Теорема Гильберта о неприводимости

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Март 2012 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теории чисел теорема Гильберта о неприводимости , выдвинутая Дэвидом Гильбертом в 1892 году, утверждает, что любой конечный набор неприводимых многочленов от конечного числа переменных, имеющих рациональные числовые коэффициенты, допускает общую специализацию собственного подмножества переменных до рациональных чисел, так что все многочлены остаются неприводимыми. Эта теорема является выдающейся теоремой в теории чисел.

Теорема Гильберта о неприводимости. Пусть

${\displaystyle f_{1}(X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})}$

быть неприводимыми многочленами в кольце

${\displaystyle \mathbb {Q} (X_{1},\ldots ,X_{r})[Y_{1},\ldots ,Y_{s}].}$

Тогда существует набор из r рациональных чисел ( a ₁ , ..., a _r ) такой, что

${\displaystyle f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})}$

неприводимы в кольце

${\displaystyle \mathbb {Q} [Y_{1},\ldots ,Y_{s}].}$

Замечания.

• Из теоремы следует, что существует бесконечно много r -кортежей. Фактически множество всех неприводимых специализаций, называемое множеством Гильберта, велико во многих смыслах. Например, это множество плотно по Зарискому в${\displaystyle \mathbb {Q} ^{r}.}$
• Всегда существует (бесконечно много) целочисленных специализаций, т. е. утверждение теоремы справедливо, даже если мы требуем, чтобы ( a ₁ , ..., a _r ) были целыми числами.
• Существует много гильбертовых полей , т.е. полей, удовлетворяющих теореме Гильберта о неприводимости. Например, числовые поля являются гильбертовыми. ^[1]
• Свойство неприводимой специализации, сформулированное в теореме, является наиболее общим. Существует много редукций, например, достаточно взять в определении. Результат Бари-Сорокера показывает, что для того, чтобы поле K было гильбертовым, достаточно рассмотреть случай и абсолютно неприводимого , то есть неприводимого в кольце K ^alg [ X , Y ], где K ^alg — алгебраическое замыкание K .${\displaystyle n=r=s=1}$${\displaystyle n=r=s=1}$${\displaystyle f=f_{1}}$

Теорема Гильберта о неприводимости имеет многочисленные приложения в теории чисел и алгебре . Например:

• Обратная задача Галуа , изначальная мотивация Гильберта. Теорема почти сразу подразумевает, что если конечная группа G может быть реализована как группа Галуа расширения Галуа N

${\displaystyle E=\mathbb {Q} (X_{1},\ldots ,X_{r}),}$

то его можно специфицировать до расширения Галуа N ₀ рациональных чисел с G в качестве его группы Галуа. ^[2] (Чтобы увидеть это, выберите монический неприводимый многочлен f ( X ₁ , ..., X _n , Y ) , корень которого порождает N над E . Если f ( a ₁ , ..., an _, Y ) неприводим для некоторого a _i , то его корень будет порождать заявленный N ₀ .)

• Построение эллиптических кривых большого ранга. ^[2]

• Теорема Гильберта о неприводимости используется как шаг в доказательстве Эндрю Уайлса Великой теоремы Ферма .

• Если многочлен является полным квадратом для всех больших целых значений x , то g(x) является квадратом многочлена от Это следует из теоремы Гильберта о неприводимости с и${\displaystyle g(x)\in \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x].}$${\displaystyle n=r=s=1}$

${\displaystyle f_{1}(X,Y)=Y^{2}-g(X).}$

(Существуют более элементарные доказательства.) Тот же результат получается, если заменить «квадрат» на «куб», «четвертую степень» и т. д.

Он был переформулирован и широко обобщен с использованием языка алгебраической геометрии . См. тонкое множество (Серр) .

• Д. Гильберт, «Uber die Irreducabilitat ganzer Reasoner Functionen mit ganzzahligen Coefficienten», J. Reine Angew. Математика. 110 (1892) 104–129.

• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Збл  0869.11051.
• Дж. П. Серр, Лекции по теореме Морделла-Вейля , Vieweg, 1989.
• М. Д. Фрид и М. Жарден, Полевая арифметика , Springer-Verlag, Берлин, 2005.
• Х. Фёльклейн, Группы как группы Галуа , Cambridge University Press, 1996.
• Г. Малле и Б. Х. Мацат, Обратная теория Галуа , Springer, 1999.