Поляризация (алгебра Ли)

В теории представлений поляризация — максимальное вполне изотропное подпространство некоторой кососимметричной билинейной формы на алгебре Ли . Понятие поляризации играет важную роль при построении неприводимых унитарных представлений некоторых классов групп Ли с помощью метода орбит [1], а также в гармоническом анализе на группах Ли и математической физике .

Определение

Пусть — группа Ли, соответствующая алгебра Ли и ее сопряженная . Пусть обозначает значение линейной формы (ковектора) на векторе . Подалгебра алгебры называется подчиненной , если выполняется условие Г {\displaystyle G} г {\displaystyle {\mathfrak {g}}} г ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} ⟨ ф , Х ⟩ {\displaystyle \langle f,\,X\rangle} ф ∈ г ∗ {\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}} Х ∈ г {\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} час {\displaystyle {\mathfrak {h}}} г {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ф ∈ г ∗ {\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}}

∀ Х , И ∈ час   ⟨ ф , [ Х , И ] ⟩ = 0 {\displaystyle \forall X,Y\in {\mathfrak {h}}\ \langle f,\,[X,\,Y]\rangle =0} ,

или, в качестве альтернативы,

⟨ ф , [ час , час ] ⟩ = 0 {\displaystyle \langle f,\,[{\mathfrak {h}},\,{\mathfrak {h}}]\rangle =0}

выполняется. Далее, пусть группа действует на пространстве посредством коприсоединенного представления . Пусть будет орбитой такого действия, которая проходит через точку , и пусть будет алгеброй Ли стабилизатора точки . Подалгебра, подчиненная алгебре , называется поляризацией алгебры относительно , ​​или, короче, поляризацией ковектора , если она имеет максимально возможную размерность, а именно Г {\displaystyle G} г ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} А г ∗ {\displaystyle \mathrm {Объявление} ^{*}} О ф {\displaystyle {\mathcal {O}}_{f}} ф {\displaystyle f} г ф {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{f}} С т а б ( ф ) {\displaystyle \mathrm {Stab} (е)} ф {\displaystyle f} час ⊂ г {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} ф {\displaystyle f} г {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ф {\displaystyle f} ф {\displaystyle f}

тусклый ⁡ час = 1 2 ( тусклый г + тусклый г ф ) = тусклый г − 1 2 тусклый О ф {\displaystyle \dim {\mathfrak {h}}={\frac {1}{2}}\left(\dim \,{\mathfrak {g}}+\dim \,{\mathfrak {g}}^{f}\right)=\dim \,{\mathfrak {g}}-{\frac {1}{2}}\dim \,{\mathcal {O}}_{f}} .

состояние Пукански

Следующее условие было получено Л. Пуканским : [2]

Пусть — поляризация алгебры относительно ковектора , а — ее аннулятор : . Говорят, что поляризация удовлетворяет условию Пуканского, если час {\displaystyle {\mathfrak {h}}} г {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ф {\displaystyle f} час ⊥ {\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\perp }} h ⊥ := { λ ∈ g ∗ | ⟨ λ , h ⟩ = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\perp }:=\{\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \lambda ,\,{\mathfrak {h}}\rangle =0\}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}}

f + h ⊥ ∈ O f . {\displaystyle f+{\mathfrak {h}}^{\perp }\in {\mathcal {O}}_{f}.}

Л. Пуканский показал, что это условие гарантирует применимость метода орбит Кириллова, первоначально построенного для нильпотентных групп, и к более общему случаю разрешимых групп . [3]

Характеристики

  • Поляризация — это максимальное полностью изотропное подпространство билинейной формы на алгебре Ли . [4] ⟨ f , [ ⋅ , ⋅ ] ⟩ {\displaystyle \langle f,\,[\cdot ,\,\cdot ]\rangle } g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  • Для некоторых пар поляризация может отсутствовать. [4] ( g , f ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},\,f)}
  • Если поляризация существует для ковектора , то она существует и для каждой точки орбиты , а если — поляризация для , то — поляризация для . Таким образом, существование поляризации является свойством орбиты в целом. [4] f {\displaystyle f} O f {\displaystyle {\mathcal {O}}_{f}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} f {\displaystyle f} A d g h {\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}{\mathfrak {h}}} A d g ∗ f {\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f}
  • Если алгебра Ли полностью разрешима , то она допускает поляризацию для любой точки . [5] g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} f ∈ g ∗ {\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}}
  • Если — орбита общего положения (т.е. имеет максимальную размерность), то для каждой точки существует разрешимая поляризация. [5] O {\displaystyle {\mathcal {O}}} f ∈ O {\displaystyle f\in {\mathcal {O}}}

Ссылки

  1. ^ Корвин, Лоуренс; Гринлиф, Фредерик П. (25 января 1981 г.). «Рационально варьирующиеся поляризующие подалгебры в нильпотентных алгебрах Ли». Труды Американского математического общества . 81 (1). Берлин: Американское математическое общество: 27– 32. doi : 10.2307/2043981 . ISSN  1088-6826. Zbl  0477.17001.
  2. ^ Диксмье, Жак; Дюфло, Мишель; Хайнал, Андраш; Кадисон, Ричард; Корани, Адам; Розенберг, Джонатан; Вернь, Мишель (апрель 1998 г.). "Лайош Пукански (1928 – 1996)" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 45 (4). Американское математическое общество: 492– 499. ISSN  1088-9477.
  3. ^ Pukanszky, Lajos (март 1967). "О теории экспоненциальных групп" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 126 . American Mathematical Society: 487– 507. doi : 10.1090/S0002-9947-1967-0209403-7 . ISSN  1088-6850. MR  0209403. Zbl  0207.33605.
  4. ^ abc Кириллов, А.А. (1976) [1972], Элементы теории представлений , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 220, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-07476-4, МР  0412321
  5. ^ ab Dixmier, Jacques (1996) [1974], Обертывающие алгебры, Graduate Studies in Mathematics , т. 11, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0560-2, МР  0498740
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Polarization_(Lie_algebra)&oldid=1245696809"