Метод орбиты

В математике метод орбит (также известный как теория Кириллова , метод коприсоединённых орбит и под несколькими похожими названиями) устанавливает соответствие между неприводимыми унитарными представлениями группы Ли и её коприсоединёнными орбитами : орбитами действия группы на двойственном пространстве её алгебры Ли . Теория была введена Кирилловым  (1961, 1962) для нильпотентных групп и позднее расширена Бертрамом Костантом , Луисом Ауслендером , Лайошем Пуканским и другими на случай разрешимых групп . Роджер Хау нашёл версию метода орбит, которая применима к p -адическим группам Ли. ^[1] Дэвид Воган предположил, что метод орбит должен служить объединяющим принципом при описании унитарных двойственных вещественных редуктивных групп Ли. ^[2]

Одним из ключевых наблюдений Кириллова было то, что коприсоединённые орбиты группы Ли G имеют естественную структуру симплектических многообразий, симплектическая структура которых инвариантна относительно G . Если орбита является фазовым пространством G -инвариантной классической механической системы , то соответствующая квантово-механическая система должна описываться с помощью неприводимого унитарного представления G . Геометрические инварианты орбиты переходят в алгебраические инварианты соответствующего представления. Таким образом, метод орбит можно рассматривать как точное математическое проявление неопределённого физического принципа квантования. В случае нильпотентной группы G соответствие включает все орбиты, но для общего G необходимы дополнительные ограничения на орбиту (поляризуемость, целочисленность, условие Пуканского). Эта точка зрения была существенно развита Костантом в его теории геометрического квантования коприсоединённых орбит.

Для группы Ли метод орбит Кириллова дает эвристический метод в теории представлений . Он связывает преобразования Фурье коприсоединенных орбит , лежащих в дуальном пространстве алгебры Ли группы G , с бесконечно малыми характерами неприводимых представлений . Метод получил свое название в честь русского математика Александра Кириллова .${\displaystyle G}$

В простейшем случае он утверждает, что характер группы Ли может быть задан преобразованием Фурье дельта - функции Дирака , поддерживаемой на коприсоединённых орбитах, взвешенной квадратным корнем якобиана экспоненциального отображения , обозначаемого . Он не применим ко всем группам Ли, но работает для ряда классов связных групп Ли, включая нильпотентные , некоторые полупростые группы и компактные группы .${\displaystyle j}$

Пусть G — связная односвязная нильпотентная группа Ли . Кириллов доказал, что классы эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы G параметризуются коприсоединенными орбитами группы G , то есть орбитами действия G на сопряженном пространстве ее алгебры Ли. Формула характера Кириллова выражает характер Хариш-Чандры представления как некоторый интеграл по соответствующей орбите. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Комплексные неприводимые представления компактных групп Ли были полностью классифицированы. Они всегда конечномерны, унитаризуемы (т.е. допускают инвариантную положительно определенную эрмитову форму ) и параметризуются своими старшими весами , которые являются в точности доминирующими целыми весами для группы. Если G — компактная полупростая группа Ли с подалгеброй Картана h , то ее коприсоединенные орбиты замкнуты , и каждая из них пересекает положительную камеру Вейля h ^* ₊ в одной точке. Орбита является целой, если эта точка принадлежит решетке весов группы G. Теория старшего веса может быть переформулирована в виде биекции между множеством целых коприсоединенных орбит и множеством классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы G : старшее весовое представление L ( λ ) с наибольшим весом λ ∈ h ^* ₊ соответствует старшей коприсоединенной орбите G · λ . Формула характера Кириллова сводится к формуле характера, ранее доказанной Хариш-Чандрой .

• Картирование Диксмье
• состояние Пукански

• Дульфо; Педерсон; Вернь (1990), Метод орбит в теории представлений: Труды конференции, состоявшейся в Копенгагене, август-сентябрь 1988 г. (Прогресс в математике) , Биркхойзер
• Кириллов А.А. (1961), "Унитарные представления нильпотентных групп Ли", Доклады Академии наук СССР , 138 : 283–284 , ISSN  0002-3264, MR  0125908
• Кириллов, А.А. (1962), «Унитарные представления нильпотентных групп Ли», Математические обзоры , 17 (4): 53– 104, Bibcode : 1962RuMaS..17...53K, doi : 10.1070/RM1962v017n04ABEH004118, ISSN  0042-1316, MR  0142001
• Кириллов А.А. (1976) [1972], Элементы теории представлений , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 220, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-07476-4, МР  0412321
• Кириллов, А.А. (1999), «Достоинства и недостатки метода орбит», Bull. Amer. Math. Soc. , 36 (4): 433– 488, doi : 10.1090/s0273-0979-99-00849-6.
• Кириллов, А.А. (2001) [1994], «Метод орбит», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Кириллов А.А. (2004), Лекции по методу орбит , Аспирантура по математике , вып. 64, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-3530-2.