Теорема Громова о группах полиномиального роста

В геометрической теории групп теорема Громова о группах полиномиального роста , впервые доказанная Михаилом Громовым ^[1], характеризует конечно порождённые группы полиномиального роста, как те группы, которые имеют нильпотентные подгруппы конечного индекса .

Скорость роста группы — это четко определенное понятие из асимптотического анализа . Сказать, что конечно порожденная группа имеет полиномиальный рост, означает, что число элементов длины не более n (относительно симметричного порождающего множества) ограничено сверху полиномиальной функцией p ( n ). Тогда порядок роста — это наименьшая степень любой такой полиномиальной функции p .

Нильпотентная группа G — это группа с нижним центральным рядом, оканчивающимся в единичной подгруппе.

Теорема Громова утверждает, что конечно порождённая группа имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда у неё есть нильпотентная подгруппа конечного индекса.

Существует обширная литература по темпам роста, вплоть до теоремы Громова. Более ранний результат Джозефа А. Вольфа ^[2] показал, что если G — конечно порожденная нильпотентная группа, то группа имеет полиномиальный рост. Ив Гиварк ^[3] и независимо Хайман Басс ^[4] (с разными доказательствами) вычислили точный порядок полиномиального роста. Пусть G — конечно порожденная нильпотентная группа с нижним центральным рядом

${\displaystyle G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots .}$

В частности, фактор-группа G _k / G _{k +1} является конечно порождённой абелевой группой.

Формула Басса –Гиварка утверждает, что порядок полиномиального роста G равен

${\displaystyle d(G)=\sum _{k\geq 1}k\operatorname {rank} (G_{k}/G_{k+1})}$

где:

ранг обозначает ранг абелевой группы , т. е. наибольшее число независимых и свободных от кручения элементов абелевой группы.

В частности, теорема Громова и формула Басса–Гиварка подразумевают, что порядок полиномиального роста конечно порожденной группы всегда либо целое число, либо бесконечность (исключая, например, дробные степени).

Еще одно интересное применение теоремы Громова и формулы Басса–Гиварча — квазиизометрическая жесткость конечно порожденных абелевых групп: любая группа, квазиизометричная конечно порожденной абелевой группе, содержит свободную абелеву группу конечного индекса.

Для доказательства этой теоремы Громов ввел сходимость для метрических пространств. Эта сходимость, теперь называемая сходимостью Громова–Хаусдорфа , в настоящее время широко используется в геометрии.

Относительно простое доказательство теоремы было найдено Брюсом Кляйнером . ^[5] Позднее Теренс Тао и Йехуда Шалом модифицировали доказательство Кляйнера, чтобы сделать по существу элементарное доказательство, а также версию теоремы с явными границами. ^{[6] [7]} Теорема Громова также следует из классификации приближенных групп, полученной Брейяром, Грином и Тао. Простое и краткое доказательство, основанное на методах функционального анализа, дано Озавой . ^[8]

Помимо теоремы Громова можно спросить, существует ли разрыв в спектре роста для конечно порожденной группы чуть выше полиномиального роста, отделяющий практически нильпотентные группы от других. Формально это означает, что существовала бы функция такая, что конечно порожденная группа является практически нильпотентной тогда и только тогда, когда ее функция роста равна . Такая теорема была получена Шаломом и Тао с явной функцией для некоторых . Все известные группы с промежуточным ростом (то есть как суперполиномиальными, так и субэкспоненциальными) по сути являются обобщениями группы Григорчука и имеют более быстрые функции роста; поэтому все известные группы имеют рост быстрее, чем , причем , где — действительный корень полинома . ^[9]${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle O(f(n))}$${\displaystyle n^{\log \log(n)^{c}}}$${\displaystyle с>0}$${\displaystyle е^{n^{\alpha }}}$${\displaystyle \alpha =\log(2)/\log(2/\eta )\приблизительно 0,767}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x-2}$

Предполагается, что истинная нижняя граница темпов роста групп с промежуточным ростом равна . Это известно как гипотеза о разрыве . ^[10]${\displaystyle e^{\sqrt {n}}}$

• Теорема Брейяра–Грина–Тао