени с решеточным шагом и полями Дирака в каждой точке решетки, индексированным как , принимает вид а {\displaystyle а} ψ н {\displaystyle \psi _{n}} н = ( н 1 , н 2 , н 3 , н 4 ) {\displaystyle n = (n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})}

С = а 4 ∑ н ∈ Λ ψ ¯ н ( ∑ μ = 1 4 γ μ ψ н + μ ^ − ψ н − μ ^ 2 а + м ψ н ) . {\displaystyle S=a^{4}\sum _{n\in \Lambda}{\bar {\psi}}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\gamma _{\mu}{\frac {\psi _{n+{\hat {\mu}}}-\psi _{n-{\hat {\mu}}}}{2a}}+m\psi _{n}{\bigg)}.}

Из этого строятся ступенчатые фермионы путем выполнения ступенчатого преобразования в новый базис полей, определяемый формулой [3] ψ н ′ {\displaystyle \psi _{n}'}

ψ н = γ 1 н 1 γ 2 н 2 γ 3 н 3 γ 4 н 4 ψ н ′ . {\displaystyle \psi _{n}=\gamma _{1}^{n_{1}} \gamma _{2}^{n_{2}}\gamma _{3}^{n_{3}}\ гамма _{4}^{n_{4}}\psi '_{n}.}

Поскольку матрицы Дирака квадратны к тождеству, это зависящее от положения преобразование смешивает компоненты спина фермиона таким образом, что оно повторяется каждые два шага решетки. Его эффект заключается в диагонализации действия в индексах спинора, что означает, что действие в конечном итоге разделяется на четыре отдельные части, по одной для каждого компонента спинора Дирака. Обозначая один из этих компонентов как , который является переменной Грассмана без спиновой структуры, остальные три компонента можно отбросить, что дает однокомпонентное ступенчатое действие χ н {\displaystyle \chi_{n}}

С = а 4 ∑ н χ ¯ н ( ∑ μ = 1 4 η μ ( н ) χ н + μ ^ − χ н − μ ^ 2 а + м χ н ) , {\displaystyle S=a^{4}\sum _{n}{\bar {\chi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\eta _{\mu }(n){\frac {\chi _{n+{\hat {\mu }}}-\chi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\chi _{n}{\bigg )},}

где — единичные векторы в направлении, а функция знака ступенчатых преобразований задается выражением . Преобразование ступенчатых преобразований является частью более широкого класса преобразований, удовлетворяющих . Вместе с необходимым условием согласованности на плакетах все эти преобразования эквивалентны преобразованию ступенчатых преобразований. [4] Из-за удвоения фермионов исходное наивное действие описывало шестнадцать фермионов, но, отбросив три из четырех копий, это новое действие описывает только четыре. μ ^ {\displaystyle {\шляпа {\му }}} μ {\displaystyle \мю} η я ( н ) = ( − 1 ) ∑ дж < я н дж {\displaystyle \eta _{i}(n)=(-1)^{\sum _{j<i}n_{j}}} ψ н → А н ψ н {\displaystyle \psi _{n}\rightarrow A_{n}\psi _{n}} А н † γ μ А н + μ ^ = Δ μ ( н ) ∈ У ( 1 ) ⊗ 4 {\displaystyle A_{n}^{\dagger }\gamma _{\mu }A_{n+{\hat {\mu }}} =\Delta _ {\mu }(n)\in U(1)^{ \otimes 4}}

Спин-вкусовая основа

Чтобы явно показать, что действие однокомпонентного ступенчатого фермиона описывает четыре фермиона Дирака, требуется заблокировать решетку в гиперкубы и переосмыслить поля Грассмана в шестнадцати узлах гиперкуба как шестнадцать степеней свободы четырех фермионов. По аналогии с использованием аромата в физике элементарных частиц эти четыре фермиона называются различными вкусами фермионов. Заблокированные узлы решетки индексируются как , в то время как для каждого из них внутренние узлы гиперкуба индексируются как , векторные компоненты которых равны либо нулю, либо единице. В этой нотации исходный вектор решетки записывается как . Матрицы используются для определения спин-вкусового базиса ступенчатого фермиона [5] час μ {\displaystyle h_{\mu }} с μ {\displaystyle s_{\mu }} н μ = 2 час μ + с μ {\displaystyle n_{\mu }=2h_{\mu }+s_{\mu }} Г ( с ) = γ 1 с 1 γ 2 с 2 γ 3 с 3 γ 4 с 4 {\displaystyle \Gamma ^{(s)}=\gamma _{1}^{s_{1}}\gamma _{2}^{s_{2}}\gamma _{3}^{s_{3} }\гамма _{4}^{s_{4}}}

ψ т ( час ) α = 1 8 ∑ с Г α т ( с ) χ ( 2 час + с ) ,                   ψ ¯ т ( час ) α = 1 8 ∑ с χ ¯ ( 2 час + с ) ( Г ( с ) † ) т α . {\displaystyle \psi ^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\sum _{s}\Gamma _{\alpha t}^{(s)}\chi (2h+s),\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\sum _{s}{\bar {\chi }}(2h+s)(\Gamma ^{(s)\dagger })_{t\alpha }.}

Индекс вкуса пробегает по четырем вкусам, в то время как индекс спина пробегает по четырем компонентам спина. Это изменение базиса превращает однокомпонентное действие на решетке с интервалом в действие спина-вкуса с эффективным интервалом решетки, заданным как т {\displaystyle т} α {\displaystyle \альфа} а {\displaystyle а} б = 2 а {\displaystyle b=2a}

С = б 4 ∑ час ψ ¯ н { ∑ μ [ ( γ μ ⊗ 1 ) ∂ μ + б 2 ( γ 5 ⊗ γ 5 γ μ Т ) ◻ μ ] + м ( 1 ⊗ 1 ) } ψ час . {\displaystyle S=b^{4}\sum _{h}{\bar {\psi }}_{n}{\bigg \{}\sum _{\mu }[(\gamma _{\mu }\otimes 1)\partial _{\mu }+{\tfrac {b}{2}}(\gamma _{5}\otimes \gamma _{5}\gamma _{\mu }^{T})\square _{\mu }]+m(1\otimes 1){\bigg \}}\psi _{h}.}

Здесь и являются сокращениями для симметрично дискретизированной производной и лапласиана , соответственно. Между тем, тензорная нотация разделяет матрицы спина и вкуса как . Поскольку кинетические и массовые члены диагональны в индексах вкуса, действие описывает четыре вырожденных фермиона Дирака . Они взаимодействуют друг с другом в так называемых взаимодействиях смешивания вкуса через второй член, который является нерелевантным оператором размерности пять, который исчезает в пределе континуума . Это действие очень похоже на действие, построенное с использованием четырех фермионов Вильсона, с единственным отличием в структуре тензора второго члена, которая для фермионов Вильсона является диагональю спина и вкуса . ∂ μ {\displaystyle \partial _{\mu }} ◻ μ {\displaystyle \square _{\mu }} [ ( A ⊗ B ) ψ n ] t ( h ) α = A α β B t t ′ ψ t ′ ( h ) β {\displaystyle [(A\otimes B)\psi _{n}]^{t}(h)_{\alpha }=A_{\alpha }{}^{\beta }B^{t}{}_{t'}\psi ^{t'}(h)_{\beta }} ( 1 ⊗ 1 ) {\displaystyle (1\otimes 1)}

Ключевым свойством ступенчатых фермионов, не свойственным некоторым другим фермионам решетки, таким как фермионы Вильсона, является то, что они имеют остаточную хиральную симметрию в безмассовом пределе. Остаточная симметрия описывается в базисе спин-вкуса следующим образом:

ψ n → e i α γ 5 ⊗ γ 5 ψ n ,               ψ ¯ n → ψ ¯ e i α γ 5 ⊗ γ 5 . {\displaystyle \psi _{n}\rightarrow e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}\psi _{n},\ \ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}_{n}\rightarrow {\bar {\psi }}e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}.}

Наличие этой остаточной симметрии делает ступенчатые фермионы особенно полезными для определенных приложений, поскольку они могут описывать спонтанное нарушение симметрии и аномалии . Симметрия также защищает безмассовые фермионы от приобретения массы при перенормировке .

Заторможенные фермионы калибруются в однокомпонентном действии путем вставки полей связей в действие, чтобы сделать его калибровочно-инвариантным таким же образом, как это делается для наивного действия решетки Дирака. Этот подход не может быть реализован в действии спин-вкус напрямую. Вместо этого взаимодействующее однокомпонентное действие должно использоваться вместе с модифицированным базисом спин-вкус , где линии Вильсона вставляются между различными точками решетки внутри гиперкуба, чтобы гарантировать калибровочную инвариантность. [6] Результирующее действие не может быть выражено в замкнутой форме, но может быть расширено по степеням шага решетки, что приводит к обычному взаимодействующему действию Дирака для четырех фермионов вместе с бесконечной серией нерелевантных фермионных билинейных операторов, которые исчезают в пределе континуума. ψ t ( h ) α {\displaystyle \psi ^{t}(h)_{\alpha }}

Фермионы, заторможенные в импульсном пространстве

Ошеломленные фермионы также могут быть сформулированы в импульсном пространстве путем преобразования однокомпонентного действия в пространство Фурье и разбиения зоны Бриллюэна на шестнадцать блоков. Смещение их в начало координат дает шестнадцать копий однокомпонентного фермиона, импульсы которого простираются на половину диапазона зоны Бриллюэна . Их можно сгруппировать в матрицу, которая после унитарного преобразования и перемасштабирования импульса , чтобы гарантировать, что импульсы снова пробегают весь диапазон Бриллюэна, дает действие ошеломленного фермиона в импульсном пространстве [7] − π / 2 ≤ k μ ≤ π / 2 {\displaystyle -\pi /2\leq k_{\mu }\leq \pi /2} 4 × 4 {\displaystyle 4\times 4} [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]}

S = ∫ − π π d 4 p ( 2 π ) 4 ψ ¯ ( p ) [ 2 i ∑ μ sin ⁡ p μ 2 ( γ μ ⊗ 1 ) + 2 m ( 1 ⊗ 1 ) ] ψ ( p ) . {\displaystyle S=\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\bar {\psi }}(p){\bigg [}2i\sum _{\mu }\sin {\tfrac {p_{\mu }}{2}}(\gamma _{\mu }\otimes 1)+2m(1\otimes 1){\bigg ]}\psi (p).}

Это может быть преобразовано обратно в позиционное пространство посредством обратного преобразования Фурье. В отличие от действия спин-вкус, это действие не смешивает компоненты вкуса вместе, по-видимому, давая действие, которое полностью разделяет четыре фермиона. Поэтому оно имеет полную хиральную группу симметрии. Однако это достигается только за счет локальности , где теперь оператор Дирака позиционного пространства соединяет точки решетки, которые находятся произвольно далеко друг от друга, а не те, которые ограничены гиперкубом. Этот вывод также виден в пропагаторе , который разрывен на краях зоны Бриллюэна. U ( 4 ) ⊗ U ( 4 ) {\displaystyle U(4)\otimes U(4)}

Формулировки в импульсном пространстве и позиционном пространстве различаются, поскольку они используют разное определение вкуса, при этом определение импульсного пространства не соответствует локальному определению в позиционном пространстве. Эти два определения становятся эквивалентными только в пределе континуума . Киральная симметрия сохраняется, несмотря на возможность моделирования одного фермиона импульсного пространства, поскольку локальность была одним из предположений теоремы Нильсена–Ниномии , определяющей, испытывает ли теория удвоение фермионов. Потеря локальности затрудняет использование этой формулировки для моделирования.

Моделирование заторможенных фермионов

Основная проблема с моделированием ступенчатых фермионов заключается в том, что различные вкусы смешиваются из-за термина смешивания вкусов. Если бы не было смешивания между вкусами, решеточные моделирования могли бы легко распутать различные вклады от различных вкусов, чтобы в конечном итоге получить результаты для процессов, включающих один фермион. Вместо этого смешивание вкусов вносит ошибки дискретизации , которые трудно учесть.

Первоначально эти ошибки дискретизации, порядка , были необычно большими по сравнению с другими фермионами решетки, что делало ступенчатые фермионы непопулярными для моделирования. Основным методом уменьшения этих ошибок является выполнение улучшения Symanzik, при котором нерелевантные операторы добавляются к действию с их коэффициентами, настроенными для отмены ошибок дискретизации. Первым таким действием было действие ASQTAD, которое было улучшено после анализа взаимодействий обмена вкусами в одной петле для дальнейшего устранения ошибок с использованием размывания поля связи. Это привело к значительно улучшенному действию ступенчатых кварков (HISQ), и оно составляет основу современных симуляций ступенчатых фермионов. [8] Поскольку моделирование выполняется с использованием однокомпонентного действия, моделирование ступенчатых фермионов происходит очень быстро, поскольку для этого требуется моделирование только однокомпонентных грассмановых переменных, а не четырехкомпонентных спиноров. Основной код и калибровочные ансамбли, используемые для ступенчатых фермионов, получены в результате сотрудничества MILC. [9] O ( a 2 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})} O ( a 2 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}

Преимущество ступенчатых фермионов перед некоторыми другими решеточными фермионами в том, что остаточная хиральная симметрия защищает моделирование от исключительных конфигураций, которые являются конфигурациями калибровочных полей, которые приводят к малым собственным значениям оператора Дирака , что затрудняет численное обращение. Степенные фермионы защищены от этого, поскольку их оператор Дирака является антиэрмитовым , поэтому его собственные значения входят в комплексно-сопряженные пары для вещественных . Это гарантирует, что детерминант Дирака является вещественным и положительным для ненулевых масс. Отрицательные или мнимые детерминанты проблематичны во время моделирования Монте-Карло с использованием цепи Маркова , поскольку детерминант присутствует в весе вероятности. m ± i λ {\displaystyle m\pm i\lambda } λ {\displaystyle \lambda }

Трюк с корнем четвертой степени

В пределе континуума оператор Дирака для фермионов сводится к оператору Дирака для четырехкратного континуума , поэтому его собственные значения вырождены в четыре раза, следовательно , . Это вырождение нарушается смешиванием вкусов при ненулевых расстояниях решетки , хотя моделирование показывает, что собственные значения все еще примерно сгруппированы в группы по четыре. Это мотивирует трюк с четвертым корнем , когда один фермион моделируется путем замены определителя оператора Дирака с четырьмя корнями в статистической сумме D = D 1 ⊗ 1 {\displaystyle D=D_{1}\otimes 1} [ det D ] 1 / 4 = det D 1 {\displaystyle [\det D]^{1/4}=\det D_{1}} a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}

∫ D U det [ D stag ] e − S gauge           →           ∫ D U ( det [ D stag ] ) 1 / 4 e − S gauge . {\displaystyle \int {\mathcal {D}}U\det[D_{\text{stag}}]e^{-S_{\text{gauge}}}\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \int {\mathcal {D}}U(\det[D_{\text{stag}}])^{1/4}e^{-S_{\text{gauge}}}.}

Полученный фермион называется корневым ступенчатым фермионом и используется в большинстве симуляций ступенчатых фермионов, в том числе в сотрудничестве MILC. Теоретическая проблема использования корневых ступенчатых фермионов заключается в том, что неясно, дают ли они правильный предел континуума, то есть изменяет ли укоренение класс универсальности теории. [10] Если это так, то нет никаких оснований предполагать, что корневые ступенчатые фермионы хороши для описания континуальной теории поля. Класс универсальности обычно определяется размерностью теории и тем, каким симметриям она удовлетворяет. Проблема с корневыми ступенчатыми фермионами заключается в том, что их можно описать только нелокальным действием, для которого классификация универсальности больше не применима. Поскольку нелокальность подразумевает нарушение унитарного , корневые ступенчатые фермионы также нефизичны при ненулевых расстояниях решетки, хотя это не является проблемой, если нелокальность исчезает в континууме. Было обнаружено, что при разумных предположениях трюк с четвертым корнем определяет перенормируемую теорию, которая во всех порядках теории возмущений воспроизводит локальную унитарную теорию с правильным числом легких кварков в континууме. Остается открытым вопрос, верно ли это и непертурбативно , однако теоретические аргументы [11] и численные сравнения с другими решеточными фермионами указывают на то, что корневые ступенчатые фермионы принадлежат к правильному классу универсальности. [12]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Когут, С.; Сасскинд , Л. (1975). «Гамильтонова формулировка решеточных калибровочных теорий Вильсона». Phys. Rev. D. 11 ( 2): 395–408. Bibcode :1975PhRvD..11..395K. doi :10.1103/PhysRevD.11.395.
  2. ^ Бехер, П.; Йоос, Х. (1982). «Уравнение Дирака-Келера и фермионы на решетке». Zeitschrift für Physik C. 15 (4): 343–365. Бибкод : 1982ZPhyC..15..343B. дои : 10.1007/BF01614426. S2CID  121826544.
  3. ^ Смит, Ян (2002). "6". Введение в квантовые поля на решетке. Cambridge Lecture Notes in Physics. Кембридж: Cambridge University Press. стр. 160–161. doi : 10.1017/CBO9780511583971. hdl : 20.500.12657/64022. ISBN 9780511583971. S2CID  116214756.
  4. ^ Монтвей, И.; Манстер, Г. (1994). "4". Квантовые поля на решетке . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 197–198. doi :10.1017/CBO9780511470783. ISBN 9780511470783. S2CID  118339104.
  5. ^ Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "10". Квантовая хромодинамика на решетке: Вводная презентация . Lecture Notes in Physics 788. Springer. стр. 243–248. doi :10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3642018497.
  6. ^ DeGrand, T.; DeTar, C. (2006). "6". Решеточные методы для квантовой хромодинамики . World Scientific Publishing. стр. 117–118. Bibcode :2006lmqc.book.....D. doi :10.1142/6065. ISBN 978-9812567277.
  7. ^ Rothe, HJ (2005). "4". Теории решеточных калибровок: Введение. World Scientific Lecture Notes in Physics: Volume 43. Vol. 82. World Scientific Publishing. pp. 69–73. doi :10.1142/8229. hdl :20.500.12657/50492. ISBN 978-9814365857.
  8. ^ Follana, E.; et al. (HPQCD, UKQCD) (2007). "Высоко улучшенные ступенчатые кварки на решетке с приложениями к физике очарования". Phys. Rev. D. 75 ( 5): 054502. arXiv : hep-lat/0610092 . Bibcode : 2007PhRvD..75e4502F. doi : 10.1103/PhysRevD.75.054502. S2CID  119506250.
  9. ^ Базавов, А.; и др. (MILC Collaboration) (2013). "Решеточные ансамбли КХД с четырьмя ароматами высоко улучшенных шахматных кварков". Phys. Rev. D. 87 ( 5): 054505. arXiv : 1212.4768 . Bibcode : 2013PhRvD..87e4505B. doi : 10.1103/PhysRevD.87.054505. S2CID  936246.
  10. ^ Sharpe, SR (2006). "Укорененные ступенчатые фермионы: хорошие, плохие или уродливые?". PoS . Lattice 2006: 022. arXiv : hep-lat/0610094 . Bibcode : 2006slft.confE..22S. doi : 10.22323/1.032.0022 . S2CID  13615415.
  11. ^ Golterman, M. (2008). "QCD с корневыми ступенчатыми фермионами". PoS . CONFINEMENT8: 014. arXiv : 0812.3110 . Bibcode : 2008qchs.confE..14G. doi : 10.22323/1.077.0014 . S2CID  6231204.
  12. ^ Хазенфратц, А.; Хоффманн, Р. (2006). «Справедливость корневого ступенчатого определителя в пределе континуума». Phys. Rev. D. 74 ( 1): 014511. arXiv : hep-lat/0604010 . Bibcode : 2006PhRvD..74a4511H. doi : 10.1103/PhysRevD.74.014511. S2CID  119066019.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Staggered_fermion&oldid=1234757808"