Унитальный (геометрия)
Множество из n³ + 1 точек, организованное в подмножества из n + 1

В геометрии унитальный элемент — это набор из n 3 + 1 точек , организованных в подмножества размера n + 1 так, что каждая пара различных точек набора содержится ровно в одном подмножестве. [a] Это эквивалентно утверждению, что унитальный элемент — это 2-( n 3 + 1, n + 1, 1) блочная схема . Некоторые унитальные элементы могут быть вложены в проективную плоскость порядка n 2 (подмножества схемы становятся множествами коллинеарных точек в проективной плоскости). В этом случае вложенных унитальных элементов каждая линия плоскости пересекает унитальный элемент либо в 1, либо в n + 1 точке. В дезарговых плоскостях , PG(2, q 2 ), классические примеры унитальных элементов задаются невырожденными эрмитовыми кривыми. Существует также много неклассических примеров. Первый и единственный известный унитальный элемент с непростыми степенными параметрами, n = 6 , был построен Бхаскаром Багчи и Сунандой Багчи. [1] Пока неизвестно, можно ли вложить этот унитальный элемент в проективную плоскость порядка 36 , если такая плоскость существует.

Униталы

Классическая

Мы рассмотрим некоторые термины, используемые в проективной геометрии .

Корреляция проективной геометрии — это биекция на ее подпространствах, которая меняет включение. В частности , корреляция меняет местами точки и гиперплоскости . [2]

Корреляция второго порядка называется полярностью .

Полярность называется унитарной полярностью , если ее соответствующая полуторалинейная форма s с сопутствующим автоморфизмом α удовлетворяет условию

s ( u , v ) = s ( v , u ) α для всех векторов u , v базового векторного пространства .

Точка называется абсолютной точкой полярности, если она лежит на своем изображении под полярностью.

Абсолютные точки унитарной полярности проективной геометрии PG( d , F ) для некоторого d ≥ 2 являются невырожденным эрмитовым многообразием , а если d = 2, то это многообразие называется невырожденной эрмитовой кривой . [3]

В PG(2, q 2 ) для некоторой степени простого числа q множество точек невырожденной эрмитовой кривой образуют унитал, [4] который называется классическим униталом .

Пусть будет невырожденной эрмитовой кривой в для некоторой степени простого числа . Поскольку все невырожденные эрмитовы кривые в одной плоскости проективно эквивалентны, можно описать в терминах однородных координат следующим образом: [5] ЧАС = ЧАС ( 2 , д 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(2,q^{2})} П Г ( 2 , д 2 ) {\displaystyle PG(2,q^{2})} д {\displaystyle д} ЧАС {\displaystyle {\mathcal {H}}} ЧАС = { ( х 0 , х 1 , х 2 ) : х 0 д + 1 + х 1 д + 1 + х 2 д + 1 = 0 } . {\displaystyle {\mathcal {H}}=\{(x_{0},x_{1},x_{2})\colon x_{0}^{q+1}+x_{1}^{q+1}+x_{2}^{q+1}=0\}.}

Три единицы

Другое семейство униталов, основанное на группах Ри, было построено Х. Люнебургом. [6] Пусть Γ = R( q ) — группа Ри типа 2 G 2 порядка ( q 3 + 1) q 3 ( q − 1), где q = 3 2 m +1 . Пусть P — множество всех q 3 + 1 силовских 3-подгрупп группы Γ. Γ действует дважды транзитивно на этом множестве сопряжением (будет удобно думать об этих подгруппах как о точках , на которые действует Γ.) Для любых S и T в P точечный стабилизатор , Γ S , T является циклическим порядка q - 1 и, таким образом, содержит единственную инволюцию , μ. Каждая такая инволюция фиксирует ровно q + 1 точек P . Постройте блок-схему на точках P , блоки которой являются множествами неподвижных точек этих различных инволюций μ. Поскольку Γ действует дважды транзитивно на P , это будет 2-дизайн с параметрами 2-( q3 + 1, q + 1, 1) , называемый унитальным Ри. [7]

Люнебург также показал, что униталы Ри не могут быть вложены в проективные плоскости порядка q2 ( дезарговы или нет) так, что группа автоморфизмов Γ индуцируется группой коллинеаций плоскости. [8] Для q = 3 Грюнинг [9] доказал, что униталы Ри не могут быть вложены ни в какую проективную плоскость порядка 9. [10]

Униталы сп = 3

В четырех проективных плоскостях порядка 9 ( дезарговой плоскости PG(2,9), плоскости Холла порядка 9, дуальной плоскости Холла порядка 9 и плоскости Хьюза порядка 9. [b] ) исчерпывающий компьютерный поиск Пенттила и Ройла [11] нашел 18 униталов (с точностью до эквивалентности) с n = 3 в этих четырех плоскостях: два в PG(2,9) (обе Бюкенхаута), четыре в плоскости Холла (два Бюкенхаута, два нет), и, таким образом, еще четыре в дуальной плоскости Холла и восемь в плоскости Хьюза. Однако один из униталов Бюкенхаута в плоскости Холла является самодуальным, [12] и, таким образом, снова учитывается в дуальной плоскости Холла. Таким образом, существует 17 различных встраиваемых унитальных структур с n = 3. С другой стороны, неисчерпывающий компьютерный поиск обнаружил более 900 взаимно неизоморфных конструкций, которые являются унитальными структурами с n = 3. [13]

Изоморфные и эквивалентные униталы

Поскольку униталы являются блочными конструкциями , два унитала называются изоморфными , если между ними существует изоморфизм конструкций , то есть биекция между множествами точек, которая отображает блоки в блоки. Эта концепция не учитывает свойство вложимости, поэтому для этого мы говорим, что два унитала, вложенные в одну и ту же объемлющую плоскость, эквивалентны, если существует коллинеация плоскости, которая отображает один унитал в другой. [10]

Конструкции Бюкенхаута

Исследуя классический унитальный элемент в модели Брука/Бозе , Бюкенхаут [14] предоставил две конструкции, которые вместе доказали существование вложенного унитального элемента в любой конечной 2-мерной плоскости трансляции . Метц [15] впоследствии показал, что одна из конструкций Бюкенхаута на самом деле дает неклассические унитальные элементы во всех конечных дезарговых плоскостях квадратного порядка не менее 9. Эти унитальные элементы Бюкенхаута-Меца были тщательно изучены. [16] [17] П Г ( 2 , д 2 ) {\displaystyle PG(2,q^{2})}

Основная идея в конструкции Бюкенхаута заключается в том, что когда мы смотрим на в многомерной модели Брука/Бозе, которая лежит в , уравнение эрмитовой кривой, которой удовлетворяет классический унитальный элемент, становится квадратичной поверхностью в , либо точкой-конусом над 3-мерным овалом, если линия, представленная распространением модели Брука/Бозе, встречается с унитальным элементом в одной точке, либо невырожденной квадрикой в ​​противном случае. Поскольку эти объекты имеют известные шаблоны пересечения относительно плоскостей , результирующий набор точек остается унитальным элементом в любой плоскости переноса, порождающий распространение содержит все те же линии, что и исходное распространение внутри квадратичной поверхности. В случае овоидального конуса это принудительное пересечение состоит из одной линии, и любое распространение может быть отображено на распространение, содержащее эту линию, показывая, что каждая плоскость переноса этой формы допускает вложенный унитальный элемент. П Г ( 2 , д 2 ) {\displaystyle PG(2,q^{2})} П Г ( 4 , д ) {\displaystyle PG(4,q)} П Г ( 4 , д ) {\displaystyle PG(4,q)} П Г ( 4 , д ) {\displaystyle PG(4,q)}

Эрмитовы многообразия

Эрмитовы многообразия в некотором смысле являются обобщением квадрик и естественным образом возникают в теории полярностей.

Определение

Пусть K — поле с инволютивным автоморфизмом . Пусть n — целое число , а V — (n+1) -мерное векторное пространство над  K. θ {\displaystyle \theta } ≥ 1 {\displaystyle \geq 1}

Эрмитово многообразие H в PG(V) — это множество точек, представляющие векторные линии которых состоят из изотропных точек нетривиальной эрмитовой полуторалинейной формы на  V .

Представление

Пусть будет базисом V. Если точка p в проективном пространстве имеет однородные координаты относительно этого базиса, то она находится на эрмитовом многообразии тогда и только тогда, когда: e 0 , e 1 , … , e n {\displaystyle e_{0},e_{1},\ldots ,e_{n}} ( X 0 , … , X n ) {\displaystyle (X_{0},\ldots ,X_{n})}

∑ i , j = 0 n a i j X i X j θ = 0 {\displaystyle \sum _{i,j=0}^{n}a_{ij}X_{i}X_{j}^{\theta }=0}

где и не все a i j = a j i θ {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}^{\theta }} a i j = 0 {\displaystyle a_{ij}=0}

Если построить эрмитову матрицу A с , то уравнение можно записать в компактном виде: A i j = a i j {\displaystyle A_{ij}=a_{ij}}

X t A X θ = 0 {\displaystyle X^{t}AX^{\theta }=0}

где X = [ X 0 X 1 ⋮ X n ] . {\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{0}\\X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{bmatrix}}.}

Касательные пространства и сингулярность

Пусть p — точка на эрмитовом многообразии H. Прямая L, проходящая через p, по определению является касательной , если она содержит только одну точку ( саму p ) многообразия или полностью лежит на многообразии. Можно доказать, что эти прямые образуют подпространство, либо гиперплоскость полного пространства. В последнем случае точка является особой.

Примечания

  1. ^ Некоторые авторы, такие как Barwick & Ebert 2008, стр. 28, дополнительно требуют, чтобы n ≥ 3, чтобы избежать небольших исключительных случаев.
  2. ^ PG(2,9) и плоскость Хьюза являются самодвойственными.

Цитаты

  1. ↑ Багчи и Багчи 1989, стр. 51–61.
  2. ^ Барвик и Эберт 2008, стр. 15.
  3. ^ Барвик и Эберт 2008, стр. 18.
  4. ^ Дембовски 1968, стр. 104.
  5. ^ Барвик и Эберт 2008, стр. 21.
  6. ^ Люнебург 1966, стр. 256–259.
  7. ^ Ассмус и Кей 1992, стр. 209.
  8. ^ Дембовски 1968, стр. 105.
  9. ↑ Грюнинг 1986, стр. 473–480.
  10. ^ ab Barwick & Ebert 2008, стр. 29.
  11. ^ Пенттила и Ройл 1995, стр. 229–245.
  12. ^ Грюнинг, Клаус (1987-06-01). "Класс униталов порядка q {\displaystyle q}, которые могут быть вложены в две различные плоскости порядка q 2 {\displaystyle q^{2}} ". Журнал геометрии . 29 (1): 61– 77. doi :10.1007/BF01234988. ISSN  1420-8997. S2CID  117872040.
  13. ^ Беттен, Беттен и Тончев 2003, стр. 23–33.
  14. ^ Бюкенхаут, Ф. (1976-07-01). "Существование унитальных функций в конечных плоскостях трансляции порядка q 2 {\displaystyle q^{2}} с ядром порядка q {\displaystyle q} ". Geometriae Dedicata . 5 (2): 189– 194. doi :10.1007/BF00145956. ISSN  1572-9168. S2CID  123037502.
  15. ^ Мец, Рудольф (1 марта 1979). «Об одном классе единиц». Геометрии Дедиката . 8 (1): 125–126 . doi : 10.1007/BF00147935. ISSN  1572-9168. S2CID  119595725.
  16. ^ Бейкер, RD; Эберт, GL (1992-05-01). «О единичных числах Букенхаута-Меца нечетного порядка». Журнал комбинаторной теории, Серия A. 60 ( 1): 67– 84. doi : 10.1016/0097-3165(92)90038-V . ISSN  0097-3165.
  17. ^ Эберт, ГЛ (1992-03-01). «О единичных числах Букенхаута-Меца четного порядка». Европейский журнал комбинаторики . 13 (2): 109– 117. doi :10.1016/0195-6698(92)90042-X. ISSN  0195-6698.

Источники

  • Асмус, Э. Ф. младший; Ки, Д. Д. (1992), Конструкции и их коды , Cambridge Tracts in Mathematics #103, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41361-3
  • Багчи, С.; Багчи, Б. (1989), «Конструкции из пар конечных полей. Циклическая единичная U(6) и другие регулярные 2-конструкции Штейнера», Журнал комбинаторной теории, Серия A , 52 : 51– 61, doi : 10.1016/0097-3165(89)90061-7
  • Барвик, Сьюзен; Эберт, Гэри (2008), Униталы в проективных плоскостях , Springer, doi :10.1007/978-0-387-76366-8, ISBN 978-0-387-76364-4
  • Беттен, А.; Беттен, Д.; Тончев, В. Д. (2003), "Единицы и коды", Дискретная математика , 267 ( 1– 3): 23– 33, doi :10.1016/s0012-365x(02)00600-3
  • Дембовский, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR  0233275 – через Интернет-архив
  • Грюнинг, К. (1986), «Das Kleinste Ree-Unital», Archiv der Mathematik , 46 (5): 473–480 , doi : 10.1007/bf01210788, S2CID  115302560
  • Люнебург, Х. (1966), «Некоторые замечания относительно группы Ри типа (G 2 )», Журнал алгебры , 3 (2): 256– 259, doi : 10.1016/0021-8693(66)90014-7
  • Пенттила, Т.; Ройл, ГФ (1995), «Наборы типа ( m,n ) в аффинных и проективных плоскостях девятого порядка», Designs, Codes and Cryptography , 6 (3): 229– 245, doi :10.1007/bf01388477, S2CID  43638589
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Unital_(geometry)&oldid=1237109359"