Модель Обри–Андре
Игрушечная модель для электронной локализации

Модель Обри–Андре — это игрушечная модель одномерного кристалла с периодически меняющимися энергиями на месте. Модель используется для изучения как квазикристаллов , так и локализационного перехода металл-изолятор Андерсона в неупорядоченных системах. Впервые она была разработана Сержем Обри и Жилем Андре в 1980 году. [1]

Гамильтониан модели

Переход металл-изолятор Обри-Андре, обратная длина локализации как функция энергетических соотношений . л л о с {\displaystyle l_{\rm {loc}}} λ / Дж. {\displaystyle \лямбда /J}

Модель Обри–Андре описывает одномерную решетку с прыжками между ближайшими соседними узлами и периодически меняющимися энергиями на узлах. Это модель сильной связи (однозонная) без взаимодействий. Полный гамильтониан можно записать как

ЧАС = ∑ н ( − Дж. | н ⟩ ⟨ н + 1 | − Дж. | н + 1 ⟩ ⟨ н | + ϵ н | н ⟩ ⟨ н | ) {\displaystyle H=\sum _{n}{\Bigl (}-J|n\rangle \langle n+1|-J|n+1\rangle \langle n|+\epsilon _{n}|n\ rangle \langle n|{\Bigr )}} ,

где сумма идет по всем узлам решетки , — состояние Ванье на узле , — энергия прыжка, а энергии на узле определяются как н {\displaystyle n} | н ⟩ {\displaystyle |n\rangle } н {\displaystyle n} Дж. {\displaystyle J} ϵ н {\displaystyle \epsilon _{n}}

ϵ н = λ потому что ⁡ ( 2 π β н + φ ) {\displaystyle \epsilon _ {n} =\lambda \cos (2\pi \beta n+\varphi)} .

Здесь — амплитуда изменения энергий на месте, — относительная фаза, — период модуляции потенциала на месте в единицах постоянной решетки. Этот гамильтониан является самодуальным, поскольку сохраняет ту же форму после преобразования Фурье, меняющего роли положения и импульса. [2] λ {\displaystyle \лямбда} φ {\displaystyle \varphi} β {\displaystyle \бета}

Фазовый переход металл-изолятор

Для иррациональных значений , соответствующих модуляции внутренней энергии, несоизмеримой с базовой решеткой, модель демонстрирует квантовый фазовый переход между металлической фазой и изолирующей фазой при изменении. Например, для ( золотого сечения ) и почти любого , [3] если собственные моды экспоненциально локализованы, в то время как если собственные моды являются протяженными плоскими волнами. Переход металл-изолятор Обри-Андре происходит при критическом значении , которое разделяет эти два поведения, . [4] β {\displaystyle \бета} λ {\displaystyle \лямбда} β = ( 1 + 5 ) / 2 {\displaystyle \beta =(1+{\sqrt {5}})/2} φ {\displaystyle \varphi} λ > 2 Дж. {\displaystyle \лямбда >2J} λ < 2 Дж. {\displaystyle \лямбда <2J} λ {\displaystyle \лямбда} λ = 2 Дж. {\displaystyle \лямбда =2J}

Хотя этот квантовый фазовый переход между металлическим делокализованным состоянием и изолирующим локализованным состоянием напоминает локализационный переход Андерсона , вызванный беспорядком , между этими двумя явлениями есть некоторые ключевые различия. В частности, модель Обри-Андре не имеет фактического беспорядка, а только несоизмеримую модуляцию энергий на месте. Вот почему переход Обри-Андре происходит при конечном значении силы псевдобеспорядка , тогда как в одном измерении переход Андерсона происходит при нулевой силе беспорядка. λ {\displaystyle \лямбда}

Энергетический спектр

Энергетический спектр является функцией и задается почти уравнением Матье Э н {\displaystyle E_{n}} β {\displaystyle \бета}

Э н ψ н = − Дж. ( ψ н + 1 + ψ н − 1 ) + ϵ н ψ н {\displaystyle E_{n}\psi _{n}=-J(\psi _{n+1}+\psi _{n-1})+\epsilon _{n}\psi _{n}} .

Это эквивалентно знаменитому фрактальному энергетическому спектру, известному как бабочка Хофштадтера , который описывает движение электрона в двумерной решетке под действием магнитного поля. [2] [4] В модели Обри–Андре напряженность магнитного поля отображается на параметр . λ = 2 Дж. {\displaystyle \лямбда =2J} β {\displaystyle \бета}

Реализация

В 2008 году Г. Роати и др. экспериментально реализовали локализационный фазовый переход Обри-Андре, используя газ ультрахолодных атомов в несоизмеримой оптической решетке. [5]

В 2009 году Й. Лахини и др. реализовали модель Обри–Андре в фотонных решетках. [6]

Смотрите также

Ссылки

  1. ↑ Обри, Серж и Жиль Андре. «Нарушение аналитичности и локализация Андерсона в несоизмеримых решетках». Ann. Israel Phys. Soc 3.133 (1980): 18.
  2. ^ ab Домингес-Кастро, GA; Паредес, R (2019-07-01). «Модель Обри–Андре как хобби-хобби для понимания явления локализации». European Journal of Physics . 40 (4): 045403. arXiv : 1812.06201 . Bibcode : 2019EJPh...40d5403D. doi : 10.1088/1361-6404/ab1670. ISSN  0143-0807. S2CID  119484117.
  3. ^ Житомирская, Светлана Я. (1999). «Переход металл-изолятор для оператора почти Матье». Annals of Mathematics . 150 (3): 1159– 1175. arXiv : math/9911265 . doi :10.2307/121066. ISSN  0003-486X.
  4. ^ ab Мартинес, Алехандро Дж.; Портер, Мейсон А.; Кеврекидис, ПГ (2018-08-28). «Квазипериодические гранулярные цепи и бабочки Хофштадтера». Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 376 (2127): 20170139. arXiv : 1801.09860 . Bibcode :2018RSPTA.37670139M. doi :10.1098/rsta.2017.0139. ISSN  1364-503X. PMC 6077862 . PMID  30037937. 
  5. ^ Роати, Джакомо; Д'Эррико, Кьяра; Фаллани, Леонардо; Фаттори, Марко; Форт, Кьяра; Закканти, Маттео; Модуньо, Джованни; Модуньо, Мишель; Ингусио, Массимо (июнь 2008 г.). «Андерсоновская локализация невзаимодействующего конденсата Бозе – Эйнштейна». Природа . 453 (7197): 895–898 . arXiv : 0804.2609 . дои : 10.1038/nature07071. ISSN  1476-4687.
  6. ^ Лахини, Y.; Пугач, R.; Поцци, F.; Сорель, M.; Морандотти, R.; Дэвидсон, N.; Силберберг, Y. (2009-06-30). "Наблюдение локализационного перехода в квазипериодических фотонных решетках". Physical Review Letters . 103 (1): 013901. arXiv : 0807.2845 . Bibcode :2009PhRvL.103a3901L. doi :10.1103/PhysRevLett.103.013901. ISSN  0031-9007. PMID  19659147. S2CID  33770751.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Модель_Обри–Андре&oldid=1260064211"