Внутреннее плоское расстояние

Эта статья чрезмерно опирается на ссылки на первичные источники . Пожалуйста, улучшите эту статью, добавив вторичные или третичные источники . Найти источники:  "Внутреннее плоское расстояние" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математике внутреннее плоское расстояние — это понятие расстояния между двумя римановыми многообразиями , которое является обобщением плоского расстояния Федерера и Флеминга между подмногообразиями и интегральными токами, лежащими в евклидовом пространстве.

Расстояние Сормани –Венгера (SWIF) — это расстояние между компактными ориентированными римановыми многообразиями одной и той же размерности. В более общем смысле оно определяет расстояние между двумя интегральными токовыми пространствами ( X , d , T ) одной и той же размерности (см . ниже). Этот класс пространств и это расстояние были впервые анонсированы математиками Сормани и Венгером на Геометрическом фестивале в 2009 году, а подробное развитие этих понятий появилось в журнале Дифференциальной геометрии в 2011 году. ^[1]

Расстояние SWIF является внутренним понятием, основанным на (внешнем) плоском расстоянии между подмногообразиями и интегральными токами в евклидовом пространстве, разработанном Федерером и Флемингом. Определение имитирует определение Громова расстояния Громова–Хаусдорфа в том, что оно включает взятие инфимума по всем сохраняющим расстояния отображениям данных пространств во все возможные окружающие пространства Z. Оказавшись в общем пространстве Z , плоское расстояние между изображениями берется путем рассмотрения изображений пространств как интегральных токов в смысле Амброзио –Кирхгейма. ^[1]

Грубая идея как во внутренних, так и во внешних настройках заключается в том, чтобы рассматривать пространства как границу третьего пространства или региона и находить наименьший взвешенный объем этого третьего пространства. Таким образом, сферы со многими сплайнами, которые содержат все меньшие объемы, сходятся "SWIF-ly" к сферам. ^[1]

Даны два компактных ориентированных римановых многообразия, M _i , возможно с границей:

г _SWIF ( М ₁ , М ₂ ) = 0

тогда и только тогда, когда существует изометрия, сохраняющая ориентацию от M ₁ до M ₂ . Если M _i сходится в смысле Громова–Хаусдорфа к метрическому пространству Y , то подпоследовательность M _i сходится SWIF-ly к интегральному текущему пространству, содержащемуся в Y , но не обязательно равному Y . Например, предел GH последовательности сфер с длинным тонким шейным пережимом представляет собой пару сфер с отрезком прямой, проходящим между ними, в то время как предел SWIF представляет собой просто пару сфер. Предел GH последовательности все более тонких торов представляет собой окружность, но плоский предел — это пространство 0 . В условиях неотрицательной кривизны Риччи и равномерной нижней границы объема пределы GH и SWIF совпадают. Если последовательность многообразий сходится в смысле Липшица к предельному липшицеву многообразию, то предел SWIF существует и имеет тот же предел. ^[1]

Теорема Венгера о компактности утверждает, что если последовательность компактных римановых многообразий M _j имеет равномерную верхнюю границу диаметра, объема и граничного объема, то подпоследовательность сходится SWIF-ly к интегральному текущему пространству. ^[1]

m-мерное интегральное токовое пространство ( X , d , T ) является метрическим пространством ( X , d ) с m -мерной интегральной токовой структурой T . Точнее, используя понятия Амброзио–Кирхгейма, T является m -мерным интегральным током на метрическом пополнении X , а X является множеством положительной плотности массовой меры T . Как следствие глубоких теорем Амброзио–Кирхгейма, X тогда является счетно H ^m спрямляемым метрическим пространством, поэтому оно покрывается H ^m почти всюду образами билипшицевых карт из компактных подмножеств R ^m , оно наделено целочисленной весовой функцией и имеет ориентацию. Кроме того, интегральное токовое пространство имеет хорошо определенное понятие границы, которая является ( m  − 1)-мерным интегральным токовым пространством. 0-мерное интегральное токовое пространство является конечным набором точек с целочисленными весами. Одним специальным интегральным токовым пространством, найденным в каждом измерении, является 0-пространство. ^[1]

Собственное плоское расстояние между двумя интегральными токовыми пространствами определяется следующим образом:

d _SWIF (( X ₁ , d ₁ , T ₁ ), ( X ₂ , d ₂ , T ₂ ,)) определяется как инфимум всех чисел d  _F ( f _1* T ₁ , f _2* T ₂ ) для всех метрических пространств M и всех сохраняющих расстояния отображений f _i  : X _i → Z . Здесь d  _F обозначает плоское расстояние между интегральными токами в Z, найденное путем продвижения вперед структур интегральных токов T _i .

Два пространства целочисленных токов имеют d _SWIF = 0 тогда и только тогда, когда между пространствами существует сохраняющая ток изометрия. ^[1]

Все вышеупомянутые результаты могут быть сформулированы и в этой более общей постановке, включая теорему Венгера о компактности. ^[1]

Этот раздел представлен в формате списка , но может лучше читаться как проза . Вы можете помочь, преобразовав этот раздел, если это уместно. Доступна помощь в редактировании . ( Март 2018 )

• Доказать, что некоторые пределы GH являются счетно H ^m спрямляемыми ^[1]
• Понять плавную сходимость вдали от сингулярностей ^[2]
• Понять сходимость римановых многообразий с границей ^[1]
• Изучить вопросы, возникающие в общей теории относительности ^[3]
• Изучить вопросы, возникающие в работе Громова о многообразиях Плато–Штейна ^[4]

• Библиографический сайт Intrinsic Flat Distance https://sites.google.com/site/intrinsicflatconvergence/
• Библиографический сайт Intrinsic Flat Distance (зеркало) http://comet.lehman.cuny.edu/sormani/research/intrinsicflat.html
• Фестиваль геометрии 2009 http://www.math.sunysb.edu/geomfest09/program.html