Многомерные гамма-матрицы

В математической физике многомерные гамма-матрицы обобщают на произвольную размерность четырехмерные гамма-матрицы Дирака , которые являются основой релятивистской квантовой механики. Они используются в релятивистски инвариантных волновых уравнениях для фермионов (таких как спиноры) в произвольных измерениях пространства-времени, в частности, в теории струн и супергравитации. Матрицы Вейля–Брауэра обеспечивают явное построение многомерных гамма-матриц для спиноров Вейля . Гамма-матрицы также появляются в общих настройках в римановой геометрии , особенно когда может быть определена структура спина .

Рассмотрим пространство-время размерности d с плоской метрикой Минковского ,

${\displaystyle \eta =\|\eta _{ab}\|={\text{diag}}(+1,\dots ,+1,-1,\dots ,-1)~,}$

с положительными записями, отрицательными записями и a , b = 0, 1, ..., d − 1. Установите N = 2 ^{⌊ ⁠}${\displaystyle p}$${\displaystyle д}$${\displaystyle p+q=d}$^{1/2⁠ d ⌋} . Стандартныематрицы Диракасоответствуют взятию d = N = 4и p , q = 1, 3или3, 1.

В более высоких (и более низких) измерениях можно определить группу , гамма-группу , ведущую себя таким же образом, как матрицы Дирака. ^[1] Точнее, если выбрать базис для (комплексифицированной) алгебры Клиффорда , то гамма-группа, порожденная , будет изоморфна мультипликативной подгруппе , порожденной базисными элементами (игнорируя аддитивный аспект алгебры Клиффорда).${\displaystyle \{e_{a}\}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Cl} _ {p, q} (\ mathbb {C}) \ cong \ mathrm {Cl} ^ {\ mathbb {C} } (p, q)}$ ${\displaystyle \{\Gamma _{a}\}}$${\displaystyle e_{a}}$

По соглашению гамма-группа реализуется как набор матриц, гамма-матриц, хотя определение группы этого не требует. В частности, многие важные свойства, включая симметрии C , P и T , не требуют конкретного матричного представления, и таким образом можно получить более четкое определение хиральности . ^[1] Возможны несколько матричных представлений, некоторые из которых приведены ниже, а другие в статье о матрицах Вейля–Брауэра . В матричном представлении спиноры являются -мерными, причем гамма-матрицы действуют на спиноры. Подробная конструкция спиноров приведена в статье об алгебре Клиффорда . Йост дает стандартную ссылку на спиноры в общей постановке римановой геометрии. ^[2]${\displaystyle N}$

Большинство свойств гамма-матриц можно охватить группой , гамма -группой . Эту группу можно определить без ссылки на действительные числа, комплексные числа или даже прямого обращения к алгебре Клиффорда . ^[1] Матричные представления этой группы затем обеспечивают конкретную реализацию, которая может быть использована для указания действия гамма -матриц на спиноры . Для размерностей матричные произведения ведут себя так же, как обычные матрицы Дирака . Группа Паули является представлением гамма-группы для хотя группа Паули имеет больше связей ( менее свободна ); см. примечание о хиральном элементе ниже для примера. Кватернионы обеспечивают представление для${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$${\displaystyle (p,q)=(3,0)}$${\displaystyle (p,q)=(0,3).}$

Представление гамма - группы выглядит следующим образом.${\displaystyle G=G_{p,q}}$

• Нейтральный элемент обозначается как .${\displaystyle Я}$
• Элемент с является заменителем комплексного числа ; он коммутирует со всеми другими элементами ,${\displaystyle я}$${\displaystyle я^{4}=Я}$${\displaystyle я}$
• Существует коллекция генераторов, проиндексированных с помощью${\displaystyle \Гамма _{a}}$${\displaystyle a=0,\ldots ,p-1}$${\displaystyle \Гамма _{a}^{2}=I~,}$
• Остальные генераторы подчиняются${\displaystyle \Гамма _{a},\ a=p,\ldots ,p+q-1}$${\displaystyle \Гамма _{a}^{2}=i^{2}~,}$
• Антикоммутатор определяется как для${\displaystyle \Gamma _{a}\Gamma _{b}=i^{2}\Gamma _{b}\Gamma _{a}}$${\displaystyle a\neq b~.}$

Эти генераторы полностью определяют гамма-группу. Можно показать, что при всем этом и так Каждый элемент может быть однозначно записан как произведение конечного числа генераторов, размещенных в каноническом порядке как${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle x^{4}=I}$${\displaystyle x^{-1}=x^{3}~.}$${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle x=i^{n}\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}}$

с индексами в порядке возрастания

${\displaystyle а<b<\cdots <c}$

и Гамма-группа конечна и содержит в себе не более элементов. ${\displaystyle 0\leq n\leq 3.}$${\displaystyle 2^{p+q+2}}$

Гамма-группа является 2-группой , но не регулярной p-группой . Коммутантная подгруппа (производная подгруппа) является , поэтому она не является мощной p-группой . В общем случае 2-группы имеют большое количество инволюций ; гамма-группа делает то же самое. Три конкретных из них выделены ниже, поскольку они имеют определенную интерпретацию в контексте алгебр Клиффорда , в контексте представлений гамма-группы (где транспонирование и эрмитово сопряжение буквально соответствуют этим действиям над матрицами), и в физике , где «главная инволюция» соответствует комбинированной P-симметрии и T-симметрии .${\displaystyle [G,G]=\left\{I,i^{2}\right\}~,}$${\displaystyle \альфа}$

Для заданных элементов порождающего набора гамма-группы транспозиция или обращение задается формулой${\displaystyle \Гамма _{i}}$

${\displaystyle (\Гамма _{a}\Гамма _{b}\cdots \Гамма _{c})^{\textsf {t}}=\Гамма _{c}\cdots \Гамма _{b}\Гамма _{a}}$

Если есть элементы, все различны, то${\displaystyle к}$${\displaystyle \Гамма _{i}}$

${\displaystyle (\Гамма _{a}\Гамма _{b}\cdots \Гамма _{c})^{\textsf {t}}=\left(i^{2}\right)^{{\frac {1}{2}}k(k-1)}\Гамма _{a}\Гамма _{b}\cdots \Гамма _{c}}$

Другой автоморфизм гамма-группы задается сопряжением, определяемым на образующих как

${\displaystyle \Gamma _{a}^{\dagger }={\begin{cases}\Gamma _{a}&{\mbox{for }}0\leq a<p\\i^{2}\Gamma _{a}&{\mbox{for }}p\leq a<p+q\\\end{cases}}}$

дополненный и Для общих элементов в группе берется транспонирование: Из свойств транспонирования следует, что для всех элементов , либо , либо , то есть все элементы являются либо эрмитовыми, либо унитарными. ${\displaystyle i^{\dagger}=i^{3}}$${\displaystyle Я^{\dagger}=Я.}$${\displaystyle (ab)^{\dagger }=b^{\dagger }a^{\dagger }~.}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=I}$${\displaystyle xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=i^{2}~,}$

Если интерпретировать измерения как «подобные времени», а измерения как «подобные пространству», то это соответствует P-симметрии в физике. То, что это «правильная» идентификация, следует из обычных матриц Дирака, где связано с направлением, подобным времени, а пространственные направления — с «обычной» (+−−−) метрикой. Другие метрические и репрезентативные выборы предполагают другие интерпретации.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{i}}$

Основная инволюция — это отображение, которое «переворачивает» генераторы: но оставляет в покое: Это отображение соответствует объединенной P-симметрии и T-симметрии в физике; все направления меняются местами.${\displaystyle \alpha (\Gamma _{a})=i^{2}\Gamma _{a}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha (i)=i~.}$

Определим хиральный элемент как${\displaystyle \omega \equiv \Gamma _{\mathrm {chir} }}$

${\displaystyle \omega =\Gamma _{\mathrm {chir} }=\Gamma _{0}\Gamma _{1}\cdots \Gamma _{d-1}}$

где . Хиральный элемент коммутирует с генераторами как${\displaystyle d=p+q}$

${\displaystyle \Gamma _{a}\omega =\left(i^{2}\right)^{d-1}\omega \Gamma _{a}}$

Это квадрат к

${\displaystyle \omega ^{2}=\left(i^{2}\right)^{q+{\frac {1}{2}}d(d-1)}}$

Для матриц Дирака хиральный элемент соответствует своему названию, поскольку он играет важную роль в различении хиральности спиноров.${\displaystyle \gamma _{5}~,}$

Для группы Паули хиральный элемент есть тогда как для гамма-группы нельзя вывести никаких подобных отношений, кроме того, что она квадратируется Это пример того, где представление может иметь больше идентичностей, чем представленная группа. Для кватернионов , которые обеспечивают представление хирального элемента есть${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=i}$${\displaystyle G_{3,0}}$${\displaystyle \Gamma _{1}\Gamma _{2}\Gamma _{3}}$${\displaystyle i^{2}~.}$${\displaystyle G_{0,3}}$${\displaystyle ijk=i^{2}~.}$

Ни один из вышеперечисленных автоморфизмов (транспонирование, сопряжение, главная инволюция) не является внутренним автоморфизмом ; то есть они не могут быть представлены в форме для некоторого существующего элемента в гамма-группе, как представлено выше. Сопряжение заряда требует расширения гамма-группы двумя новыми элементами; по соглашению, это${\displaystyle CxC^{-1}}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C_{+}\Gamma _{a}C_{+}^{-1}=\Gamma _{a}^{\textsf {t}}}$

и

${\displaystyle C_{-}\Gamma _{a}C_{-}^{-1}=i^{2}\Gamma _{a}^{\textsf {t}}}$

Вышеуказанные отношения недостаточны для определения группы; другие продукты не определены.${\displaystyle C^{2}}$

Гамма-группа имеет матричное представление, заданное комплексными матрицами с и и функцией пола , наибольшим целым числом, меньшим Групповое представление для матриц можно записать компактно в терминах антикоммутаторного соотношения из алгебры Клиффорда Cℓ _{p , q} ( R )${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle N=2^{\left\lfloor {\frac {1}{2}}d\right\rfloor }}$${\displaystyle d=p+q}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x.}$

${\displaystyle \{\Gamma _{a}~,~\Gamma _{b}\}=\Gamma _{a}\Gamma _{b}+\Gamma _{b}\Gamma _{a}=2\eta _{ab}I_{N}~,}$

где матрица I _N — единичная матрица в измерениях N. Транспонирование и эрмитово сопряжение соответствуют их обычному значению на матрицах.

В оставшейся части этой статьи предполагается, что и поэтому . То есть предполагается алгебра Клиффорда Cℓ _{1 , d −1} ( R ) . ^[a] В этом случае гамма-матрицы обладают следующим свойством относительно эрмитового сопряжения ,${\displaystyle p=1}$${\displaystyle q=d-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{0}^{\dagger }&=+\Gamma _{0}~,&\Gamma _{a}^{\dagger }&=-\Gamma _{a}~(a=1,\dots ,d-1)~.\end{aligned}}}$

Транспонирование будет обозначаться небольшим изменением нотации, путем сопоставления, где элемент слева — это абстрактный групповой элемент, а элемент справа — литеральная транспонированная матрица .${\displaystyle \Gamma _{a}^{\textsf {t}}\mapsto \Gamma _{a}^{\textsf {T}}}$

Как и прежде, генераторы Γ _a , −Γ _a ^T , Γ _a ^T все генерируют одну и ту же группу (все генерируемые группы изоморфны ; операции по-прежнему являются инволюциями ). Однако, поскольку Γ _a теперь являются матрицами, становится правдоподобным спросить, существует ли матрица, которая может действовать как преобразование подобия , воплощающее автоморфизмы. В общем случае такую ​​матрицу можно найти. По соглашению, есть две представляющие интерес матрицы; в физической литературе обе называются матрицами сопряжения зарядов . Явно это

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}\Gamma _{a}C_{(+)}^{-1}&=+\Gamma _{a}^{\textsf {T}}\\C_{(-)}\Gamma _{a}C_{(-)}^{-1}&=-\Gamma _{a}^{\textsf {T}}~.\end{aligned}}}$

Их можно построить как действительные матрицы в различных измерениях, как показано в следующей таблице. В четном измерении существуют оба, в нечетном — только один.${\displaystyle C_{\pm }}$

г	${\displaystyle C_{(+)}^{*}=C_{(+)}}$	${\displaystyle C_{(-)}^{*}=C_{(-)}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 3}$		${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1}$
${\displaystyle 7}$		${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 11}$		${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$

Обратите внимание, что это базовый выбор.${\displaystyle C_{(\pm )}^{*}=C_{(\pm )}}$

Обозначим произведение гамма-матриц через

${\displaystyle \Gamma _{abc\dotsm }=\Gamma _{a}\cdot \Gamma _{b}\cdot \Gamma _{c}\cdots {}}$

и обратите внимание, что свойство антикоммутативности позволяет нам упростить любую такую ​​последовательность до той, в которой индексы различны и возрастают. Поскольку различные антикоммутативны, это мотивирует введение антисимметричного "среднего". Мы вводим антисимметризованные произведения различных n -кортежей из 0, ..., d − 1:${\displaystyle \Gamma _{a}}$

${\displaystyle \Gamma _{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in S_{n}}\epsilon (\pi )\Gamma _{a_{\pi (1)}}\cdots \Gamma _{a_{\pi (n)}}~,}$

где π пробегает все перестановки n символов , а ϵ — чередующийся символ . Существует 2 ^d таких произведений, но только N ² являются независимыми, охватывая пространство матриц N × N.

Обычно Γ _ab обеспечивает (би)спинорное представление ⁠1/2⁠ d ( d − 1) генераторы многомерной группы Лоренца , SO ⁺ (1, d − 1) , обобщающие 6 матриц σ ^μν спинового представления группы Лоренца в четырех измерениях.

Для четного d можно дополнительно определить эрмитову киральную матрицу

${\displaystyle \Gamma _{\text{chir}}=i^{{\frac {d}{2}}-1}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d-1}~,}$

такая, что {Γ _chir , Γ _a } = 0 и Γ _chir ² = 1 . (В нечетных измерениях такая матрица будет коммутировать со всеми Γ _a s и, таким образом, будет пропорциональна единице, поэтому она не рассматривается.)

Матрица Γ называется симметричной, если

${\displaystyle (C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})^{\textsf {T}}=+(C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})~;}$

в противном случае, для знака −, он называется антисимметричным.

В предыдущем выражении C может быть либо , либо . В нечетной размерности неоднозначности нет, но в четной размерности лучше выбрать тот из или , который допускает спиноры Майораны. В d = 6 такого критерия нет, поэтому мы рассматриваем оба.${\displaystyle C_{(+)}}$${\displaystyle C_{(-)}}$${\displaystyle C_{(+)}}$${\displaystyle C_{(-)}}$

г	С	Симметричный	Антисимметричный
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \gamma _{a}}$	${\displaystyle I_{2}}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \gamma _{a}~,~\gamma _{a_{1}a_{2}}}$	${\displaystyle I_{4}~,~\gamma _{\text{chir}}~,~\gamma _{\text{chir}}\gamma _{a}}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle C_{(+)}}$	${\displaystyle \Gamma _{a_{1}a_{2}}}$	${\displaystyle I_{4}~,~\Gamma _{a}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle I_{8}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle I_{8}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle C_{(+)}}$	${\displaystyle I_{16}~,~\Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dots a_{4}}}$	${\displaystyle \Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle C_{(+)}}$	${\displaystyle I_{16}~,~\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{5}}}$	${\displaystyle \Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{5}}}$	${\displaystyle I_{32}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$
${\displaystyle 11}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{5}}}$	${\displaystyle I_{32}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}}$

Доказательство следовых тождеств для гамма-матриц справедливо для всех четных измерений. Поэтому нужно только вспомнить случай 4D , а затем изменить общий множитель 4 на . Для других тождеств (тех, которые включают сокращение) появятся явные функции от .${\displaystyle \operatorname {tr} (I_{N})}$${\displaystyle d}$

Даже когда число физических измерений равно четырем, эти более общие тождества повсеместно используются в вычислениях циклов из-за размерной регуляризации .

Матрицы Γ можно построить рекурсивно, сначала во всех четных измерениях, d = 2k , а затем в нечетных, 2k + 1.

Используя матрицы Паули , возьмем

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}&=\sigma _{1},&\gamma _{1}&=-i\sigma _{2}\end{aligned}}}$

и можно легко проверить, что матрицы зарядового сопряжения

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}=\sigma _{1}=C_{(+)}^{*}=s_{(2,+)}C_{(+)}^{\textsf {T}}&=s_{(2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(2,+)}&=+1\\C_{(-)}=i\sigma _{2}=C_{(-)}^{*}=s_{(2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(2,-)}C_{(-)}^{-1}&s_{(2,-)}&=-1~.\end{aligned}}}$

Наконец, можно определить эрмитово хиральное γ _chir как

${\displaystyle \gamma _{\text{chir}}=\gamma _{0}\gamma _{1}=\sigma _{3}=\gamma _{\text{chir}}^{\dagger }~.}$

Теперь можно построить матрицы Γ _a , ( a = 0, ... , d + 1) и зарядовые сопряжения C _(±) в d + 2 измерениях, начиная с матриц γ _a' , ( a' = 0, ... , d − 1 ) и c _(±) в d измерениях.

Явно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{a'}&=\gamma _{a'}\otimes \sigma _{3}~~~\left(a'=0,\dots ,d-1\right)~,&\Gamma _{d}&=I\otimes (i\sigma _{1})~,&\Gamma _{d+1}&=I\otimes (i\sigma _{2})~.\end{aligned}}}$

Затем можно построить матрицы сопряжения зарядов,

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}&=c_{(-)}\otimes \sigma _{1}~,&C_{(-)}&=c_{(+)}\otimes (i\sigma _{2})~,\end{aligned}}}$

со следующими свойствами,

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}=C_{(+)}^{*}=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{\textsf {T}}&=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(d+2,+)}&=s_{(d,-)}\\C_{(-)}=C_{(-)}^{*}=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{-1}&s_{(d+2,-)}&=-s_{(d,+)}~.\end{aligned}}}$

Начиная со значений знаков для d = 2, s _(2,+) = +1 и s _(2,−) = −1, можно зафиксировать все последующие знаки s _{( d ,±),} которые имеют периодичность 8; явно, можно найти

	${\displaystyle d=8k}$	${\displaystyle d=8k+2}$	${\displaystyle d=8k+4}$	${\displaystyle d=8k+6}$
${\displaystyle s_{(d,+)}}$	+1	+1	−1	−1
${\displaystyle s_{(d,-)}}$	+1	−1	−1	+1

Опять же, можно определить эрмитову хиральную матрицу в d +2 измерениях как

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\text{chir}}&=\alpha _{d+2}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d+1}=\gamma _{\text{chir}}\otimes \sigma _{3}~,&\alpha _{d}&=i^{{\frac {1}{2}}d-1}~,\end{aligned}}}$

который является диагональным по построению и преобразуется при зарядовом сопряжении как

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(\pm )}\Gamma _{\text{chir}}C_{(\pm )}^{-1}&=\beta _{d+2}\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~,&\beta _{d}&=(-)^{{\frac {1}{2}}d(d-1)}~.\end{aligned}}}$

Таким образом, очевидно, что {Γ _chir , Γ _a } = 0. После применения перестановки, делающей собственные значения +1 и -1 хиральной матрицы последовательными, этот выбор становится прямым аналогом хирального базиса в четырех измерениях.

Рассмотрим предыдущую конструкцию для d − 1 (которое четно) и просто возьмем все матрицы Γ _a ( a = 0, ..., d − 2) , к которым добавим ее i Γ _chir ≡ Γ _{d −1} . ( i требуется для получения антиэрмитовой матрицы и расширения в пространственноподобную метрику).

Наконец, вычислите матрицу сопряжения зарядов: выберите между и таким образом, чтобы Γ _{d −1} преобразулась так же, как и все остальные матрицы Γ . Явно, требуется${\displaystyle C_{(+)}}$${\displaystyle C_{(-)}}$

${\displaystyle C_{(s)}\Gamma _{\text{chir}}C_{(s)}^{-1}=\beta _{d}\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}=s\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~.}$

При изменении размерности d закономерности обычно повторяются с периодом 8. (ср. часы алгебры Клиффорда .)

• Матрицы Вейля–Брауэра
• Биспинор
• модуль Клиффорда

• Брауэр, Ричард ; Вейль, Герман (1935). «Спиноры в n измерениях». Являюсь. Дж. Математика . 57 : 425–449. дои : 10.2307/2371218. ЖФМ  61.1025.06. JSTOR  2371218. Збл  0011.24401.
• Пайс, Абрахам (1962). "О спинорах в n измерениях". Журнал математической физики . 3 (6): 1135. Bibcode :1962JMP.....3.1135P. doi : 10.1063/1.1703856 .
• Gliozzi, F.; Scherk, Joel; Olive, D. (1977). "Суперсимметрия, теории супергравитации и модель двойного спинора" (PDF) . Nuclear Physics B . 122 (2): 253. Bibcode :1977NuPhB.122..253G. doi :10.1016/0550-3213(77)90206-1.
• Кеннеди, А. Д. (1981). «Алгебры Клиффорда в измерениях 2ω». Журнал математической физики . 22 (7): 1330. Bibcode : 1981JMP....22.1330K. doi : 10.1063/1.525069.
• де Вит, Брайс и Смит, Дж. (1986). Теория поля в физике элементарных частиц (Персональная библиотека Северной Голландии), том 1, Мягкая обложка, Приложение E (Архивировано из оригинала), ISBN 978-0444869999 
• Мураяма, Х. (2007). «Заметки об алгебре Клиффорда и представлениях Spin(N)»
• Пьетро Джузеппе Фре (2012). «Гравитация, геометрический курс: Том 1: Развитие теории и основные физические приложения». Springer-Verlag. ISBN 9400753608. См . стр. 315 и далее.