Гармоническая форма Мааса

В математике слабая форма Мааса — это гладкая функция на верхней полуплоскости , преобразующаяся подобно модулярной форме под действием модулярной группы , являющаяся собственной функцией соответствующего гиперболического оператора Лапласа и имеющая не более линейного экспоненциального роста в точках возврата . Если собственное значение под лапласианом равно нулю, то называется гармонической слабой формой Мааса или кратко гармонической формой Мааса .${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Слабая форма волны Маасса, которая на самом деле имеет умеренный рост на вершинах, является классической формой волны Маасса .

Разложения Фурье гармонических форм Мааса часто кодируют интересные комбинаторные, арифметические или геометрические производящие функции. Регуляризованные тета-лифты гармонических форм Мааса могут быть использованы для построения функций Грина Аракелова для специальных делителей на ортогональных многообразиях Шимуры .

Комплекснозначная гладкая функция на верхней полуплоскости H = { z ∈ C :  Im ( z ) > 0}  называется слабой формой Мааса целого веса k (для группы SL(2, Z ) ) , если она удовлетворяет следующим трем условиям:${\displaystyle f}$  

(1) Для каждой матрицы функция удовлетворяет закону модульного преобразования${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z).}$

(2) является собственной функцией гиперболического лапласиана веса k${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$

где${\displaystyle z=x+iy.}$

(3) имеет максимум линейный экспоненциальный рост в точке возврата, то есть существует константа C > 0 такая, что f  ( z ) = O ( e ^Cy ) при${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\to \infty .}$

Если — слабая форма Мааса с собственным значением 0 при , то есть, если , то называется гармонической слабой формой Мааса или кратко — гармонической формой Мааса .${\displaystyle f}$${\displaystyle \Дельта _{k}}$${\displaystyle \Delta _ {k}f = 0}$${\displaystyle f}$

Каждая гармоническая форма Мааса веса имеет разложение Фурье вида${\displaystyle f}$${\displaystyle к}$

${\displaystyle f(z)=\sum \nolimits _{n\geq n^{+}}c^{+}(n)q^{n}+\sum \nolimits _{n\leq n^{-}}c^{-}(n)\Gamma (1-k,-4\pi ny)q^{n},}$

где q = e ^2πiz , и являются целыми числами, зависящими от Более того, ${\displaystyle n^{+},n^{-}}$${\displaystyle f.}$

${\displaystyle \Gamma (s,y)=\int _{y}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}dt}$

обозначает неполную гамма-функцию (которая должна быть интерпретирована соответствующим образом при n =0  ). Первое слагаемое называется голоморфной частью , а второе слагаемое называется неголоморфной частью ${\displaystyle f.}$

Существует комплексный антилинейный дифференциальный оператор, определяемый формулой${\displaystyle \xi _{k}}$

${\displaystyle \xi _{k}(f)(z)=2iy^{k}{\overline {{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}f(z)}}.}$

Так как , образ гармонической формы Мааса слабо голоморфен. Следовательно, определяет отображение из векторного пространства гармонических форм Мааса веса в пространство слабо голоморфных модулярных форм веса Было доказано Брюнье и Функе ^[1] (для произвольных весов, систем множителей и подгрупп конгруэнции), что это отображение сюръективно. Следовательно, существует точная последовательность${\displaystyle \Delta _{k}=-\xi _{2-k}\xi _{k}}$${\displaystyle \xi _{k}}$${\displaystyle H_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M_{2-k}^{!}}$${\displaystyle 2-k.}$

${\displaystyle 0\to M_{k}^{!}\to H_{k}\to M_{2-k}^{!}\to 0,}$

обеспечивая связь с алгебраической теорией модулярных форм. Важным подпространством является пространство тех гармонических форм Мааса, которые отображаются в формы каспа под .${\displaystyle H_{k}}$${\displaystyle H_{k}^{+}}$${\displaystyle \xi _{k}}$

Если гармонические формы Мааса интерпретировать как гармонические сечения линейного расслоения модулярных форм веса, снабженного метрикой Петерссона над модулярной кривой, то этот дифференциальный оператор можно рассматривать как композицию оператора звезды Ходжа и антиголоморфного дифференциала. Понятие гармонических форм Мааса естественным образом обобщается на произвольные конгруэнтные подгруппы и (скалярные и векторные) системы множителей.${\displaystyle k}$

• Каждая слабо голоморфная модулярная форма является гармонической формой Маасса.
• Неголоморфный ряд Эйзенштейна

${\displaystyle E_{2}(z)=1-{\frac {3}{\pi y}}-24\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{1}(n)q^{n}}$

веса 2 является гармонической формой Маасса веса 2.

• Ряд Эйзенштейна E 3/2 _Загира веса 3/2 ^[2] является гармонической формой Мааса веса 3/2 (для группы Γ ₀ (4) ). Ее образ под является ненулевым кратным тета-функции Якоби  ${\displaystyle \xi _{3/2}}$

${\displaystyle \theta (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{n^{2}}.}$

• Производная некогерентного ряда Эйзенштейна веса 1, связанного с мнимым квадратичным порядком ^[3], представляет собой гармоническую форму Маасса веса 1.
• Фиктивная модулярная форма ^[4] является голоморфной частью гармонической формы Маасса.
• Ряды Пуанкаре , построенные с помощью функции M-Уиттекера, являются слабыми формами Маасса. ^{[5] [6]} Когда спектральный параметр конкретизируется до гармонической точки, они приводят к гармоническим формам Маасса.
• Оценка дзета-функции Вейерштрасса в интеграле Эйхлера новой формы веса 2, соответствующей рациональной эллиптической кривой E, может быть использована для связывания гармонической формы Маасса веса 0 с E. ^[7]    
• Одновременный порождающий ряд для значений на делителях Хегнера и интегралов вдоль геодезических циклов J -функции Клейна (нормализованной таким образом, что постоянный член равен нулю) является гармонической формой Маасса веса 1/2. ^[8]

Вышеприведенное абстрактное определение гармонических форм Мааса вместе с систематическим исследованием их основных свойств было впервые дано Бруинье и Функе. ^[1] Однако многие примеры, такие как ряды Эйзенштейна и ряды Пуанкаре, уже были известны ранее. Независимо от этого, Цвегерс разработал теорию фиктивных модульных форм, которая также связана с гармоническими формами Мааса. ^[4]

Алгебраическая теория целочисленных весовых гармонических форм Мааса в стиле Каца была разработана Канделори. ^[9]