Неравенство Браскампа–Либа

В математике неравенство Браскампа –Либа является одним из двух неравенств. Первое — это результат в геометрии, касающийся интегрируемых функций на n - мерном евклидовом пространстве . Оно обобщает неравенство Лумиса–Уитни и неравенство Гёльдера . Второе — результат теории вероятностей, который даёт неравенство концентрации для логарифмически вогнутых распределений вероятностей. Оба названы в честь Герм Яна Браскампа и Эллиота Х. Либа . Р н {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

Геометрическое неравенство

Зафиксируем натуральные числа m и n . Для 1 ≤  i  ≤  m пусть n i  ∈  N и пусть c i  > 0, так что

∑ я = 1 м с я н я = н . {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}c_{i}n_{i}=n.}

Выберите неотрицательные, интегрируемые функции

ф я ∈ Л 1 ( Р н я ; [ 0 , + ∞ ] ) {\displaystyle f_{i}\in L^{1}\left(\mathbb {R} ^{n_{i}};[0,+\infty ]\right)}

и сюръективные линейные отображения

Б я : Р н → Р н я . {\displaystyle B_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n_{i}}.}

Тогда справедливо следующее неравенство:

∫ Р н ∏ я = 1 м ф я ( Б я х ) с я г х ≤ Д − 1 / 2 ∏ я = 1 м ( ∫ Р н я ф я ( у ) г у ) с я , {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}\left(B_{i}x\right)^{c_{i}}\,\mathrm {d} x\leq D^{-1/2}\prod _{i=1}^{m}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n_{i}}}f_{i}(y)\,\mathrm {d} y\right)^{c_{i}},}

где D определяется как

Д = инф { дет ( ∑ я = 1 м с я Б я ∗ А я Б я ) ∏ я = 1 м ( дет А я ) с я | А я  является положительно-определенным  н я × н я  матрица } . {\displaystyle D=\inf \left\{\left.{\frac {\det \left(\sum _{i=1}^{m}c_{i}B_{i}^{*}A_{i}B_{i}\right)}{\prod _{i=1}^{m}(\det A_{i})^{c_{i}}}}\right|A_{i}{\text{ — положительно определенная }}n_{i}\times n_{i}{\text{ матрица}}\right\}.}

Другой способ сформулировать это состоит в том, что константа D — это то, что можно было бы получить, ограничив внимание случаем, в котором каждая из них является центрированной гауссовой функцией, а именно . [1] ф я {\displaystyle f_{i}} ф я ( у ) = опыт ⁡ { − ( у , А я у ) } {\displaystyle f_{i}(y)=\exp\{-(y,\,A_{i}\,y)\}}

Альтернативные формы

Рассмотрим функцию плотности вероятности . Эта функция плотности вероятности называется логарифмически вогнутой мерой , если функция выпукла. Такие функции плотности вероятности имеют хвосты, которые экспоненциально быстро затухают, поэтому большая часть массы вероятности находится в небольшой области вокруг моды . Неравенство Браскампа–Либа дает другую характеристику компактности путем ограничения среднего значения любой статистики . п ( х ) = опыт ⁡ ( − ϕ ( х ) ) {\displaystyle p(x)=\exp(-\phi (x))} п ( х ) {\displaystyle p(x)} ϕ ( х ) {\displaystyle \фи (x)} п ( х ) {\displaystyle p(x)} п ( х ) {\displaystyle p(x)} С ( х ) {\displaystyle S(x)}

Формально, пусть будет любой выводимой функцией. Неравенство Браскампа–Либа гласит: С ( х ) {\displaystyle S(x)}

вар п ⁡ ( С ( х ) ) ≤ Э п ( ∇ Т С ( х ) [ ЧАС ϕ ( х ) ] − 1 ∇ С ( х ) ) {\displaystyle \operatorname {var} _{p}(S(x))\leq E_{p}(\nabla ^{T}S(x)[H\phi (x)]^{- 1}\nabla S(x))}

где H — гессиан , а — символ Набла . [2] ∇ {\displaystyle \набла}

неравенство BCCT

Неравенство обобщено в 2008 году [3] для учета как непрерывных, так и дискретных случаев, а также для всех линейных отображений с точными оценками константы.

Определение: датум Браскампа-Либа (баз BL).

  • г , н ≥ 1 {\displaystyle d,n\geq 1} .
  • г 1 , . . . , г н ∈ { 1 , 2 , . . . , г } {\displaystyle d_{1},...,d_{n}\in \{1,2,...,d\}} .
  • п 1 , . . . , п н ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle p_{1},...,p_{n}\in [0,\infty )} .
  • Б я : Р г → Р г я {\displaystyle B_{i}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d_{i}}} являются линейными сюръекциями с нулевым общим ядром: . ∩ я к е г ( Б я ) = { 0 } {\displaystyle \cap _{i}ker(B_{i})=\{0\}}
  • Вызовите датум Браскампа-Либа (BL datum) . ( Б , п ) = ( Б 1 , . . . , Б н , п 1 , . . . , п н ) {\displaystyle (B,p)=(B_{1},...,B_{n},p_{1},...,p_{n})}

Для любого с , определите ф я ∈ Л 1 ( Р г я ) {\displaystyle f_{i}\in L^{1}(R^{d_{i}})} ф я ≥ 0 {\displaystyle f_{i}\geq 0} Б Л ( Б , п , ф ) := ∫ ЧАС ∏ дж = 1 м ( ф дж ∘ Б дж ) п дж ∏ дж = 1 м ( ∫ ЧАС дж ф дж ) п дж {\displaystyle BL(B,p,f):={\frac {\int _{H}\prod _{j=1}^{m}\left(f_{j}\circ B_{j}\right)^{p_{j}}}{\prod _{j=1}^{m}\left(\int _{H_{j}}f_{j}\right)^{p_{j}}}}}


Теперь определим постоянную Браскампа-Либа для данных BL: Б Л ( Б , п ) = макс ф Б Л ( Б , п , ф ) {\displaystyle BL(B,p)=\max _{f}BL(B,p,f)}

Теорема  —  (BCCT, 2007)

Б Л ( Б , п ) {\displaystyle BL(B,p)} конечно тогда и только тогда , когда и для всех подпространств , г = ∑ я п я г я {\displaystyle d=\sum _{i}p_{i}d_{i}} В {\displaystyle V} Р г {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}

г я м ( В ) ≤ ∑ я п я г я м ( Б я ( В ) ) {\ displaystyle dim (V) \ leq \ sum _ {i} p_ {i} dim (B_ {i} (V))}

Б Л ( Б , п ) {\displaystyle BL(B,p)} достигается гауссианами:

  • Если конечно, то существуют некоторые линейные операторы , достигающие верхней границы. Б Л ( Б , п ) {\displaystyle BL(B,p)} А я : Р г я → Р г я {\displaystyle A_{i}:\mathbb {R} ^{d_{i}}\to \mathbb {R} ^{d_{i}}} ф я = е − ⟨ А я х , х ⟩ {\displaystyle f_{i}=e^{-\langle A_{i}x,x\rangle }}
  • Если бесконечно, то существует последовательность гауссианов, для которой Б Л ( Б , п ) {\displaystyle BL(B,p)}

∫ ЧАС ∏ дж = 1 м ( ф дж ∘ Б дж ) п дж ∏ дж = 1 м ( ∫ ЧАС дж ф дж ) п дж → ∞ {\displaystyle {\frac {\int _{H}\prod _{j=1}^{m}\left(f_{j}\circ B_{j}\right)^{p_{j}}}{\prod _{j=1}^{m}\left(\int _{H_{j}}f_{j}\right)^{p_{j}}}}\to \infty }

Дискретный случай

Настраивать:

  • Данные BL определяются как ( Г , Г 1 , . . . , Г н , ϕ 1 , . . . ϕ н ) {\displaystyle (G,G_{1},...,G_{n},\phi _{1},...\phi _{n})}

При такой настройке мы имеем (Теорема 2.4, [4] Теорема 3.12 [5] )

Теорема  —  Если существует такое , что с 1 , . . . , с н ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle s_{1},...,s_{n}\in [0,1]}

г а н к ( ЧАС ) ≤ ∑ дж с дж г а н к ( ϕ дж ( ЧАС ) ) ∀ ЧАС ≤ Г {\displaystyle ранг(H)\leq \sum _{j}s_{j}ранг(\phi _{j}(H))\quad \forall H\leq G}

Тогда для всех , 0 ≥ ф дж ∈ ℓ 1 / с дж ( Г дж ) {\displaystyle 0\geq f_{j}\in \ell ^{1/s_{j}}(G_{j})}

‖ ∏ дж ф дж ∘ ϕ дж ‖ 1 ≤ | Т ( Г ) | ∏ дж ‖ ф дж ‖ 1 / с дж {\displaystyle \left\|\prod _{j}f_{j}\circ \phi _{j}\right\|_{1}\leq |T(G)|\prod _{j}\|f_{j}\|_{1/s_{j}}} и в частности,

| E | ≤ | T ( G ) | ∏ j | ϕ j ( E ) | s j ∀ E ⊂ G {\displaystyle |E|\leq |T(G)|\prod _{j}|\phi _{j}(E)|^{s_{j}}\quad \forall E\subset G}

Обратите внимание, что константа не всегда точная. | T ( G ) | {\displaystyle |T(G)|}

BL-политоп

Учитывая данные BL , условия для являются ( B , p ) {\displaystyle (B,p)} B L ( B , p ) < ∞ {\displaystyle BL(B,p)<\infty }

  • d = ∑ i p i d i {\displaystyle d=\sum _{i}p_{i}d_{i}} , и
  • для всех подпространств , V {\displaystyle V} R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} d i m ( V ) ≤ ∑ i p i d i m ( B i ( V ) ) {\displaystyle dim(V)\leq \sum _{i}p_{i}dim(B_{i}(V))}

Таким образом, подмножество , удовлетворяющее двум вышеуказанным условиям, является замкнутым выпуклым многогранником, определяемым линейными неравенствами. Это многогранник BL. p ∈ [ 0 , ∞ ) n {\displaystyle p\in [0,\infty )^{n}}

Обратите внимание, что хотя существует бесконечно много возможных вариантов выбора подпространства , существует лишь конечное число возможных уравнений , поэтому подмножество представляет собой замкнутый выпуклый многогранник. V {\displaystyle V} R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} d i m ( V ) ≤ ∑ i p i d i m ( B i ( V ) ) {\displaystyle dim(V)\leq \sum _{i}p_{i}dim(B_{i}(V))}

Аналогично мы можем определить многогранник BL для дискретного случая.

Связь с другими видами неравенства

Геометрическое неравенство Браскампа–Либа

Случай неравенства Браскампа–Либа, в котором все n i равны 1, был доказан раньше, чем общий случай. [6] В 1989 году Кейт Болл ввел «геометрическую форму» этого неравенства. Предположим, что — единичные векторы в и — положительные числа, удовлетворяющие ( u i ) i = 1 m {\displaystyle (u_{i})_{i=1}^{m}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ( c i ) i = 1 m {\displaystyle (c_{i})_{i=1}^{m}}

∑ i = 1 m c i ⟨ x , u i ⟩ u i = x {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}c_{i}\langle x,u_{i}\rangle u_{i}=x}

для всех , и которые являются положительными измеримыми функциями на . Тогда x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} ( f i ) i = 1 m {\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{m}} R {\displaystyle \mathbb {R} }

∫ R n ∏ i = 1 m f i ( ⟨ x , u i ⟩ ) c i d x ≤ ∏ i = 1 m ( ∫ R f i ( t ) d t ) c i . {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}(\langle x,u_{i}\rangle )^{c_{i}}\,\mathrm {d} x\leq \prod _{i=1}^{m}\left(\int _{\mathbb {R} }f_{i}(t)\,\mathrm {d} t\right)^{c_{i}}.}

Таким образом, когда векторы разрешают скалярное произведение, неравенство имеет особенно простую форму: константа равна 1, а экстремальные гауссовские плотности идентичны. Болл использовал это неравенство для оценки объемных отношений и изопериметрических отношений для выпуклых множеств в [7] и. [8] ( u i ) {\displaystyle (u_{i})}

Существует также геометрическая версия более общего неравенства, в которой карты являются ортогональными проекциями и B i {\displaystyle B_{i}}

∑ i = 1 m c i B i = I {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}c_{i}B_{i}=I}

где находится оператор идентичности на . I {\displaystyle I} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

Неравенство Гельдера

Возьмем n i  =  n , B i  = id, тождественное отображение на , заменив f i на f R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 1/ с я
я, и пусть c i  = 1 /  p i для 1 ≤  i  ≤  m . Тогда

∑ i = 1 m 1 p i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{p_{i}}}=1}

и логарифмическая вогнутость определителя положительно определенной матрицы означает , что D  = 1. Это дает неравенство Гёльдера в : R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

∫ R n ∏ i = 1 m f i ( x ) d x ≤ ∏ i = 1 m ‖ f i ‖ p i . {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}(x)\,\mathrm {d} x\leq \prod _{i=1}^{m}\|f_{i}\|_{p_{i}}.}

Неравенство Пуанкаре

Неравенство Браскампа–Либа является расширением неравенства Пуанкаре , которое касается только гауссовых распределений вероятностей. [9]

Связанный Крамер–Рао

Неравенство Браскампа–Либа также связано с границей Крамера–Рао . [9] В то время как граница Браскампа–Либа является верхней границей, граница Крамера–Рао ограничивает дисперсию снизу . Граница Крамера–Рао утверждает var p ⁡ ( S ( x ) ) {\displaystyle \operatorname {var} _{p}(S(x))}

var p ⁡ ( S ( x ) ) ≥ E p ( ∇ T S ( x ) ) [ E p ( H ϕ ( x ) ) ] − 1 E p ( ∇ S ( x ) ) {\displaystyle \operatorname {var} _{p}(S(x))\geq E_{p}(\nabla ^{T}S(x))[E_{p}(H\phi (x))]^{-1}E_{p}(\nabla S(x))\!} .

что очень похоже на неравенство Браскампа–Либа в альтернативной форме, показанной выше.

Ссылки

  1. ^ Это неравенство есть в Lieb, Elliott H. (1990). "Gaussian Kernels have only Gaussian Maximizers". Inventiones Mathematicae . 102 : 179– 208. Bibcode :1990InMat.102..179L. doi : 10.1007/bf01233426 .
  2. ^ Эта теорема была первоначально выведена в Brascamp, Herm J.; Lieb, Elliott H. (1976). "On Extensions of the Brunn–Minkowski and Prékopa–Leindler Theorems, including inequalitys for log concave functions, and with an application to the diffusion equation". Journal of Functional Analysis . 22 (4): 366– 389. doi : 10.1016/0022-1236(76)90004-5 .Расширения неравенства можно найти в Hargé, Gilles (2008). "Усиление неравенства по Браскампу и Либу". Journal of Functional Analysis . 254 (2): 267– 300. doi : 10.1016/j.jfa.2007.07.019 .и Карлен, Эрик А.; Кордеро-Эраусквин, Дарио; Либ, Эллиотт Х. (2013). "Асимметричные ковариационные оценки типа Браскампа-Либа и связанные с ними неравенства для логарифмически вогнутых мер". Annales de l'Institut Henri Poincaré B . 49 (1): 1– 12. arXiv : 1106.0709 . Bibcode :2013AIHPB..49....1C. doi : 10.1214/11-aihp462 .
  3. ^ Беннетт, Джонатан; Карбери, Энтони; Крайст, Майкл; Тао, Теренс (01.01.2008). «Неравенства Браскампа–Либа: конечность, структура и экстремали». Геометрический и функциональный анализ . 17 (5): 1343– 1415. doi : 10.1007/s00039-007-0619-6. hdl : 20.500.11820/b13abfca-453c-4aea-adf6-d7d421cec7a4 . ISSN  1420-8970. S2CID  10193995.
  4. ^ Беннетт, Джонатан; Карбери, Энтони; Крайст, Майкл; Тао, Теренс (31.05.2005). "Конечные оценки для мультилинейных неравенств Холдера-Браскампа-Либа". arXiv : math/0505691 .
  5. ^ Крайст, Майкл; Деммел, Джеймс; Найт, Николас; Скэнлон, Томас; Йелик, Кэтрин (31 июля 2013 г.). «Нижние границы связи и оптимальные алгоритмы для программ, ссылающихся на массивы — Часть 1». arXiv : 1308.0068 [math.CA].
  6. ^ Brascamp, HJ; Lieb, EH (1976). «Лучшие константы в неравенстве Юнга, его обратные и его обобщение на более чем три функции». Advances in Mathematics . 20 (2): 151– 172. doi : 10.1016/0001-8708(76)90184-5 .
  7. ^ Болл, Кит М. (1989). «Объемы сечений кубов и связанные с ними проблемы». В Линденштраус, Йорам ; Мильман, Виталий Д. (ред.). Геометрические аспекты функционального анализа . Конспект лекций по математике. Том 1376. Берлин: Springer. С.  251– 260. doi : 10.1007/BFb0090058 . ISBN 978-3-540-51303-2.
  8. ^ Болл, Кит М. (1991). «Объемные отношения и обратное изопериметрическое неравенство». J. London Math. Soc . 44 : 351– 359. arXiv : math/9201205 . doi :10.1112/jlms/s2-44.2.351.
  9. ^ ab Saumard, Adrien; Wellner, Jon A. (2014). «Лог-вогнутость и сильная лог-вогнутость: обзор». Statistics Surveys . 8 : 45–114 . doi : 10.1214/14-SS107 . PMC 4847755. PMID  27134693 . 
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Brascamp–Lieb_inequality&oldid=1241212559"