Неравенство Громова для комплексного проективного пространства

В римановой геометрии оптимальным устойчивым 2- систолическим неравенством Громова является неравенство

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol} _{2n}(\mathbb {CP} ^{n})}$,

справедливо для произвольной римановой метрики на комплексном проективном пространстве , где оптимальная граница достигается симметричной метрикой Фубини–Штуди , обеспечивая естественную геометризацию квантовой механики . Здесь представлена ​​устойчивая 2-систола, которая в этом случае может быть определена как инфимум площадей рациональных 2-циклов, представляющих класс комплексной проективной прямой в 2-мерной гомологии.${\displaystyle \operatorname {stsys_{2}} }$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}\subset \mathbb {CP} ^{n}}$

Неравенство впервые появилось в работе Громова (1981) как теорема 4.36.

Доказательство неравенства Громова опирается на неравенство Виртингера для внешних 2-форм .

В частном случае n=2 неравенство Громова принимает вид . Это неравенство можно рассматривать как аналог неравенства Пу для вещественной проективной плоскости . В обоих случаях граничный случай равенства достигается симметричной метрикой проективной плоскости. Между тем, в кватернионном случае симметричная метрика на не является ее систолически оптимальной метрикой. Другими словами, многообразие допускает римановы метрики с более высоким систолическим отношением, чем для ее симметричной метрики (Bangert et al. 2009).${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{2}\leq 2\mathrm {vol} _{4}(\mathbb {CP} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {ЛС} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {ЛС} ^{2}}$${\displaystyle \mathrm {stsys} _{4}{}^{2}/\mathrm {vol} _{8}}$

• Неравенство тора Лёвнера
• Неравенство Пу
• Неравенство Громова (значения)
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий
• Систолическая геометрия

• Бангерт, Виктор; Кац, Михаил Г.; Шнайдер, Стив; Вайнбергер, Шмуэль (2009). " E ₇ , неравенства Виртингера, 4-форма Кэли и гомотопия". Duke Mathematical Journal . 146 (1): 35–70. arXiv : math.DG/0608006 . doi :10.1215/00127094-2008-061. MR  2475399. S2CID  2575584.
• Громов, Михаил (1981). Ж. Лафонтен; П. Пансу. (ред.). Structures métriques pour les variétés riemanniennes [ Метрические структуры для римановых многообразий ]. Textes Mathématiques (на французском языке). Том. 1. Париж: СЕДИК. ISBN 2-7124-0714-8. МР  0682063.
• Кац, Михаил Г. (2007). Систолическая геометрия и топология . Математические обзоры и монографии. Т. 137. С приложением Джейка П. Соломона. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 19. doi :10.1090/surv/137. ISBN 978-0-8218-4177-8. МР  2292367.

Эта статья, связанная с римановой геометрией, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е