Уровни Ландау

В квантовой механике энергии циклотронных орбит заряженных частиц в однородном магнитном поле квантуются до дискретных значений, поэтому известны как уровни Ландау . Эти уровни вырождены , с числом электронов на уровне, прямо пропорциональным силе приложенного магнитного поля. Он назван в честь советского физика Льва Ландау . ^[1]

Квантование Ландау способствует магнитной восприимчивости металлов, известной как диамагнетизм Ландау . В сильных магнитных полях квантование Ландау приводит к колебаниям электронных свойств материалов в зависимости от приложенного магнитного поля, известным как эффекты Де Гааза–Ван Альфена и Шубникова–де Гааза .

Квантование Ландау является ключевым элементом в объяснении целочисленного квантового эффекта Холла .

Рассмотрим систему невзаимодействующих частиц с зарядом q и спином S, ограниченную областью A = L _x L _y в плоскости xy . Приложим однородное магнитное поле вдоль оси z . В единицах СИ гамильтониан этой системы (здесь эффекты спина пренебрегаются) равен Здесь — канонический оператор импульса , а — оператор для электромагнитного векторного потенциала (в пространстве положений ) .${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}\right)^{2}.}$$${\textstyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}}$ ${\textstyle \mathbf {А} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}=\mathbf {A} }$

Векторный потенциал связан с магнитным полем соотношением${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla} \times \mathbf {A}.}$

Существует некоторая свобода калибровки в выборе векторного потенциала для данного магнитного поля. Гамильтониан калибровочно инвариантен , что означает, что добавление градиента скалярного поля к A изменяет общую фазу волновой функции на величину, соответствующую скалярному полю. Но физические свойства не зависят от конкретного выбора калибровки.

Из возможных решений для A часто используется калибровочная фиксация, введенная Львом Ландау для заряженных частиц в постоянном магнитном поле. ^[2]

Когда тогда возможно решение ^[3] в калибровке Ландау (не путать с калибровкой Ландау ).${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0\\B\cdot x\\0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle R_{\xi }}$

В этой калибровке гамильтониан есть Оператор коммутирует с этим гамильтонианом, поскольку оператор отсутствует для этого выбора калибровки. Таким образом, оператор можно заменить его собственным значением . Поскольку не появляется в гамильтониане, а в кинетической энергии появляется только z-импульс, это движение вдоль z-направления является свободным движением.$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-qB{\hat {x}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle {\hat {y}}}$${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle \hbar k_{y}}$${\displaystyle {\hat {z}}}$

Гамильтониан можно также записать проще, заметив, что циклотронная частота равна , что дает Это в точности гамильтониан для квантового гармонического осциллятора , за исключением того, что минимум потенциала смещен в координатном пространстве на .${\displaystyle \omega _{c}=qB/m}$$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$${\displaystyle x_{0}=\hbar k_{y}/m\omega _{c}}$

Чтобы найти энергии, обратите внимание, что трансляция потенциала гармонического осциллятора не влияет на энергии. Таким образом, энергии этой системы идентичны энергиям стандартного квантового гармонического осциллятора , ^[4] Энергия не зависит от квантового числа , поэтому будет конечное число вырождений (если частица помещена в неограниченное пространство, это вырождение будет соответствовать непрерывной последовательности ). Значение непрерывно, если частица неограничена в направлении z, и дискретно, если частица также ограничена в направлении z. Каждый набор волновых функций с одинаковым значением называется уровнем Ландау .$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\geq 0.}$$${\displaystyle k_{y}}$${\displaystyle p_{y}}$${\displaystyle p_{z}}$${\displaystyle n}$

Для волновых функций напомним, что коммутирует с гамильтонианом. Тогда волновая функция разлагается на произведение собственных состояний импульса в направлении и собственных состояний гармонического осциллятора, смещенных на величину в направлении: где . В целом состояние электрона характеризуется квантовыми числами, , и .${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle у}$${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0})}$$${\displaystyle k_{z}=p_{z}/\hbar }$${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{y}}$${\displaystyle k_{z}}$

Вывод трактовал x и y как асимметричные. Однако, в силу симметрии системы, нет физической величины, которая различала бы эти координаты. Тот же результат можно было бы получить, если бы подходящим образом поменяли местами x и y .

Более адекватным выбором калибра является симметричный калибр, который относится к выбору$${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$$

В терминах безразмерных длин и энергий гамильтониан можно выразить как$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}-{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$$

Правильные единицы измерения можно восстановить, введя множители и .${\displaystyle q,\hbar ,\mathbf {B} }$${\displaystyle m}$

Рассмотрим операторов$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\end{aligned}}}$$

Эти операторы следуют определенным коммутационным соотношениям$${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1.}$$

В терминах приведенных выше операторов гамильтониан можно записать как, где мы снова ввели единицы измерения.$${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right),}$$

Индекс уровня Ландау является собственным значением оператора .${\displaystyle n}$${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$

Применение увеличивается на одну единицу при сохранении , тогда как применение одновременно увеличивает и уменьшает на одну единицу. Аналогия с квантовым гармоническим осциллятором дает решения , где и${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$${\displaystyle m_{z}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m_{z}}$$${\displaystyle {\hat {H}}|n,m_{z}\rangle =E_{n}|n,m_{z}\rangle ,}$$$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle |n,m_{z}\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m_{z}+n}}{\sqrt {(m_{z}+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle .}$$

Можно убедиться, что указанные выше состояния соответствуют выбору волновых функций, пропорциональных , где .$${\displaystyle \psi _{n,m_{z}}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-|w|^{2}/4}}$$${\displaystyle w=x-iy}$

В частности, низший уровень Ландау состоит из произвольных аналитических функций, умноженных на гауссиану, .${\displaystyle n=0}$${\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}$

Эффекты уровней Ландау можно наблюдать только тогда, когда средняя тепловая энергия kT меньше расстояния между энергетическими уровнями , что означает низкие температуры и сильные магнитные поля.${\displaystyle kT\ll \hbar \omega _{c}}$

Каждый уровень Ландау вырожден из-за второго квантового числа , которое может принимать значения, где — целое число. Допустимые значения дополнительно ограничены условием, что центр силы осциллятора, , должен физически находиться внутри системы, . Это дает следующий диапазон для ,${\displaystyle k_{y}}$$${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}},}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 0\leq x_{0}<L_{x}}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{\rm {c}}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$$

Для частиц с зарядом верхнюю границу можно просто записать как отношение потоков , где — фундаментальный квант магнитного потока , а — поток через систему (с площадью ).${\displaystyle q=Ze}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(h/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$$${\displaystyle \Phi _{0}=h/e}$${\displaystyle \Phi =BA}$${\displaystyle A=L_{x}L_{y}}$

Таким образом, для частиц со спином максимальное число частиц на уровень Ландау равно что для электронов (где и ) дает два доступных состояния для каждого кванта потока, который проникает в систему.${\displaystyle S}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$$${\displaystyle Z=1}$${\displaystyle S=1/2}$${\displaystyle D=2\Phi /\Phi _{0}}$

Вышеизложенное дает лишь приблизительное представление об эффектах геометрии конечных размеров. Строго говоря, использование стандартного решения гармонического осциллятора справедливо только для систем, неограниченных в -направлении (бесконечные полосы). Если размер конечен, граничные условия в этом направлении приводят к нестандартным условиям квантования магнитного поля, включающим (в принципе) оба решения уравнения Эрмита. Заполнение этих уровней многими электронами все еще ^[5] является активной областью исследований.${\displaystyle x}$${\displaystyle L_{x}}$

В общем, уровни Ландау наблюдаются в электронных системах. По мере увеличения магнитного поля все больше и больше электронов могут поместиться на данном уровне Ландау. Заполнение самого высокого уровня Ландау варьируется от полностью заполненного до полностью пустого, что приводит к колебаниям в различных электронных свойствах (см. эффект Де Гааза–Ван Альфена и эффект Шубникова–де Гааза ).

Если включить расщепление Зеемана , каждый уровень Ландау расщепляется на пару, одну для электронов со спином вверх, а другую для электронов со спином вниз. Тогда заполнение каждого уровня Ландау со спином равно просто отношению потоков . Расщепление Зеемана оказывает значительное влияние на уровни Ландау, поскольку их энергетические масштабы одинаковы, . Однако энергия Ферми и энергия основного состояния остаются примерно одинаковыми в системе со многими заполненными уровнями, поскольку пары расщепленных энергетических уровней компенсируют друг друга при суммировании.${\displaystyle D=\Phi /\Phi _{0}}$${\displaystyle 2\mu _{B}B=\hbar \omega _{c}}$

Более того, приведенный выше вывод в калибровке Ландау предполагал, что электрон ограничен в -направлении, что является соответствующей экспериментальной ситуацией — обнаруженной, например, в двумерных электронных газах. Тем не менее, это предположение не является существенным для результатов. Если электроны могут свободно двигаться вдоль -направления , волновая функция приобретает дополнительный мультипликативный член ; энергия, соответствующая этому свободному движению, , добавляется к обсуждаемому. Этот член затем заполняет разделение по энергии различных уровней Ландау, размывая эффект квантования. Тем не менее, движение в - -плоскости, перпендикулярной магнитному полю, по-прежнему квантуется.${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \exp(ik_{z}z)}$${\displaystyle (\hbar k_{z})^{2}/(2m)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Каждый уровень Ландау имеет вырожденные орбитали, помеченные квантовыми числами в симметричной калибровке. Вырождение на единицу площади одинаково на каждом уровне Ландау.${\displaystyle m_{z}}$

Z -компонента момента импульса равна$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}$$

Используя это свойство, мы выбрали собственные функции, которые диагонализируют и , Собственное значение обозначается как , где ясно, что на уровне Ландау. Однако оно может быть сколь угодно большим, что необходимо для получения бесконечного вырождения (или конечного вырождения на единицу площади), демонстрируемого системой.${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$${\displaystyle -m_{z}\hbar }$${\displaystyle m_{z}\geq -n}$${\displaystyle n}$

Электрон, следующий уравнению Дирака в постоянном магнитном поле, может быть решен аналитически. ^{[6] [7]} Энергии определяются как$${\displaystyle E_{\rm {rel}}=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(c\hbar k_{z})^{2}+2\nu \hbar \omega _{\rm {c}}mc^{2}}}}$$

где c — скорость света, знак зависит от компонента частица-античастица, а ν — неотрицательное целое число. Из-за спина все уровни вырождены, за исключением основного состояния при ν = 0 .

Безмассовый двумерный случай можно смоделировать в однослойных материалах , таких как графен вблизи конусов Дирака , где собственные энергии задаются выражением ^[8], где скорость света необходимо заменить на скорость Ферми v _F материала, а знак минус соответствует электронным дыркам .$${\displaystyle E_{\rm {graphene}}=\pm {\sqrt {2\nu \hbar eBv_{\rm {F}}^{2}}}}$$

Ферми -газ (ансамбль невзаимодействующих фермионов ) является частью основы для понимания термодинамических свойств металлов. В 1930 году Ландау вывел оценку магнитной восприимчивости ферми-газа, известной как восприимчивость Ландау , которая постоянна для малых магнитных полей. Ландау также заметил, что восприимчивость осциллирует с высокой частотой для больших магнитных полей, ^[9] это физическое явление известно как эффект Де Гааза–Ван Альфена .

Известно, что энергетический спектр сильной связи заряженных частиц в двумерной бесконечной решетке является самоподобным и фрактальны , как показано в бабочке Хофштадтера . Для целого отношения кванта магнитного потока и магнитного потока через ячейку решетки, можно восстановить уровни Ландау для больших целых чисел. ^[10]

Энергетический спектр полупроводника в сильном магнитном поле образует уровни Ландау, которые можно обозначить целыми индексами. Кроме того, сопротивление Холла также демонстрирует дискретные уровни, обозначенные целым числом ν . Тот факт, что эти две величины связаны, можно показать разными способами, но проще всего увидеть из модели Друде : проводимость Холла зависит от электронной плотности n как

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {B}{ne}}.}$

Поскольку плато сопротивления определяется выражением

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {2\pi \hbar }{e^{2}}}{\frac {1}{\nu }},}$

требуемая плотность

${\displaystyle n={\frac {B}{\Phi _{0}}}\nu ,}$

что является как раз той плотностью, которая требуется для заполнения уровня Ландау. Разрыв между различными уровнями Ландау вместе с большим вырождением каждого уровня делает сопротивление квантованным.

• Волновая функция Лафлина

• Лев Ландау (1930). «Diamagnetismus der Metalle» (PDF) (на немецком языке).{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)

• Ландау, Л. Д.; и Лифшиц, Э. М.; (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Курс теоретической физики . Том 3 (3-е изд. Лондон: Pergamon Press). ISBN 0750635398 .