Тензорно-гомозное присоединение

В математике тензорно -гомическое сопряжение заключается в том, что тензорное произведение и гом-функтор образуют сопряженную пару :${\displaystyle -\otimes X}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).}$

Ниже это более точно описано. Порядок терминов в фразе «тензорно-гомовое сопряжение» отражает их взаимосвязь: тензор — левый сопряженный элемент, а гом — правый сопряженный элемент.

Предположим, что R и S — кольца (возможно, некоммутативные) , и рассмотрим категории правых модулей (аналогичное утверждение справедливо и для левых модулей):

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{и}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.}$

Зафиксируем -бимодуль и определим функторы и следующим образом:${\displaystyle (R,S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F\двоеточие {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$${\displaystyle G\двоеточие {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{for }}Y\in {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{for }}Z\in {\mathcal {C}}}$

Тогда является левым сопряженным к . Это означает, что существует естественный изоморфизм${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).}$

Это на самом деле изоморфизм абелевых групп . Точнее, если является -бимодулем и является -бимодулем, то это изоморфизм -бимодулей. Это один из мотивирующих примеров структуры в замкнутой бикатегории . ^[1]${\displaystyle Y}$${\displaystyle (A,R)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (B,S)}$${\displaystyle (B,A)}$

Как и все присоединения, присоединение тензор-гом может быть описано его коединицей и единичными естественными преобразованиями . Используя обозначения из предыдущего раздела, коединица

${\displaystyle \varepsilon :FG\to 1_{\mathcal {C}}}$

имеет компоненты

${\displaystyle \varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z}$

дано по оценке: Для

${\displaystyle \phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{and}}\quad x\in X,}$

${\displaystyle \varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x).}$

Компоненты устройства​

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to GF}$

${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

определяются следующим образом: Для в ,${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

является правым гомоморфизмом модулей, заданным формулой ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{for }}t\in X.}$

Уравнения коединицы и единицы ^{[ сломанный якорь ]} теперь могут быть явно проверены. Для , ${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X}$

дается на простых тензорах по${\displaystyle Y\otimes X}$

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.}$

Так же,

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).}$

Для в ,${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)}$

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )}$

является правым гомоморфизмом модулей, определяемым формулой${\displaystyle S}$

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)}$

и поэтому

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .}$

Функтор Hom коммутирует с произвольными пределами, в то время как функтор тензорного произведения коммутирует с произвольными копределами, которые существуют в их категории областей. Однако, в общем случае, не коммутирует с копределами и не коммутирует с пределами; эта неспособность происходит даже среди конечных пределов или копределов. Эта неспособность сохранять короткие точные последовательности мотивирует определение функтора Ext и функтора Tor .${\displaystyle \hom(X,-)}$${\displaystyle -\otimes X}$${\displaystyle \hom(X,-)}$${\displaystyle -\otimes X}$

Мы можем проиллюстрировать сопряжение тензора и hom в категории функций конечных множеств . Для заданного множества его функтор Hom переводит любое множество в множество функций из в . Класс изоморфизма этого множества функций — натуральное число . Аналогично, тензорное произведение переводит множество в его декартово произведение с . Таким образом, его класс изоморфизма — натуральное число . ${\displaystyle N}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{N}}$${\displaystyle -\otimes N}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$${\displaystyle AN}$

Это позволяет нам интерпретировать изоморфизм hom-множеств

${\displaystyle \operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).}$

что универсально характеризует тензорно-гомовое присоединение, как категоризацию замечательного базового закона экспонент

${\displaystyle Z^{YX}=(Z^{X})^{Y}.}$

• Каррирование
• Двойственность_Экмана–Хилтона
• Ext-функтор
• функтор Tor
• Смена колец

• Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9