Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий

В математической области римановой геометрии систолическое неравенство М. Громова ограничивает длину кратчайшей нестягиваемой петли на римановом многообразии через объем многообразия. Систолическое неравенство Громова было доказано в 1983 году; ^[1] его можно рассматривать как обобщение, хотя и не оптимальное, неравенства тора Лёвнера и неравенства Пу для вещественной проективной плоскости .

Технически, пусть M — существенное риманово многообразие размерности n ; обозначим через sys π ₁ ( M ) гомотопическую 1-систолу M , то есть наименьшую длину нестягиваемой петли на M . Тогда неравенство Громова примет вид

${\displaystyle \left(\operatorname {sys\pi } _{1}(M)\right)^{n}\leq C_{n}\operatorname {vol} (M),}$

где C _n — универсальная константа , зависящая только от размерности M.

Замкнутое многообразие называется существенным, если его фундаментальный класс определяет ненулевой элемент в гомологиях его фундаментальной группы или, точнее, в гомологиях соответствующего пространства Эйленберга–Маклейна . При этом фундаментальный класс берется в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и в коэффициентах по модулю 2 в противном случае.

Примерами существенных многообразий являются асферические многообразия , действительные проективные пространства и линзовые пространства .

Оригинальное доказательство Громова 1983 года занимает около 35 страниц. Оно опирается на ряд методов и неравенств глобальной римановой геометрии. Начальной точкой доказательства является вложение X в банахово пространство борелевских функций на X, снабженное sup-нормой. Вложение определяется отображением точки p из X в вещественную функцию на X , заданную расстоянием от точки p . Доказательство использует неравенство коплощади , изопериметрическое неравенство , неравенство конуса и теорему деформации Герберта Федерера .

Одной из ключевых идей доказательства является введение инвариантов заполнения, а именно радиуса заполнения и объема заполнения X. А именно, Громов доказал точное неравенство, связывающее систолу и радиус заполнения,

${\displaystyle \mathrm {sys\pi} _{1}\leq 6\;\mathrm {FillRad} (X),}$

справедливо для всех существенных многообразий X ; а также неравенство

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X)\leq C_{n}\mathrm {vol} _{n}{}^{\tfrac {1}{n}}(X),}$

справедливо для всех замкнутых многообразий X.

Бруннбауэр (2008) показал, что инварианты заполнения, в отличие от систолических инвариантов, не зависят от топологии многообразия в подходящем смысле.

Гут (2011) и Амброзио и Кац (2011) разработали подходы к доказательству систолического неравенства Громова для существенных многообразий.

Более сильные результаты доступны для поверхностей, где асимптотика, когда род стремится к бесконечности, к настоящему времени хорошо изучена, см. систолы поверхностей . Доступно равномерное неравенство для произвольных 2-комплексов с несвободными фундаментальными группами, доказательство которого опирается на теорему разложения Грушко .

• Гипотеза о заполнении области
• Неравенство Громова (значения)
• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Неравенство тора Лёвнера
• Неравенство Пу
• Систолическая геометрия

• Амбросио, Луиджи ; Кац, Михаил (2011), «Плоские токи по модулю p в метрических пространствах и неравенства радиуса заполнения», Commentarii Mathematici Helvetici , 86 (3): 557–592, arXiv : 1004.1374 , doi : 10.4171/CMH/234, MR  2803853.
• Бруннбауэр, М. (2008), «Заполнение неравенств не зависит от топологии», J. Reine Angew. Math. , 624 : 217–231
• Громов, М. (1983), «Заполнение римановых многообразий», Журнал дифференциальной геометрии , 18 : 1–147, MR  0697984, Zbl  0515.53037, PE  euclid.jdg/1214509283
• Гут, Ларри (2011), «Объемы шаров в больших римановых многообразиях», Annals of Mathematics , 173 (1): 51–76, arXiv : math/0610212 , doi : 10.4007/annals.2011.173.1.2, MR  2753599
• Кац, Михаил Г. (2007), Систолическая геометрия и топология , Математические обзоры и монографии, т. 137, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 19, ISBN 978-0-8218-4177-8