Обратная задача Галуа

В теории Галуа обратная задача Галуа касается того, появляется ли каждая конечная группа как группа Галуа некоторого расширения Галуа рациональных чисел . Эта задача, впервые поставленная в начале 19 века, ^[1] не решена.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Существуют некоторые группы перестановок , для которых известны общие многочлены , которые определяют все алгебраические расширения , имеющие определенную группу как группу Галуа. Эти группы включают все степени не выше 5. Существуют также группы, о которых известно, что они не имеют общих многочленов, например, циклическая группа порядка 8 .${\displaystyle \mathbb {Q} }$

В более общем случае, пусть G — заданная конечная группа, а K — поле. Если существует поле расширения Галуа L / K, группа Галуа которого изоморфна G , говорят, что G реализуема над K.

Известно много случаев. Известно, что каждая конечная группа реализуема над любым функциональным полем от одной переменной над комплексными числами , и, в более общем случае, над функциональными полями от одной переменной над любым алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики . Игорь Шафаревич показал, что каждая конечная разрешимая группа реализуема над . ^[2] Известно также, что каждая простая спорадическая группа , за исключением, возможно, группы Матье M ₂₃ , реализуема над . ^[3]${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Дэвид Гильберт показал, что этот вопрос связан с вопросом рациональности для G :

Если K — любое расширение , на котором G действует как группа автоморфизмов , и инвариантное поле K ^G рационально над , то G реализуемо над .${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Здесь рационально означает, что это чисто трансцендентное расширение , порожденное алгебраически независимым множеством. Этот критерий можно использовать, например, для того, чтобы показать, что все симметрические группы реализуемы.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Было проведено много детальных исследований по этому вопросу, который в общем смысле не решен. Часть этого основана на построении G геометрически как покрытия Галуа проективной прямой : в алгебраических терминах, начиная с расширения поля рациональных функций в неопределенном t . После этого применяется теорема Гильберта о неприводимости для специализации t таким образом, чтобы сохранить группу Галуа.${\displaystyle \mathbb {Q} (т)}$

Известно, что все группы перестановок степени 16 или ниже реализуемы над ; ^[4] группа PSL(2,16):2 степени 17 может таковой не быть. ^[5]${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Известно, что все 13 неабелевых простых групп, меньших PSL(2,25) (порядок 7800), реализуемы над . ^[6]${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Используя классические результаты, можно явно построить многочлен , группа Галуа которого над является циклической группой Z / n Z для любого положительного целого числа n . Для этого выберем простое число p такое, что p ≡ 1 (mod n ) ; это возможно по теореме Дирихле . Пусть Q ( μ ) будет циклотомическим расширением , порожденным μ , где μ — примитивный корень степени p из единицы ; группа Галуа Q ( μ )/ Q является циклической порядка p − 1 .${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Так как n делит p − 1 , группа Галуа имеет циклическую подгруппу H порядка ( p − 1)/ n . Из фундаментальной теоремы теории Галуа следует, что соответствующее фиксированное поле F = Q ( μ ) ^H имеет группу Галуа Z / n Z над . Взяв соответствующие суммы сопряженных элементов μ , следуя построению гауссовых периодов , можно найти элемент α из F , который порождает F над , и вычислить его минимальный многочлен .${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Этот метод можно распространить на все конечные абелевы группы , поскольку каждая такая группа фактически является фактором группы Галуа некоторого циклотомического расширения группы . (Это утверждение, однако, не следует путать с теоремой Кронекера–Вебера , которая лежит значительно глубже.)${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Для n = 3 можно взять p = 7. Тогда Gal( Q ( μ )/ Q ) является циклической группой шестого порядка. Возьмем генератор η этой группы, который переводит μ в μ ³ . Нас интересует подгруппа H = {1, η ³ } второго порядка. Рассмотрим элемент α = μ + η ³ ( μ ) . По построению α фиксируется H и имеет только три сопряженных элемента над :${\displaystyle \mathbb {Q} }$

α знак равно η ⁰ ( α ) знак равно µ + µ ⁶ ,

β знак равно η ¹ ( α ) знак равно μ ³ + μ ⁴ ,

γ знак равно η ² ( α ) знак равно μ ² + μ ⁵ .

Используя идентификатор:

1 + µ + µ ² + ⋯ + µ ⁶ знак равно 0 ,

можно обнаружить, что

α + β + γ = −1 ,

αβ + βγ + γα = −2 ,

αβγ = 1 .

Следовательно, α является корнем многочлена

( Икс - α )( Икс - β )( Икс - γ ) знак равно Икс ³ + Икс ² - 2 Икс - 1 ,

который, следовательно, имеет группу Галуа Z /3 Z над .${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Гильберт показал, что все симметричные и знакопеременные группы представляются как группы Галуа многочленов с рациональными коэффициентами .

Многочлен x ⁿ + ax + b имеет дискриминант

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)\!.}$

Мы берем особый случай

f ( x , s ) = x ⁿ − s x − s .

Подстановка простого целого числа вместо s в f ( x , s ) дает многочлен (называемый специализацией f ( x , s ) ), который по критерию Эйзенштейна является неприводимым . Тогда f ( x , s ) должен быть неприводимым над . Более того, f ( x , s ) можно записать${\displaystyle \mathbb {Q} (с)}$

${\displaystyle x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)\!(x+1)}$

и f ( x , 1/2) можно разложить на множители:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)}$

второй множитель которого неприводим (но не по критерию Эйзенштейна). Только обратный многочлен неприводим по критерию Эйзенштейна. Теперь мы показали, что группа Gal( f ( x , s )/ Q ( s )) дважды транзитивна .

Затем мы можем обнаружить, что эта группа Галуа имеет транспозицию. Используйте масштабирование (1 − n ) x = ny , чтобы получить

${\displaystyle y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}}$

и с

${\displaystyle t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},}$

мы приходим к:

г ( у , т ) = у ⁿ − nty + ( n − 1) т

которые могут быть организованы

у ^п - у - ( п - 1)( у - 1) + ( т - 1) (- ny + п - 1) .

Тогда g ( y , 1) имеет 1 в качестве двойного нуля , а его остальные n − 2 нуля являются простыми , и подразумевается транспозиция в Gal( f ( x , s )/ Q ( s )) . Любая конечная дважды транзитивная группа перестановок , содержащая транспозицию, является полной симметрической группой.

Теорема Гильберта о неприводимости затем подразумевает, что бесконечное множество рациональных чисел дает специализации f ( x , t ) , чьи группы Галуа являются S _n над рациональным полем . Фактически, это множество рациональных чисел плотно в .${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Дискриминант g ( y , t ) равен

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t),}$

и это, вообще говоря, не идеальный квадрат.

Решения для чередующихся групп должны обрабатываться по-разному для четных и нечетных степеней.

Позволять

${\displaystyle t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}}$

При этой замене дискриминант g ( y , t ) равен

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}\end{align}}}$

который является полным квадратом, когда n нечетно.

Позволять:

${\displaystyle t={\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}}$

При этой замене дискриминант g ( y , t ) равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n}(n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{aligned}}}$

который является полным квадратом, когда n четное.

Опять же, теорема Гильберта о неприводимости подразумевает существование бесконечного множества специализаций, группы Галуа которых являются знакопеременными группами.

Предположим, что C ₁ , …, C _n являются классами сопряженности конечной группы G , а A — множество n -кортежей ( g ₁ , …, g _n ) группы G, таких, что g _i принадлежит C _i и произведение g ₁ … g _n тривиально. Тогда A называется жестким , если оно непусто , G действует на нем транзитивно сопряжением, и каждый элемент A порождает G .

Томпсон (1984) показал, что если конечная группа G имеет жесткое множество, то ее часто можно реализовать как группу Галуа над циклотомическим расширением рациональных чисел. (Точнее, над циклотомическим расширением рациональных чисел, порожденным значениями неприводимых характеров группы G на классах сопряженности C _i .)

Это можно использовать, чтобы показать, что многие конечные простые группы, включая группу-монстр , являются группами Галуа расширений рациональных чисел. Группа-монстр порождается триадой элементов порядков 2 , 3 и 29 . Все такие триады сопряжены.

Прототипом жесткости является симметрическая группа S _n , которая генерируется n -циклом и транспозицией, произведение которой является ( n − 1) -циклом. Конструкция в предыдущем разделе использовала эти генераторы для установления группы Галуа многочлена.

Пусть n > 1 — любое целое число. Решетка Λ в комплексной плоскости с отношением периодов τ имеет подрешетку Λ′ с отношением периодов nτ . Последняя решетка является одной из конечного множества подрешеток, переставляемых модулярной группой PSL(2, Z ) , которая основана на изменениях базиса для Λ . Пусть j обозначает эллиптическую модулярную функцию Феликса Клейна . Определим многочлен φ _n как произведение разностей ( X − j (Λ _i )) по сопряженным подрешеткам. Как многочлен от X , φ _n имеет коэффициенты, которые являются многочленами по от j ( τ ) .${\displaystyle \mathbb {Q} }$

На сопряженных решетках модулярная группа действует как PGL(2, Z / n Z ) . Отсюда следует, что φ _n имеет группу Галуа, изоморфную PGL(2, Z / n Z ) над .${\displaystyle \mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))}$

Использование теоремы Гильберта о неприводимости дает бесконечное (и плотное) множество рациональных чисел, специфицирующих φ _n до многочленов с группой Галуа PGL(2, Z / n Z ) над . Группы PGL(2, Z / n Z ) включают в себя бесконечно много неразрешимых групп.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• Полуабелева группа (теория Галуа)

• MacBeath, AM (1969). «Расширения рациональных чисел с группой Галуа PGL(2,Z _n )». Бюллетень Лондонского математического общества . 1 (3): 332– 338. doi :10.1112/BLMS/1.3.332.
• Томпсон, Джон Г. (1984), «Некоторые конечные группы, которые появляются как Gal L/K, где K ⊆ Q(μ _n )», Журнал алгебры , 89 (2): 437– 499, doi : 10.1016/0021-8693(84)90228-X , MR  0751155
• Хельмут Фёлькляйн, Группы как группы Галуа, введение , Cambridge University Press, 1996. ISBN 978-0521065030.
• Серр, Жан-Пьер (1992). Темы теории Галуа . Исследовательские заметки по математике. Том 1. Джонс и Бартлетт. ISBN 0-86720-210-6. Збл  0746.12001.
• Гюнтер Малле, Генрих Мацат, Обратная теория Галуа , Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-62890-8 . 
• Гюнтер Малле, Генрих Мацат, Обратная теория Галуа , 2-е издание, Springer-Verlag, 2018.
• Александр Шмидт, Кей Вингберг, Теорема Сафаревича о разрешимых группах как группах Галуа ( см. также Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , том 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN) 978-3-540-66671-4, MR  1737196, Zbl  0948.11001)
• Кристиан У. Йенсен, Арне Леде и Норико Юи , Общие многочлены, конструктивные аспекты обратной задачи Галуа , Cambridge University Press, 2002.

• "Программа летней школы магистратуры PCMI 2021 по обратной задаче Галуа - Теория чисел на основе вычислений - 26-30 июля 2021 г.". Архивировано из оригинала 16.02.2023.