Сходимость Громова–Хаусдорфа
Понятие сходимости метрических пространств

В математике сходимость Громова–Хаусдорфа , названная в честь Михаила Громова и Феликса Хаусдорфа , — это понятие сходимости метрических пространств , являющееся обобщением расстояния Хаусдорфа .

Расстояние Громова–Хаусдорфа

Насколько далеки и насколько близки некоторые фигуры относительно расстояния Громова–Хаусдорфа.

Расстояние Громова–Хаусдорфа было введено Дэвидом Эдвардсом в 1975 году [1] [2] и позднее было переоткрыто и обобщено Михаилом Громовым в 1981 году. [3] [4] Это расстояние измеряет, насколько далеки два компактных метрических пространства от изометричности . Если X и Y — два компактных метрических пространства, то d GH ( X , Y ) определяется как инфимум всех чисел d H ( f ( X ), g ( Y )) для всех (компактных) метрических пространств M и всех изометрических вложений f  :  X  →  M и g  :  Y  →  M . Здесь d H обозначает расстояние Хаусдорфа между подмножествами в M , а изометрическое вложение понимается в глобальном смысле, т. е. оно должно сохранять все расстояния, а не только бесконечно малые; например, никакое компактное риманово многообразие не допускает такого вложения в евклидово пространство той же размерности.

Расстояние Громова–Хаусдорфа превращает множество всех классов изометрий компактных метрических пространств в метрическое пространство, называемое пространством Громова–Хаусдорфа, и, следовательно, определяет понятие сходимости для последовательностей компактных метрических пространств, называемое сходимостью по Громову–Хаусдорфу. Метрическое пространство, к которому сходится такая последовательность, называется пределом Громова–Хаусдорфа последовательности.

Некоторые свойства пространства Громова–Хаусдорфа

Пространство Громова–Хаусдорфа линейно связно , полно и сепарабельно . [5] Оно также является геодезическим , т. е. любые две его точки являются конечными точками минимизирующей геодезической . [6] [7] В глобальном смысле пространство Громова–Хаусдорфа полностью неоднородно, т. е. его группа изометрий тривиальна, [8] но локально существует много нетривиальных изометрий. [9]

Точечная сходимость Громова–Хаусдорфа

Точечная сходимость Громова–Хаусдорфа является аналогом сходимости Громова–Хаусдорфа, подходящим для некомпактных пространств. Точечное метрическое пространство — это пара ( X , p ), состоящая из метрического пространства X и точки p в X. Последовательность ( X n , p n ) точечних метрических пространств сходится к точечному метрическому пространству ( Y ,  p ), если для каждого R  > 0 последовательность замкнутых R -шаров вокруг p n в X n сходится к замкнутому R -шару вокруг p в Y в обычном смысле Громова–Хаусдорфа. [10]

Приложения

Понятие сходимости по Громову–Хаусдорфу было использовано Громовым для доказательства того, что любая дискретная группа с полиномиальным ростом является практически нильпотентной (т. е. содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса ). См. теорему Громова о группах полиномиального роста . (Также см. более раннюю работу Д. Эдвардса.) Ключевым элементом доказательства было наблюдение, что для графа Кэли группы с полиномиальным ростом последовательность масштабирований сходится в указанном смысле Громова–Хаусдорфа.

Другим простым и очень полезным результатом в римановой геометрии является теорема Громова о компактности , которая утверждает, что множество римановых многообразий с кривизной Риччи  ≥  c и диаметром  ≤  D относительно компактно в метрике Громова–Хаусдорфа. Предельные пространства являются метрическими пространствами. Дополнительные свойства пространств длины были доказаны Чигером и Колдингом . [ 11]

Метрика расстояния Громова-Хаусдорфа применялась в области компьютерной графики и вычислительной геометрии для поиска соответствий между различными формами. [12] Она также применялась в задаче планирования движения в робототехнике. [13]

Расстояние Громова–Хаусдорфа использовалось Сормани для доказательства устойчивости модели Фридмана в космологии. Эта модель космологии не является устойчивой по отношению к плавным изменениям метрики. [14]

В частном случае концепция пределов Громова–Хаусдорфа тесно связана с теорией больших уклонений . [15]


Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Дэвид А. Эдвардс, «Структура суперпространства», в «Исследованиях по топологии», Academic Press, 1975, pdf Архивировано 04.03.2016 на Wayback Machine
  2. ^ Тужилин, Алексей А. (2016). «Кто придумал расстояние Громова-Хаусдорфа?». arXiv : 1612.00728 [math.MG].
  3. ^ М. Громов. «Structures métriques pour les variétés riemanniennes», под редакцией Лафонтена и Пьера Пансю , 1981.
  4. ^ Громов, Михаил (1981). «Группы полиномиального роста и расширяющиеся отображения (с приложением Жака Титса)». Publications Mathématiques de l'IHÉS . 53 : 53–78 . doi :10.1007/BF02698687. MR  0623534. S2CID  121512559. Zbl  0474.20018.
  5. ^ Д. Бураго, Ю. Бураго, С. Иванов, Курс метрической геометрии , AMS GSM 33, 2001.
  6. ^ Иванов, АО; Николаева, НК; Тужилин, АА (2016). «Метрика Громова–Хаусдорфа на пространстве компактных метрических пространств строго внутренняя». Математические заметки . 100 ( 5– 6): 883– 885. arXiv : 1504.03830 . doi :10.1134/S0001434616110298. S2CID  39754495.
  7. ^ Для явного построения геодезических см. Chowdhury, Samir; Mémoli, Facundo (2016). "Explicit Geodesics in Gromov-Hausdorff Space". arXiv : 1603.02385 [math.MG].
  8. ^ Иванов, Александр; Тужилин, Алексей (2018). «Группа изометрий пространства Громова--Хаусдорфа». arXiv : 1806.02100 [math.MG].
  9. ^ Иванов, Александр О.; Тужилин, Алексей А. (2016). «Локальная структура пространства Громова-Хаусдорфа вблизи конечных метрических пространств общего положения». arXiv : 1611.04484 [math.MG].
  10. ^ Беллаиш, Андре (1996). "Касательное пространство в субримановой геометрии". В Андре Беллаиш; Жан-Жак Рислер (ред.). Субриманова геометрия . Прогресс в математике. Т. 44. Базель: Birkhauser. С. 1–78 [56]. doi :10.1007/978-3-0348-9210-0_1. ISBN 978-3-0348-9946-8.
  11. ^ Чигер, Джефф; Колдинг, Тобиас Х. (1997). «О структуре пространств с кривизной Риччи, ограниченной снизу. I». Журнал дифференциальной геометрии . 46 (3). doi : 10.4310/jdg/1214459974 .
  12. ^ Мемоли, Факундо; Сапиро, Гильермо (2004). "Сравнение облаков точек". Труды симпозиума Eurographics/ACM SIGGRAPH 2004 года по обработке геометрии - SGP '04 . стр. 32. doi :10.1145/1057432.1057436. ISBN 3905673134. S2CID  207156533.
  13. ^ Суккар, Фуад; Вакулич, Дженнифер; Ли, Ки Мён Брайан; Фитч, Роберт (2022-09-11). «Планирование движения в пространстве задач с приближениями Громова-Хаусдорфа». arXiv : 2209.04800 [cs.RO].
  14. ^ Сормани, Кристина (2004). «Космология Фридмана и почти изотропия». Геометрический и функциональный анализ . 14 (4). arXiv : math/0302244 . doi :10.1007/s00039-004-0477-4. S2CID  53312009.
  15. ^ Котани, Мотоко; Сунада, Тошиказу (2006). «Большое отклонение и касательный конус на бесконечности кристаллической решетки». Mathematische Zeitschrift . 254 (4): 837– 870. doi :10.1007/s00209-006-0951-9. S2CID  122531716.
  • М. Громов. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств , Биркхойзер (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (перевод с дополнительным содержанием). 
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Громов–Хаусдорф_конвергенция&oldid=1268240295"