Бабочка Хофштадтера

В физике конденсированного состояния бабочка Хофштадтера — это график спектральных свойств невзаимодействующих двумерных электронов в перпендикулярном магнитном поле в решетке . Фрактальная, самоподобная природа спектра была обнаружена в 1976 году в докторской работе Дугласа Хофштадтера ^[1] и является одним из ранних примеров современной визуализации научных данных. Название отражает тот факт, что, как писал Хофштадтер, «большие промежутки [на графике] образуют очень поразительный узор, несколько напоминающий бабочку». ^[1]

Бабочка Хофштадтера играет важную роль в теории целочисленного квантового эффекта Холла и теории топологических квантовых чисел .

Первое математическое описание электронов на двумерной решетке, находящихся под действием перпендикулярного однородного магнитного поля, было изучено Рудольфом Пайерлсом и его студентом Р. Г. Харпером в 1950-х годах. ^{[2] [3]}

Хофштадтер впервые описал эту структуру в 1976 году в статье об энергетических уровнях блоховских электронов в перпендикулярных магнитных полях. ^[1] Она дает графическое представление спектра уравнения Харпера на разных частотах. Один из ключевых аспектов математической структуры этого спектра — расщепление энергетических полос для определенного значения магнитного поля вдоль одного измерения (энергии) — ранее был упомянут вскользь советским физиком Марком Азбелем в 1964 году ^[4] (в статье, цитируемой Хофштадтером), но Хофштадтер значительно расширил эту работу, построив график всех значений магнитного поля против всех значений энергии, создав двумерный график, который впервые выявил уникальные рекурсивные геометрические свойства спектра. ^[1]

Написанная во время работы Хофштадтера в Университете Орегона , его статья оказала влияние на направление дальнейших исследований. В ней теоретически предсказывалось, что допустимые значения уровней энергии электрона в двумерной квадратной решетке , как функция магнитного поля, приложенного перпендикулярно к системе, образуют то, что сейчас известно как фрактальное множество . То есть распределение уровней энергии для мелкомасштабных изменений приложенного магнитного поля рекурсивно повторяет закономерности, наблюдаемые в крупномасштабной структуре. ^[1] «Gplot», как назвал эту фигуру Хофштадтер, был описан как рекурсивная структура в его статье 1976 года в Physical Review B , ^[1] написанной до того, как недавно придуманное Бенуа Мандельбротом слово «фрактал» было введено в английский текст. Хофштадтер также обсуждает эту фигуру в своей книге 1979 года « Гёдель, Эшер, Бах» . Структура стала общеизвестной как «бабочка Хофштадтера».

Дэвид Дж. Таулесс и его команда обнаружили, что крылья бабочки характеризуются целыми числами Черна , которые дают возможность рассчитать проводимость Холла в модели Хофштадтера. ^[5]

В 1997 году бабочка Хофштадтера была воспроизведена в экспериментах с микроволновым волноводом, оснащенным массивом рассеивателей. ^[6] Сходство между математическим описанием микроволнового волновода с рассеивателями и волнами Блоха в магнитном поле позволило воспроизвести бабочку Хофштадтера для периодических последовательностей рассеивателей.

В 2001 году Кристиан Альбрехт, Клаус фон Клитцинг и их коллеги создали экспериментальную установку для проверки предсказаний Таулеса и др. о бабочке Хофштадтера с двумерным электронным газом в сверхрешеточном потенциале. ^{[7] [2]}

В 2013 году три отдельные группы исследователей независимо друг от друга сообщили о наличии спектра бабочки Хофштадтера в графеновых устройствах, изготовленных на гексагональных подложках из нитрида бора . ^{[8] [9] [10]} В этом случае спектр бабочки является результатом взаимодействия между приложенным магнитным полем и крупномасштабным муаровым узором , который возникает, когда решетка графена ориентирована с почти нулевым угловым несоответствием по отношению к нитриду бора.

В сентябре 2017 года группа Джона Мартиниса в Google в сотрудничестве с группой Ангелакиса в CQT Singapore опубликовала результаты моделирования 2D-электронов в перпендикулярном магнитном поле с использованием взаимодействующих фотонов в 9 сверхпроводящих кубитах . Моделирование восстановило бабочку Хофштадтера, как и ожидалось. ^[11]

В 2021 году бабочка была обнаружена в скрученном двухслойном графене под вторым магическим углом. ^[12]

В своей оригинальной статье Хофштадтер рассматривает следующий вывод: ^[1] заряженная квантовая частица в двумерной квадратной решетке с шагом решетки описывается периодическим уравнением Шредингера в перпендикулярном статическом однородном магнитном поле, ограниченном одной блоховской зоной. Для двумерной квадратной решетки дисперсионное соотношение энергии сильной связи имеет вид${\displaystyle а}$

${\displaystyle W(\mathbf {k})=E_{0}(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a)={\frac {E_{0}}{2}}(e^{ ik_{x}a}+e^{-ik_{x}a}+e^{ik_{y}a}+e^{-ik_{y}a})}$,

где — энергетическая функция, — импульс кристалла , — эмпирический параметр. Магнитное поле , где — векторный потенциал магнитного поля , можно учесть с помощью подстановки Пайерлса , заменив импульс кристалла каноническим импульсом , где — оператор импульса частицы , — заряд частицы ( для электрона — элементарный заряд ). Для удобства выберем калибровку .${\displaystyle W(\mathbf {k})}$${\ displaystyle \ mathbf {k} = (k_ {x}, k_ {y})}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \hbar \mathbf {k} \to \mathbf {p} -q\mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{x},p_{y})}$${\displaystyle д}$${\displaystyle q=-e}$${\displaystyle е}$${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$

Используя это, есть оператор трансляции , так что , где и есть двумерная волновая функция частицы . Можно использовать в качестве эффективного гамильтониана , чтобы получить следующее независимое от времени уравнение Шредингера:${\displaystyle e^{ip_{j}a}}$${\displaystyle e^{ip_{j}a}\psi (x,y)=\psi (x+a,y)}$${\displaystyle j=x,y,z}$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ psi (x, y)}$${\displaystyle W(\mathbf {p} -q\mathbf {A})}$

${\displaystyle E\psi (x,y)={\frac {E_{0}}{2}}\left[\psi (x+a,y)+\psi (xa,y)+\psi (x ,y+a)e^{-iqBxa/\hbar }+\psi (x,ya)e^{+iqBxa/\hbar }\right].}$

Учитывая, что частица может прыгать только между точками в решетке, мы пишем , где - целые числа. Хофштадтер делает следующий анзац : , где зависит от энергии, чтобы получить уравнение Харпера (также известное как оператор почти Матье для ):${\displaystyle x=na,y=ma}$${\displaystyle н,м}$${\displaystyle \psi (x,y)=g_ {n}e^{i\nu m}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \лямбда =1}$

${\displaystyle g_{n+1}+g_{n-1}+2\cos(2\pi n\alpha -\nu)g_{n}=\epsilon g_{n},}$

где и , пропорционален магнитному потоку через ячейку решетки и является квантом магнитного потока . Отношение потока также может быть выражено через магнитную длину , так что . ^[1]${\displaystyle \epsilon =2E/E_{0}}$${\displaystyle \alpha =\phi (B)/\phi _{0}}$${\displaystyle \phi (B)=Ba^{2}}$${\displaystyle \phi _{0}=2\pi \hbar /q}$${\displaystyle \альфа}$${\textstyle l_{\rm {m}}={\sqrt {\hbar /eB}}}$${\textstyle \alpha =(2\pi)^{-1}(a/l_{\rm {m}})^{2}}$

Бабочка Хофштадтера — это результирующий график зависимости как функции отношения потоков , где — множество всех возможных решений уравнения Харпера.${\displaystyle \epsilon _ {\alpha }}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \epsilon _ {\alpha }}$${\displaystyle \epsilon}$

Благодаря свойствам функции косинуса, рисунок является периодическим на с периодом 1 (он повторяется для каждого квантового потока на элементарную ячейку). График в области между 0 и 1 имеет симметрию отражения в линиях и . ^[1] Обратите внимание, что обязательно ограничено между -4 и 4. ^[1]${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \alpha = {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \epsilon =0}$${\displaystyle \epsilon}$

Уравнение Харпера обладает особым свойством, заключающимся в том, что решения зависят от рациональности . Налагая периодичность на , можно показать, что если ( рациональное число ), где и являются различными простыми числами , то существует ровно энергетических зон. ^[1] При больших энергетические зоны сходятся к тонким энергетическим зонам, соответствующим уровням Ландау .${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \альфа =P/Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q\gg P}$

Грегори Ванье показал, что, принимая во внимание плотность состояний , можно получить диофантово уравнение , описывающее систему, ^[13] как

${\displaystyle {\frac {n}{n_{0}}}=S+T\альфа }$

где

${\displaystyle n=\int _{-4}^{\epsilon _{\rm {F}}}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon \;;\;n_{0}=\int _{-4}^{4}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon }$

где и — целые числа, а — плотность состояний при заданном . Здесь подсчитывает число состояний до энергии Ферми , а соответствует уровням полностью заполненной зоны (от до ). Это уравнение характеризует все решения уравнения Харпера. Самое главное, можно вывести, что когда — иррациональное число , существует бесконечно много решений для .${\displaystyle S}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle \rho (\epsilon)}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle \epsilon =-4}$${\displaystyle \epsilon =4}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \epsilon _ {\alpha }}$

Объединение всех образует самоподобный фрактал, который является разрывным между рациональными и иррациональными значениями . Этот разрыв является нефизическим, и непрерывность восстанавливается для конечной неопределенности в ^[1] или для решеток конечного размера. ^[14] Масштаб, в котором бабочка может быть разрешена в реальном эксперименте, зависит от конкретных условий системы. ^[2]${\displaystyle \epsilon _ {\alpha }}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle Б}$

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив его. ( Сентябрь 2020 )

Фазовая диаграмма электронов в двумерной квадратной решетке, как функция перпендикулярного магнитного поля, химического потенциала и температуры, имеет бесконечно много фаз. Таулесс и его коллеги показали, что каждая фаза характеризуется интегральной проводимостью Холла, где допускаются все целые значения. Эти целые числа известны как числа Черна . ^[2]

• Модель Обри–Андре