Замена Пайерлса

Эта статья требует внимания эксперта по физике . Конкретная проблема: необходимо резюмировать разделы, слишком много уравнений и не все переменные определены. WikiProject Physics может помочь нанять эксперта. ( Октябрь 2019 )

Метод подстановки Пайерлса , названный в честь оригинальной работы Рудольфа Пайерлса ^[1], является широко используемым приближением для описания сильно связанных электронов в присутствии медленно меняющегося магнитного векторного потенциала. ^[2]

При наличии внешнего магнитного векторного потенциала операторы трансляции, которые образуют кинетическую часть гамильтониана в модели сильной связи , просто равны${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} _{x}=|m+1,n\rangle \langle m,n|e^{i\theta _{m,n}^{x}},\quad \mathbf { T} _{y}=|m,n+1\rangle \langle m,n|e^{i\theta _{m,n}^{y}}}$$

и во второй формулировке квантования

$${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\boldsymbol {\psi}}_{m+1,n}^{\dagger}{\boldsymbol {\psi}}_{m,n}e^{i\theta _{m,n}^{x}},\quad \mathbf {T} _{y}={\boldsymbol {\psi}}_{m,n+1}^{\dagger}{\boldsymbol {\psi}}_{m,n}e^{i\theta _{m,n}^{y}}.}$$

Фазы определяются как

$${\displaystyle \theta _{m,n}^{x}={\frac {q}{\hbar }}\int _{m}^{m+1}A_{x}(x,n){\text{d}}x,\quad \theta _{m,n}^{y}={\frac {q}{\hbar }}\int _{n}^{n+1}A_{y}(m,y){\text{d}}y.}$$

1. Число квантов потока на плакетку связано с ротором решетки фазового фактора, а полный поток через решетку равен кванту магнитного потока в гауссовых единицах .${\displaystyle \phi _{mn}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\times \theta _{m,n}&=\Delta _{x}\theta _{m,n}^{y}-\Delta _{y}\theta _{m,n}^{x}=\left(\theta _{m+1,n}^{y}-\theta _{m,n}^{y}-\theta _{m,n+1}^{x}+\theta _{m,n}^{x}\right)\\&={\frac {q}{\hbar }}\int _{\text{элементарная ячейка}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {l} =2\pi {\frac {q}{h}}\int \mathbf {B} \cdot {\text{d}}\mathbf {s} =2\пи \фи _{m,n}\end{align}}}$$${\textstyle \Phi =\Phi _{0}\sum _{m,n}\phi _{m,n}}$${\displaystyle \Phi _{0}=hc/e}$
2. Поток квантов на плакетку связан с накопленной фазой состояния отдельной частицы, окружающей плакетку:${\displaystyle \phi _{mn}}$${\displaystyle |\psi \rangle = {\boldsymbol {\psi }}_{i,j}|0\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }\mathbf {T} _{y}\mathbf {T} _{x}|\psi \rangle &=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }\mathbf {T} _{y}|i+1,j\rangle e^{i\theta _{i,j}^{x}}=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }|i+1,j+1\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}\right)}\\&=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }|i,j+1\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}-\theta _{i,j+1}^{x}\right)}=|i,j\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}-\theta _{i,j+1}^{x}-\theta _{i,j}^{y}\right)}=|i,j\rangle e^{i2\pi \phi _{m,n}}.\end{aligned}}}$$

Здесь мы приводим три вывода подстановки Пайерлса, каждый из которых основан на различной формулировке теории квантовой механики.

Здесь мы приводим простой вывод подстановки Пайерлса, основанный на The Feynman Lectures (том III, глава 21). ^[3] Этот вывод постулирует, что магнитные поля включены в модель сильной связи путем добавления фазы к членам прыжка, и показывает, что это согласуется с гамильтонианом континуума. Таким образом, нашей отправной точкой является гамильтониан Хофштадтера : ^[2]

$${\displaystyle H_{0}=\sum _{m,n}{\bigg (}-te^{i\theta _{m,n}^{x}}\vert m\!+\!a,n\rangle \langle m,n\vert -te^{i\theta _{m,n}^{y}}\vert m,n\!+\!a\rangle \langle m,n\vert -\epsilon _{0}\vert m,n\rangle \langle m,n\vert {\bigg )}+{\text{h.c}}.}$$

Оператор трансляции можно записать явно, используя его генератор, то есть оператор импульса. В этом представлении его легко расширить до второго порядка,${\displaystyle \vert m+1\rangle \langle m\vert }$

$${\displaystyle \vert m\!+\!a\rangle \langle m\vert =\exp {{\bigg (}\!-\!{\frac {i\mathbf {p} _{x}a}{\hbar }}{\bigg )}}\vert m\rangle \langle m\vert =\left(1-{\frac {i\mathbf {p} _{x}}{\hbar }}a-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3})\right)\vert m\rangle \langle m\vert }$$

и в решетке 2D . Далее мы разложим до второго порядка фазовые множители, предполагая, что векторный потенциал не меняется существенно на одном шаге решетки (который считается малым)${\displaystyle \vert m\!+\!a\rangle \langle m\vert \longrightarrow \vert m\!+\!a,n\rangle \langle m,n\vert }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=1+i\theta -{\frac {1}{2}}\theta ^{2}+{\mathcal {O}}(\theta ^{3}),\\\theta &\approx {\frac {aqA_{x}}{\hbar }},\\e^{i\theta }&=1+{\frac {iaqA_{x}}{\hbar }}-{\frac {a^{2}q^{2}A_{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(a^{3}).\end{aligned}}}$$

Подстановка этих расширений в соответствующую часть гамильтониана дает

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }\vert m+a\rangle \langle m\vert +e^{-i\theta }\vert m\rangle \langle m+a\vert &={\bigg (}1+{\frac {iaqA_{x}}{\hbar }}-{\frac {a^{2}q^{2}A_{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {i\mathbf {p} _{x}}{\hbar }}a-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert +{\text{h.c}}\\&={\bigg (}2-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{\hbar ^{2}}}a^{2}+{\frac {q\lbrace \mathbf {p} _{x},A_{x}\rbrace }{\hbar ^{2}}}a^{2}-{\frac {q^{2}A_{x}^{2}}{\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert \\&={\bigg (}-{\frac {a^{2}}{\hbar ^{2}}}{\big (}\mathbf {p} _{x}-qA_{x}{\big )}^{2}+2+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert .\end{aligned}}}$$

Обобщая последний результат на двумерный случай, приходим к гамильтониану Хофштадтера в пределе континуума :

${\displaystyle H_{0}={\frac {1}{2m}}{\big (}\mathbf {p} -q\mathbf {A} {\big )}^{2}+{\tilde {\epsilon _{0}}}}$

где эффективная масса и .${\displaystyle m=\hbar ^{2}/2ta^{2}}$${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{0}=\epsilon _{0}-4t}$

Здесь мы показываем, что фактор фазы Пайерлса возникает из пропагатора электрона в магнитном поле из-за динамического члена, появляющегося в лагранжиане. В формализме интеграла по траектории , который обобщает принцип действия классической механики, амплитуда перехода от сайта во времени к сайту во времени задается как${\displaystyle q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} }$${\displaystyle j}$${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t_{i}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{i},t_{i}|\mathbf {r} _{j},t_{j}\rangle =\int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]e^{{\frac {\rm {i}}{\hbar }}{\mathcal {S}}(\mathbf {r} )},}$$

где оператор интегрирования, обозначает сумму по всем возможным путям от до и является классическим действием , которое является функционалом, принимающим траекторию в качестве своего аргумента. Мы используем для обозначения траектории с конечными точками в . Лагранжиан системы можно записать как${\displaystyle \int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]}$${\displaystyle \mathbf {r} (t_{i})}$${\displaystyle \mathbf {r} (t_{j})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {r} _{ij}]=\int _{t_{i}}^{t_{j}}L[\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t]\mathrm {d} t}$${\displaystyle \mathbf {r} _{ij}}$${\displaystyle r(t_{i}),r(t_{j})}$

$${\displaystyle L=L^{(0)}+q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,}$$

где - лагранжиан в отсутствие магнитного поля. Соответствующее действие читается как${\displaystyle L^{(0)}}$

$${\displaystyle S[\mathbf {r} _{ij}]=S^{(0)}[\mathbf {r} _{ij}]+q\int _{t_{i}}^{t_{j}}dt\left({\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}\right)\cdot \mathbf {A} =S^{(0)}[\mathbf {r} _{ij}]+q\int _{\mathbf {r} _{ij}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }$$

Теперь, предполагая, что только один путь вносит значительный вклад, мы имеем

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{i},t_{i}|\mathbf {r} _{j},t_{j}\rangle =e^{{\frac {iq}{\hbar }}\int _{\mathbf {r} _{c}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }\int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]e^{{\frac {\rm {i}}{\hbar }}{\mathcal {S}}^{(0)}[\mathbf {r} ]}}$$

Следовательно, амплитуда перехода электрона под действием магнитного поля равна амплитуде перехода в отсутствие магнитного поля, умноженной на фазу.

Гамильтониан определяется как

$${\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+U\left(\mathbf {r} \right),}$$

где потенциальный ландшафт, обусловленный кристаллической решеткой. Теорема Блоха утверждает, что решение задачи: , следует искать в форме суммы Блоха${\displaystyle U\left(\mathbf {r} \right)}$${\displaystyle H\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E\left(\mathbf {k} \right)\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }\left(\mathbf {r} \right),}$$

где - число элементарных ячеек, а известны как функции Ванье . Соответствующие собственные значения , которые образуют полосы в зависимости от импульса кристалла , получаются путем вычисления матричного элемента${\displaystyle N}$${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }}$${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)}$${\displaystyle \mathbf {k} }$

$${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)=\int d\mathbf {r} \ \Psi _{\mathbf {k} }^{*}(\mathbf {r} )H\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {R} \mathbf {R} ^{\prime }}e^{i\mathbf {k} \left(\mathbf {R} ^{\prime }-\mathbf {R} \right)}\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }^{*}\left(\mathbf {r} \right)H\phi _{\mathbf {R} ^{\prime }}\left(\mathbf {r} \right)}$$

и в конечном итоге зависят от зависящих от материала интегралов прыжков

$${\displaystyle t_{12}=-\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} _{1}}^{*}\left(\mathbf {r} \right)H\phi _{\mathbf {R} _{2}}\left(\mathbf {r} \right).}$$

В присутствии магнитного поля гамильтониан изменяется на

$${\displaystyle {\tilde {H}}(t)={\frac {\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (t)\right)^{2}}{2m}}+U\left(\mathbf {r} \right),}$$

где заряд частицы. Чтобы исправить это, рассмотрим изменение функций Ванье на${\displaystyle q}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot dr'}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ),\end{aligned}}}$$

где . Это делает новые волновые функции Блоха${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }\equiv {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {A} \to 0)}$

$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ),}$$

в собственные состояния полного гамильтониана в момент времени , с той же энергией, что и раньше. Чтобы увидеть это, мы сначала используем для записи${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {H}}(t){{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}&=\left[{\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t))^{2}}{2m}}+U(\mathbf {r} )\right]e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )\\&=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }A(\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\left[{\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t))^{2}}{2m}}+U(\mathbf {r} )\right]\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )\\&=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }A(\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}H\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$

Затем, когда мы вычисляем интеграл перескока в квазиравновесии (предполагая, что векторный потенциал изменяется медленно)

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {t}}_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}(t)&=-\int d\mathbf {r} \ {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }^{*}(\mathbf {r} ){\tilde {H}}(t){\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} )\\&=-\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }^{*}(\mathbf {r} )e^{i{\frac {q}{\hbar }}\left[-\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '+\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '\right]}H\phi _{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} )\\&=-e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {R} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }^{*}(\mathbf {r} )e^{i{\frac {q}{\hbar }}\Phi _{\mathbf {R} ',\mathbf {r} ,\mathbf {R} }}H\phi _{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} ),\end{aligned}}}$$

где мы определили , поток через треугольник, созданный тремя аргументами положения. Поскольку мы предполагаем, что приблизительно однороден в масштабе решетки ^[4] - масштабе, в котором состояния Ванье локализованы в положениях - мы можем аппроксимировать , получая желаемый результат, Таким образом, матричные элементы такие же, как и в случае без магнитного поля, за исключением подобранного фазового множителя, который обозначается как фазовый множитель Пайерлса. Это чрезвычайно удобно, поскольку тогда мы получаем возможность использовать те же материальные параметры независимо от значения магнитного поля, и соответствующая фаза вычислительно тривиальна для учета. Для электронов ( ) это равносильно замене члена прыжка на ^{[4] [5] [6] [7]}${\displaystyle \Phi _{\mathbf {R} ',\mathbf {r} ,\mathbf {R} }=\oint _{\mathbf {R} '\to \mathbf {r} \to \mathbf {R} \to \mathbf {R} '}\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \Phi _{\mathbf {R} ,\mathbf {r} ,\mathbf {R} '}\approx 0}$$${\displaystyle {\tilde {t}}_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}(t)\approx t_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {R} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}.}$$${\displaystyle q=-e}$${\displaystyle t_{ij}}$${\displaystyle t_{ij}e^{-i{\frac {e}{\hbar }}\int _{i}^{j}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} }}$