Гомотетические предпочтения

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Homothetic preferences" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2011) (Learn how and when to remove this message)

В теории потребления предпочтения потребителя называются гомотетичными , если их можно представить функцией полезности , которая является однородной степени 1. ^{[1] : 146} Например, в экономике с двумя товарами гомотетичные предпочтения можно представить функцией полезности , которая имеет следующее свойство: для каждого :${\displaystyle x,y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle u(a\cdot x,a\cdot y)=a\cdot u(x,y)}$

В математике гомотетическая функция — это монотонное преобразование функции, которая является однородной ; ^[2] однако, поскольку порядковые функции полезности определяются только с точностью до возрастающего монотонного преобразования , в теории потребления существует небольшое различие между этими двумя концепциями. ^{[1] : 147}

В модели, где конкурентные потребители оптимизируют гомотетичные функции полезности с учетом бюджетного ограничения , соотношения товаров, востребованных потребителями, будут зависеть только от относительных цен , а не от дохода или масштаба. Это переводится в линейный путь расширения дохода: наклон кривых безразличия постоянен вдоль лучей, начинающихся в начале координат. ^{[1] : 482} Это означает, что кривая Энгеля для каждого товара линейна.

Более того, косвенную функцию полезности можно записать как линейную функцию богатства :${\displaystyle w}$

${\displaystyle v(p_{x},p_{y},w)=f(p_{x},p_{y})\cdot w}$

что является частным случаем полярной формы Гормана . Следовательно, если все потребители имеют гомотетические предпочтения (с одинаковым коэффициентом по показателю богатства), совокупный спрос можно рассчитать, рассмотрев одного «репрезентативного потребителя», имеющего такие же предпочтения и такой же совокупный доход. ^{[1] : 152–154}

Функции полезности, имеющие постоянную эластичность замещения (CES), являются гомотетичными. Они могут быть представлены функцией полезности, такой как:

${\displaystyle u(x,y)=\left(\left({x \over w_{x}}\right)^{\!r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}}$

Эта функция однородна степени 1:

${\displaystyle u(ax,ay)=\left(a^{r}\left({x \over w_{x}}\right)^{\!r}+a^{r}\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}=(a^{r})^{1/r}\left(\left({x \over w_{x}}\right)^{\!r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}=au(x,y)}$

Линейные функции полезности , функции полезности Леонтьева и функции полезности Кобба–Дугласа являются частными случаями функций CES и, таким образом, также являются гомотетичными.

С другой стороны, квазилинейные полезности не всегда гомотетичны. Например, функция не может быть представлена ​​как однородная функция.${\displaystyle u(x,y)=x+{\sqrt {y}}}$

Предпочтения являются внутривременными гомотетичными, если в один и тот же период времени потребители с разными доходами, но сталкивающиеся с одинаковыми ценами и имеющие одинаковые предпочтения, будут требовать товары в одинаковых пропорциях.

Предпочтения являются гомотетичными во времени, если в разные периоды времени богатые и бедные лица, принимающие решения, в равной степени не склонны к пропорциональным колебаниям потребления.

Модели современной макроэкономики и государственных финансов часто предполагают форму постоянного относительного неприятия риска для полезности в течение периода (также называемую степенной полезностью или изоэластичной полезностью ). Причина в том, что в сочетании с аддитивностью во времени это дает гомотетические межвременные предпочтения, и эта гомотетичность имеет значительное аналитическое удобство (например, она позволяет анализировать устойчивые состояния в моделях роста). Эти предположения подразумевают, что эластичность межвременного замещения и ее обратная величина, коэффициент неприятия (риска) , являются постоянными.

Однако хорошо известно, что в реальности модели потребления меняются с экономическим благосостоянием. Это означает, что предпочтения на самом деле не гомотетичны. ^[3] Давно установлено, что относительные изменения цен влияют на людей по-разному, даже если все сталкиваются с одним и тем же набором цен. ^[4]

• Гомотетическое преобразование
• Однородная функция