Расположение гиперплоскостей

В геометрии и комбинаторике расположение гиперплоскостей — это расположение конечного множества A гиперплоскостей в линейном , аффинном или проективном пространстве S. Вопросы о расположении гиперплоскостей A обычно касаются геометрических, топологических или других свойств дополнения M ( A ) , которое является множеством, которое остается , когда гиперплоскости удаляются из всего пространства. Можно спросить, как эти свойства связаны с расположением и его полурешеткой пересечений. Полурешетка пересечений A , обозначаемая L ( A ), — это множество всех подпространств , которые получаются путем пересечения некоторых гиперплоскостей; среди этих подпространств — само S , все отдельные гиперплоскости, все пересечения пар гиперплоскостей и т. д . (исключая, в аффинном случае, пустое множество). Эти подпространства пересечений A также называются плоскостями A . Полурешетка пересечений L ( A ) частично упорядочена обратным включением .

Если все пространство S двумерно, гиперплоскости являются прямыми ; такое расположение часто называют расположением прямых . Исторически первыми исследованными расположениями были реальные расположения прямых. Если S трехмерно, то имеем расположение плоскостей .

Полурешетка пересечения L ( A ) является полурешеткой пересечения и, более конкретно, геометрической полурешеткой. Если расположение линейное или проективное, или если пересечение всех гиперплоскостей непустое, решетка пересечения является геометрической решеткой . (Вот почему полурешетка должна быть упорядочена обратным включением, а не включением, что может показаться более естественным, но не даст геометрическую (полу)решетку.)

Когда L ( A ) является решеткой, матроид A , обозначаемый как M ( A ) , имеет A в качестве своего основного множества и имеет ранговую функцию r ( S ) := codim( I ), где S — любое подмножество A , а I — пересечение гиперплоскостей в S . В общем случае, когда L ( A ) является полурешеткой, существует аналогичная матроидоподобная структура, называемая полуматроидом, которая является обобщением матроида (и имеет такое же отношение к полурешетке пересечения, как матроид к решетке в случае решетки), но не является матроидом, если L ( A ) не является решеткой.

Для подмножества B множества A определим f ( B ) := пересечение гиперплоскостей в B ; это S , если B пусто. Характеристический многочлен множества A , обозначаемый как p _A ( y ), можно определить как

${\displaystyle p_{A}(y):=\sum _{B}(-1)^{|B|}y^{\dim f(B)},}$

суммируется по всем подмножествам B множества A, за исключением, в аффинном случае, подмножеств, пересечение которых пусто. (Размерность пустого множества определяется как −1.) Этот многочлен помогает решать некоторые основные вопросы; см. ниже. Другой многочлен, связанный с A, — это многочлен числа Уитни w _A ( x , y ), определяемый как

${\displaystyle w_{A}(x,y):=\sum _{B}x^{n-\dim f(B)}\sum _{C}(-1)^{|CB|}y^{\dim f(C)},}$

суммируется по B ⊆ C ⊆ A таким образом, что f ( B ) непусто.

Будучи геометрической решеткой или полурешеткой, L ( A ) имеет характеристический многочлен, p _{L ( A )} ( y ), который имеет обширную теорию (см. матроид ). Таким образом, полезно знать, что p _A ( y ) = y ⁱ p _{L ( A )} ( y ), где i — наименьшее измерение любой плоскости, за исключением того, что в проективном случае оно равно y ^{i + 1} p _{L ( A )} ( y ). Многочлен числа Уитни для A аналогично связан с многочленом L ( A ). (Пустое множество исключено из полурешетки в аффинном случае специально для того, чтобы эти соотношения были действительными.)

Полурешетка пересечений определяет другой комбинаторный инвариант расположения — алгебру Орлика–Соломона. Чтобы определить ее, зафиксируем коммутативное подкольцо K базового поля и сформируем внешнюю алгебру E векторного пространства

${\displaystyle \bigoplus _{H\in A}Ke_{H}}$

, порожденная гиперплоскостями. Цепная комплексная структура определяется на E с обычным граничным оператором . Тогда алгебра Орлика–Соломона является фактором E по идеалу, порожденному элементами вида , для которого имеют пустое пересечение, и границами элементов того же вида , для которого имеет коразмерность меньше p .${\displaystyle \частичный}$${\displaystyle e_{H_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{H_{p}}}$${\displaystyle H_{1},\точки ,H_{p}}$${\displaystyle H_{1}\cap \cdots \cap H_{p}}$

В реальном аффинном пространстве дополнение несвязно: оно состоит из отдельных частей, называемых ячейками или областями или камерами , каждая из которых является либо ограниченной областью, которая является выпуклым многогранником , либо неограниченной областью, которая является выпуклой многогранной областью, уходящей в бесконечность. Каждая плоскость A также делится на части гиперплоскостями, которые не содержат плоскость; эти части называются гранями A. Области являются гранями, поскольку все пространство является плоскостью. Грани коразмерности 1 можно назвать гранями A. Полурешетка граней расположения — это множество всех граней, упорядоченных по включению . Добавление дополнительного верхнего элемента к полурешетке граней дает решетку граней .

В двух измерениях (т.е. в действительной аффинной плоскости ) каждая область представляет собой выпуклый многоугольник (если он ограничен) или выпуклую многоугольную область, уходящую в бесконечность.

• Например, если расположение состоит из трех параллельных прямых, то полурешетка пересечения состоит из плоскости и трех прямых, но не из пустого множества. Имеется четыре области, ни одна из которых не ограничена.
• Если мы добавим линию, пересекающую три параллели, то полурешетка пересечения будет состоять из плоскости, четырех линий и трех точек пересечения. Имеется восемь областей, и ни одна из них не ограничена.
• Если добавить еще одну линию, параллельную предыдущей, то получится 12 областей, две из которых представляют собой ограниченные параллелограммы .

Типичные проблемы о расположении в n -мерном реальном пространстве - это сказать, сколько существует областей, или сколько граней размерности 4, или сколько ограниченных областей. На эти вопросы можно ответить просто из полурешетки пересечений. Например, две основные теоремы Заславского (1975) заключаются в том, что число областей аффинного расположения равно (−1) ⁿ p _A (−1), а число ограниченных областей равно (−1) ⁿ p _A (1). Аналогично, число k -мерных граней или ограниченных граней можно прочитать как коэффициент при x ^{n − k} в (−1) ⁿ w _A (− x , −1) или (−1) ⁿ w _A (− x , 1).

Мейзер (1993) разработал быстрый алгоритм для определения грани множества гиперплоскостей, содержащих входную точку.

Другой вопрос о расположении в реальном пространстве — решить, сколько областей являются симплексами ( n -мерное обобщение треугольников и тетраэдров ). На это нельзя ответить, основываясь только на полурешетке пересечений. Задача МакМаллена требует наименьшего расположения заданной размерности в общем положении в реальном проективном пространстве, для которого не существует ячейки, касающейся всех гиперплоскостей.

Действительная линейная конфигурация имеет, помимо своей полурешетки граней, частично упорядоченный набор областей , отдельный для каждой области. Этот частично упорядоченный набор формируется путем выбора произвольной базовой области, B ₀ , и связывания с каждой областью R множества S ( R ), состоящего из гиперплоскостей, которые отделяют R от B . Области частично упорядочены так, что R ₁ ≥ R ₂ , если S ( R ₁ , R ) содержит S ( R ₂ , R ). В особом случае, когда гиперплоскости возникают из корневой системы , результирующий частично упорядоченный набор является соответствующей группой Вейля со слабым порядком. В общем случае частично упорядоченный набор областей ранжируется по числу разделяющих гиперплоскостей, и его функция Мёбиуса была вычислена (Edelman 1984).

Вадим Шехтман и Александр Варченко ввели матрицу, индексированную по областям. Элемент матрицы для области и задается произведением неопределенных переменных для каждой гиперплоскости H, которая разделяет эти две области. Если эти переменные специализированы так, чтобы все они имели значение q, то это называется q-матрицей (над евклидовой областью ) для расположения, и много информации содержится в ее нормальной форме Смита .${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{j}}$${\displaystyle a_{H}}$${\displaystyle \mathbb {Q} [q]}$

В комплексном аффинном пространстве (которое трудно визуализировать, поскольку даже комплексная аффинная плоскость имеет четыре действительных измерения) дополнение соединено (все как одна часть) с отверстиями, из которых были удалены гиперплоскости.

Типичной проблемой, связанной с расположением объектов в сложном пространстве, является описание отверстий.

Основная теорема о комплексных конфигурациях заключается в том, что когомологии дополнения M ( A ) полностью определяются полурешеткой пересечений. Точнее, кольцо когомологий M ( A ) (с целыми коэффициентами) изоморфно алгебре Орлика–Соломона на Z .

Изоморфизм может быть описан явно и дает представление когомологий в терминах образующих и соотношений, где образующие представлены (в когомологиях де Рама ) как логарифмические дифференциальные формы.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d\alpha }{\alpha }}.}$

с любой линейной формой, определяющей общую гиперплоскость расположения.${\displaystyle \альфа}$

Иногда удобно позволить вырожденной гиперплоскости , которая является всем пространством S , принадлежать расположению. Если A содержит вырожденную гиперплоскость, то у нее нет областей, поскольку дополнение пусто. Однако у нее все еще есть плоскости, полурешетка пересечений и грани. Предыдущее обсуждение предполагает, что вырожденная гиперплоскость не находится в расположении.

Иногда хочется разрешить повторяющиеся гиперплоскости в расположении. Мы не рассматривали эту возможность в предыдущем обсуждении, но это не имеет существенного значения.

• Сверхразрешимая композиция
• Ориентированный матроид

• «Расположение гиперплоскостей», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Эдельман, Пол Х. (1984), «Частичный порядок областей, рассеченных гиперплоскостями», Труды Американского математического общества , 283 (2): 617– 631, CiteSeerX 10.1.1.308.820 , doi :10.2307/1999150, JSTOR  1999150, MR  0737888${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .
• Мейзер, Стефан (1993), «Расположение точек в расположениях гиперплоскостей», Информация и вычисления , 106 (2): 286–303 , doi : 10.1006/inco.1993.1057 , MR  1241314.
• Орлик, Петр ; Терао, Хироаки (1992), Расположение гиперплоскостей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], том. 300, Берлин: Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-3-662-02772-1, ISBN. 978-3-642-08137-8, МР  1217488.
• Стэнли, Ричард (2011). "3.11 Гиперплоскостные конфигурации". Перечислительная комбинаторика . Том 1 (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-1107602625.
• Заславский, Томас (1975), «Столкновение с договоренностями: формулы подсчета граней для разбиений пространства гиперплоскостями», Мемуары Американского математического общества , 1 (154), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/memo/0154, MR  0357135.