Косвенная функция полезности

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Функция косвенной полезности» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В экономике косвенная функция полезности потребителя дает максимально достижимую полезность потребителя при наличии вектора цен на товары и суммы дохода . Она отражает как предпочтения потребителя, так и рыночные условия.${\displaystyle v(p,w)}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w}$

Эта функция называется косвенной, потому что потребители обычно думают о своих предпочтениях с точки зрения того, что они потребляют, а не цен. Косвенная полезность потребителя может быть вычислена из его функции полезности, определенной по векторам количеств потребляемых товаров, сначала вычислив наиболее предпочтительный доступный набор, представленный вектором, решив задачу максимизации полезности , и, во-вторых, вычислив полезность, которую потребитель извлекает из этого набора. Результирующая косвенная функция полезности:${\displaystyle v(p,w)}$${\displaystyle и(х),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x(p,w)}$${\displaystyle u(x(p,w))}$

${\ displaystyle v (p, w) = u (x (p, w)).}$

Косвенная функция полезности имеет вид:

• Непрерывно на R ⁿ ₊ × R _+, где n — количество товаров;
• Снижение цен;
• Строго растущий доход;
• Однородный с нулевой степенью по ценам и доходу; если цены и доход умножить на заданную константу, то тот же набор потребления будет представлять собой максимум, поэтому оптимальная полезность не изменится;
• квазивыпуклый по ( p , w ).

Более того, тождество Роя утверждает, что если v ( p , w ) дифференцируемо в точках и , то${\displaystyle (p^{0},w^{0})}$${\displaystyle {\frac {\partial v(p,w)}{\partial w}}\neq 0}$

${\displaystyle -{\frac {\partial v(p^{0},w^{0})/(\partial p_{i})}{\partial v(p^{0},w^{0})/\partial w}}=x_{i}(p^{0},w^{0}),\quad i=1,\dots ,n.}$

Косвенная функция полезности является обратной функцией расходов , когда цены остаются постоянными. То есть, для каждого вектора цен и уровня полезности : ^{[1] : 106}${\displaystyle p}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle v(p,e(p,u))\equiv u}$

Предположим, что функция полезности — это функция Кобба-Дугласа , которая имеет маршалловские функции спроса ^[2]${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{0,6}x_{2}^{0,4},}$

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2})={\frac {0.6w}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {и}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2})={\frac {0.4w}{p_{2}}},}$

где — доход потребителя. Косвенная функция полезности находится путем замены величин в функции полезности функциями спроса следующим образом: ${\displaystyle w}$${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$

${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{0,6}(x_{2}^{*})^{0,4}=\left({\frac {0,6w}{p_{1}}}\right)^{0,6}\left({\frac {0,4w}{p_{2}}}\right)^{0,4}=(0,6^{0,6}*.4^{.4})w^{0,6+0,4}p_{1}^{-0,6}p_{2}^{-0,4}=Kp_{1}^{-0,6}p_{2}^{-0,4}w,}$

где Обратите внимание, что функция полезности показывает полезность для любых величин, которые содержат ее аргументы, даже если они не являются оптимальными для потребителя и не решают его задачу максимизации полезности. Косвенная функция полезности, напротив, предполагает, что потребитель вывел свои функции спроса оптимально для данных цен и дохода.${\displaystyle K=(0,6^{0,6}*0,4^{0,4}).}$

• Горман полярная форма
• Функция спроса Хикса
• Функция ценности

• Корнес, Ричард (1992). «Индивидуальное потребительское поведение: прямые и косвенные функции полезности». Двойственность и современная экономика . Нью-Йорк: Cambridge University Press. С.  31– 62. ISBN 0-521-33601-5.
• Jehle, GA ; Reny, PJ (2011). Advanced Microeconomic Theory (Третье изд.). Harlow: Prentice Hall. стр.  28–33 . ISBN 978-0-273-73191-7.
• Люенбергер, Дэвид Г. (1995). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С.  103–107 . ISBN 0-07-049313-8.
• Мас-Колелл, Андре ; Уинстон, Майкл Д .; Грин, Джерри Р. (1995). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк: Oxford University Press. С.  56–57 . ISBN 0-19-507340-1.
• Николсон, Уолтер (1978). Микроэкономическая теория: основные принципы и расширения (второе издание). Хинсдейл: Dryden Press. стр.  57–59 . ISBN 0-03-020831-9.