Теорема Грушко

В математическом предмете теории групп теорема Грушко или теорема Грушко–Неймана — это теорема, утверждающая, что ранг (то есть наименьшая мощность порождающего множества ) свободного произведения двух групп равен сумме рангов двух свободных множителей. Теорема была впервые получена в статье Грушко 1940 года [1] , а затем, независимо, в статье Неймана 1943 года . [2]

Формулировка теоремы

Пусть A и Bконечно порожденные группы и пусть A B свободное произведение A и B. Тогда

ранг( AB ) = ранг( A ) + ранг( B ).

Очевидно, что rank( AB ) ≤ rank( A ) + rank( B ), поскольку если X — конечное порождающее множество A , а Y — конечное порождающее множество B , то XY — порождающее множество для AB и что | XY | ≤ | X | + | Y |. Противоположное неравенство, rank( AB ) ≥ rank( A ) + rank( B ), требует доказательства.

Грушко, но не Нейман, доказал более точную версию теоремы Грушко в терминах эквивалентности Нильсена . Она утверждает, что если M = ( g 1 , g 2 , ..., g n ) является n -кортежем элементов G = AB таким, что M порождает G , < g 1 , g 2 , ..., g n > = G , то M является эквивалентом Нильсена в G n -кортежу вида

M' = ( a 1 , ..., a k , b 1 , ..., b nk ) , где { a 1 , ..., a k }⊆ A — порождающий набор для A и где { b 1 , ..., b nk }⊆ B — порождающий набор для B . В частности, rank( A ) ≤ k , rank( B ) ≤ n  −  k и rank( A ) + rank( B ) ≤ k  + ( n  −  k ) = n . Если взять M в качестве минимального порождающего кортежа для G , то есть с n = rank( G ), это означает, что rank( A ) + rank( B ) ≤ rank( G ). Поскольку противоположное неравенство rank( G ) ≤ rank( A ) + rank( B ) очевидно, то отсюда следует, что rank( G )=rank( A ) + rank( B ), что и требуется.

История и обобщения

После оригинальных доказательств Грушко (1940) и Неймана (1943) было много последующих альтернативных доказательств, упрощений и обобщений теоремы Грушко. Близкая версия оригинального доказательства Грушко дана в книге Куроша 1955 года . [3]

Как и оригинальные доказательства, доказательство Линдона (1965) [4] опиралось на соображения о функциях длины, но с существенными упрощениями. Статья Столлингса 1965 года [5] дала значительно упрощенное топологическое доказательство теоремы Грушко.

В статье 1970 года Цишанга [6] была дана версия эквивалентности Нильсена теоремы Грушко (изложенной выше) и предоставлены некоторые обобщения теоремы Грушко для объединенных свободных произведений . Скотт (1974) дал другое топологическое доказательство теоремы Грушко, вдохновленное методами топологии 3 -многообразий [7]. Имрих (1984) [8] дал версию теоремы Грушко для свободных произведений с бесконечным числом факторов.

Статья Чизвелла 1976 года [9] дала относительно простое доказательство теоремы Грушко, смоделированное на основе доказательства Столлингса 1965 года, которое использовало методы теории Басса–Серра . Аргумент напрямую вдохновил на разработку механизмов сверток для групповых действий на деревьях и для графов групп , а также на еще более простое доказательство теоремы Грушко Дикса (см., например, [10] [11] [12] ).

Теорема Грушко является, в некотором смысле, отправной точкой в ​​теории достижимости Данвуди для конечно порождённых и конечно представимых групп . Поскольку ранги свободных множителей меньше ранга свободного произведения, теорема Грушко подразумевает, что процесс итерационного расщепления конечно порождённой группы G как свободного произведения должен заканчиваться за конечное число шагов (точнее, не более чем за rank( G ) шагов). Существует естественный аналогичный вопрос для итерационных расщеплений конечно порождённых групп над конечными подгруппами. Данвуди доказал, что такой процесс всегда должен заканчиваться, если группа G конечно представима [13] , но может продолжаться вечно, если G конечно порождён, но не конечно представим. [14]

Алгебраическое доказательство существенного обобщения теоремы Грушко с использованием техники группоидов было дано Хиггинсом (1966). [15] Теорема Хиггинса начинается с групп G и B со свободными разложениями G = ∗ i G i , B = ∗ i B i и f  : GB морфизмом таким, что f ( G i ) = B i для всех i . Пусть H — подгруппа G такая, что f ( H ​​) = B . Тогда H имеет разложение H = ∗ i H i такое, что f ( H ​​i ) = B i для всех i . Полные подробности доказательства и приложений можно также найти в . [10] [16]

Теорема разложения Грушко

Полезным следствием исходной теоремы Грушко является так называемая теорема о разложении Грушко. Она утверждает, что любая нетривиальная конечно порождённая группа G может быть разложена в свободное произведение

G = A 1A 2 ∗...∗ Ar F s , где s ≥ 0, r ≥ 0,

где каждая из групп A i нетривиальна, свободно неразложима (то есть не может быть разложена в свободное произведение) и не является бесконечной циклической, и где F sсвободная группа ранга s ; более того, для данного G группы A 1 , ..., Ar единственны с точностью до перестановки их классов сопряженности в G (и, в частности, последовательность типов изоморфизма этих групп единственна с точностью до перестановки) , а числа s и r также единственны.

Точнее, если G = B 1 ∗...∗ B kF t — другое такое разложение, то k = r , s = t , и существует перестановка σ∈ S r такая, что для каждого i = 1,..., r подгруппы A i и B σ( i ) сопряжены в G .

Существование вышеуказанного разложения, называемого разложением Грушко для G , является непосредственным следствием исходной теоремы Грушко, в то время как утверждение о единственности требует дополнительных аргументов (см., например, [17] ).

Алгоритмическое вычисление разложения Грушко для определенных классов групп является сложной проблемой, которая в первую очередь требует возможности определить, является ли данная группа свободно разложимой. Положительные результаты доступны для некоторых классов групп, таких как свободные от кручения гиперболические группы , некоторые классы относительно гиперболических групп , [18] фундаментальные группы конечных графов конечно порожденных свободных групп [19] и другие.

Теорема о разложении Грушко является теоретико-групповым аналогом теоремы Кнезера о разложении простых чисел для 3-многообразий , которая гласит, что замкнутое 3-многообразие может быть однозначно разложено в виде связной суммы неприводимых 3-многообразий. [20]

Набросок доказательства с использованием теории Басса–Серра

Ниже приведен набросок доказательства теоремы Грушко, основанный на использовании техники сверток для групп, действующих на деревьях ( полные доказательства с использованием этого аргумента см. в [10] [11] [12] ).

Пусть S = { g 1 ,...., g n } — конечный порождающий набор для G = AB размера | S |= n =rank( G ). Реализуем G как фундаментальную группу графа групп Y , который является одним непетлевым ребром с группами вершин A и B и с тривиальной группой ребер. Пусть — покрывающее дерево Басса–Серра для Y . Пусть F = F ( x 1 ,...., x n ) — свободная группа со свободным базисом x 1 ,...., x n , и пусть φ 0 : FGгомоморфизм такой, что φ 0 ( x i )= g i для i =1,..., n . Реализуем F как фундаментальную группу графа Z 0 , который является клином из n окружностей, которые соответствуют элементам x 1 ,...., x n . Мы также думаем о Z 0 как о графе групп с базовым графом Z 0 и тривиальными группами вершин и ребер. Тогда универсальное покрытие Z 0 и дерево покрытия Басса–Серра для Z 0 совпадают. Рассмотрим φ 0 -эквивариантное отображение , так что оно отправляет вершины в вершины, а ребра в реберные пути. Это отображение неинъективно и, поскольку и источник, и цель отображения являются деревьями, это отображение «складывает» некоторые пары ребер в источнике. Граф групп Z 0 служит начальным приближением для Y . И ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {Y} }}} З ~ 0 {\displaystyle {\tilde {Z}}_{0}} г 0 : З ~ 0 И ~ {\displaystyle r_{0}:{\tilde {Z}}_{0}\to {\tilde {\mathbf {Y} }}}

Теперь мы начинаем выполнять последовательность "складывающихся движений" на Z 0 (и на его покрывающем дереве Басса-Серра), чтобы построить последовательность графов групп Z 0 , Z 1 , Z 2 , ...., которые образуют все лучшие и лучшие приближения для Y . Каждый из графов групп Z j имеет тривиальные группы ребер и поставляется со следующей дополнительной структурой: для каждой нетривиальной группы вершин назначается конечное порождающее множество этой группы вершин. Сложность c ( Z j ) Z j является суммой размеров порождающих множеств ее групп вершин и ранга свободной группы π 1 ( Z j ). Для графа начального приближения мы имеем c ( Z 0 )= n .

Складывающиеся ходы, которые переводят Z j в Z j +1, могут быть одного из двух типов:

  • сгибы, которые отождествляют два ребра базового графа с общей начальной вершиной, но различными конечными вершинами в одно ребро; при выполнении такого сгиба порождающие наборы групп вершин и конечных ребер «объединяются» вместе в порождающий набор новой группы вершин; ранг фундаментальной группы базового графа не изменяется при таком перемещении.
  • сворачивает два ребра, которые уже имели общие начальные вершины и общие конечные вершины, в одно ребро; такой ход уменьшает ранг фундаментальной группы базового графа на 1, а элемент, соответствующий циклу в сворачиваемом графе, «добавляется» к порождающему набору одной из групп вершин.

Видно, что сдвиги сворачивания не увеличивают сложность, но уменьшают количество ребер в Z j . Следовательно, процесс сворачивания должен завершиться за конечное число шагов с графом групп Z k , который больше не может быть сложен. Из основных соображений теории Басса–Серра следует, что Z k фактически должен быть равен ребру групп Y и что Z k оснащен конечными порождающими наборами для групп вершин A и B . Сумма размеров этих порождающих наборов является сложностью Z k , которая, следовательно, меньше или равна c ( Z 0 )= n . Это означает, что сумма рангов групп вершин A и B не превышает n , то есть rank( A )+rank( B )≤rank( G ), как и требуется.

Эскиз доказательства Столлинга

Доказательство Столлингса теоремы Грушко следует из следующей леммы.

Лемма

Пусть F — конечно порожденная свободная группа с n образующими. Пусть G 1 и G 2 — две конечно представленные группы. Предположим, что существует сюръективный гомоморфизм . Тогда существуют две подгруппы F 1 и F 2 группы F с и , такие, что ϕ : Ф Г 1 Г 2 {\displaystyle \phi :F\rightarrow G_{1}\ast G_{2}} ϕ ( Ф 1 ) = Г 1 {\displaystyle \phi (F_{1})=G_{1}} ϕ ( Ф 2 ) = Г 2 {\displaystyle \phi (F_{2})=G_{2}} Ф = Ф 1 Ф 2 . {\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}.}

Доказательство: Мы приводим доказательство, предполагая, что F не имеет генератора, который отображается на единицу , поскольку если такие генераторы есть, их можно добавить к любому из или . Г 1 Г 2 {\displaystyle G_{1}\ast G_{2}} Ф 1 {\displaystyle F_{1}} Ф 2 {\displaystyle F_{2}}

В доказательстве используются следующие общие результаты.

1. Существует одномерный или двумерный комплекс CW , Z с фундаментальной группой F. По теореме Ван Кампена , клин из n окружностей является одним из таких пространств.

2. Существует два комплекса , где — точка на одной ячейке X, такая, что X 1 и X 2 — два комплекса с фундаментальными группами G 1 и G 2 соответственно. Обратите внимание, что по теореме Ван Кампена это означает, что фундаментальная группа X — это . Х = Х 1 Х 2 {\displaystyle X=X_{1}\чашка X_{2}} { п } = Х 1 Х 2 {\displaystyle \{p\}=X_{1}\cap X_{2}} Г 1 Г 2 {\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}

3. Существует отображение , такое что индуцированное отображение на фундаментальных группах такое же, как ф : З Х {\displaystyle f:Z\rightarrow X} ф {\displaystyle f_{\ast}} ϕ {\displaystyle \фи}

Для удобства обозначим и . Поскольку ни один генератор F не отображается в тождество, множество не имеет петель, поскольку если это так, то они будут соответствовать окружностям Z , которые отображаются в , которые в свою очередь соответствуют генераторам F , которые переходят в тождество. Таким образом, компоненты стягиваемы. В случае, когда имеет только один компонент, по теореме Ван Кампена мы делаем это, как и в этом случае, : . ф 1 ( Х 1 ) =: З 1 {\displaystyle f^{-1}(X_{1})=:Z_{1}} ф 1 ( Х 2 ) =: З 2 {\displaystyle f^{-1}(X_{2})=:Z_{2}} З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}} п Х {\displaystyle p\in X} З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}} З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}} Ф = П 1 ( З 1 ) П 1 ( З 2 ) {\displaystyle F=\Pi _{1}(Z_{1})\ast \Pi _{1}(Z_{2})}

Общее доказательство следует из сведения Z к пространству, гомотопически ему эквивалентному, но с меньшим числом компонент в , и, таким образом, посредством индукции по компонентам . З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}} З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}

Такое уменьшение Z достигается путем прикрепления дисков вдоль связующих стяжек.

Мы называем карту связующей связью, если она удовлетворяет следующим свойствам: γ : [ 0 , 1 ] З {\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z}

1. Он монохромный , т.е. или γ ( [ 0 , 1 ] ) З 1 {\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_ {1}} γ ( [ 0 , 1 ] ) З 2 {\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_ {2}}

2. Это связь , т.е. и лежат в разных компонентах . γ ( 0 ) {\displaystyle \гамма (0)} γ ( 1 ) {\displaystyle \гамма (1)} З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}

3. Он нулевой , т.е. нулевой гомотопный в X. ф γ ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle е\circ \gamma ([0,1])}

Предположим, что такая связующая связь существует. Пусть будет связующей связью. γ {\displaystyle \гамма}

Рассмотрим отображение, заданное . Это отображение является гомеоморфизмом на свой образ. Определим пространство как г : [ 0 , 1 ] Д 2 {\displaystyle g:[0,1]\rightarrow D^{2}} г ( т ) = е я т {\displaystyle g(t)=e^{it}} З {\displaystyle Z'}

З = З Д 2 / {\displaystyle Z'=Z\coprod \!D^{2}/\!\sim } где : х у  если да { х = у ,  или  х = γ ( т )  и  у = г ( т )  для некоторых  т [ 0 , 1 ]  или  х = г ( т )  и  у = γ ( т )  для некоторых  т [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\!\!\sim y{\text{ тогда и только тогда}}{\begin{cases}x=y,{\mbox{ или }}\\x=\gamma (t){\text{ и }}y=g(t){\text{ для некоторых }}t\in [0,1]{\mbox{ или }}\\x=g(t){\text{ и }}y=\gamma (t){\text{ для некоторых }}t\in [0,1]\end{cases}}}

Обратите внимание, что деформация пространства Z' стягивается к Z. Сначала мы расширяем f до функции как ф : З Д 2 / {\displaystyle ''f'':Z\coprod \partial D^{2}/\!\sim }

ф ( х ) = { ф ( х ) ,   х З п  в противном случае. {\displaystyle f''(x)={\begin{cases}f(x),\ x\in Z\\p{\text{ в противном случае.}}\end{cases}}}

Так как гомотопно нулю, то далее продолжается внутрь диска, и, следовательно, до . Пусть i = 1,2 . Так как и лежат в различных компонентах , имеет на один компонент меньше, чем . ф ( γ ) {\displaystyle f(\гамма)} ф {\displaystyle f''} З {\displaystyle Z'} З я = ф 1 ( Х я ) {\displaystyle Z_{i}'=f'^{-1}(X_{i})} γ ( 0 ) {\displaystyle \гамма (0)} γ ( 1 ) {\displaystyle \гамма (1)} З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}} З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}'\cap Z_{2}'} З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}

Строительство связывающей стяжки

Связывание выполняется в два этапа.

Шаг 1: Построение нулевой связи :

Рассмотрим отображение с и в различных компонентах . Поскольку является сюръективным, существует петля, основанная на γ'(1), такая, что и гомотопически эквивалентны в X . Если мы определим кривую как для всех , то является нулевой связью. γ : [ 0 , 1 ] З {\displaystyle \gamma ':[0,1]\rightarrow Z} γ ( 0 ) {\displaystyle \гамма '(0)} γ ( 1 ) {\displaystyle \гамма '(1)} З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}} ф {\displaystyle f_{\ast}} λ {\displaystyle \!\лямбда } ф ( γ ) {\displaystyle \!f(\гамма ')} ф ( λ ) {\displaystyle \!f(\лямбда)} γ : [ 0 , 1 ] З {\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z} γ ( т ) = γ λ ( т ) {\displaystyle \гамма (t)=\гамма '\аст \лямбда (t)} т [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} γ {\displaystyle \!\гамма}

Шаг 2: Делаем нулевую связь одноцветной :

Связь может быть записана как где каждая является кривой в или такой, что если находится в , то находится в и наоборот. Это также подразумевает, что является петлей, основанной на p в X . Итак, γ {\displaystyle \!\гамма} γ 1 γ 2 γ м {\displaystyle \gamma _{1}\ast \gamma _{2} \ast \cdots \ast \gamma _{m}} γ я {\displaystyle \гамма _{i}} З 1 {\displaystyle Z_{1}} З 2 {\displaystyle Z_{2}} γ я {\displaystyle \гамма _{i}} З 1 {\displaystyle Z_{1}} γ я + 1 {\displaystyle \гамма _{i+1}} З 2 {\displaystyle Z_{2}} ф ( γ я ) {\ displaystyle f (\ gamma _ {i})}

[ е ] = [ ф ( γ ) ] = [ ф ( γ 1 ) ] [ ф ( γ м ) ] {\displaystyle [e]=[f(\gamma)]=[f(\gamma _{1})]\ast \cdots \ast [f(\gamma _{m})]}

Следовательно, для некоторого j . Если это связь, то мы имеем монохроматическую нулевую связь. Если это не связь, то конечные точки находятся в том же компоненте . В этом случае мы заменяем на путь в , скажем . Этот путь может быть добавлен к , и мы получим новую нулевую связь [ ф ( γ дж ) ] = [ е ] {\displaystyle [f(\gamma _{j})]=[e]} γ дж {\displaystyle \!\гамма _{j}} γ дж {\displaystyle \!\гамма _{j}} γ дж {\displaystyle \!\гамма _{j}} З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}} γ дж {\displaystyle \!\гамма _{j}} З 1 З 2 {\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}} γ дж {\displaystyle \!\gamma _{j}'} γ дж 1 {\displaystyle \!\gamma _{j-1}}

γ = γ 1 γ дж 1 γ дж + 1 γ м {\displaystyle \gamma ''=\gamma _{1}\ast \cdots \ast \gamma _{j-1}'\ast \gamma _{j+1}\cdots \gamma _{m}} , где . γ j 1 = γ j 1 γ j {\displaystyle \!\gamma _{j-1}'=\gamma _{j-1}\ast \gamma _{j}'}

Таким образом, индукцией по m мы доказываем существование связующей связи.

Доказательство теоремы Грушко

Предположим, что порождается . Пусть будет свободной группой с -образующими, а именно . Рассмотрим гомоморфизм, заданный , где . G = A B {\displaystyle G=A*B} { g 1 , g 2 , , g n } {\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\}} F {\displaystyle F} n {\displaystyle n} { f 1 , f 2 , , f n } {\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}} h : F G {\displaystyle h:F\rightarrow G} h ( f i ) = g i {\displaystyle h(f_{i})=g_{i}} i = 1 , , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n}

По лемме существуют свободные группы и с такими, что и . Следовательно, и . Следовательно, F 1 {\displaystyle F_{1}} F 2 {\displaystyle F_{2}} F = F 1 F 2 {\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}} h ( F 1 ) = A {\displaystyle h(F_{1})=A} h ( F 2 ) = B {\displaystyle h(F_{2})=B} Rank  ( A ) Rank  ( F 1 ) {\displaystyle {\text{Rank }}(A)\leq {\text{Rank }}(F_{1})} Rank  ( B ) Rank  ( F 2 ) {\displaystyle {\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{2})} Rank  ( A ) + Rank  ( B ) Rank  ( F 1 ) + Rank  ( F 2 ) = Rank  ( F ) = Rank  ( A B ) . {\displaystyle {\text{Rank }}(A)+{\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{1})+{\text{Rank }}(F_{2})={\text{Rank }}(F)={\text{Rank }}(A\ast B).}

Смотрите также

Примечания

  1. И.А. Грушко, О базисах свободного произведения групп , Математический сборник, т. 8 (1940), с. 169–182.
  2. ^ Б. Х. Нейман. О числе генераторов свободного произведения. Журнал Лондонского математического общества, т. 18, (1943), стр. 12–20.
  3. ^ А. Г. Курош, Теория групп. Том I. Перевод и редакция К. А. Хирша. Chelsea Publishing Co., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, 1955
  4. Роджер С. Линдон , «Теорема Грушко». Труды Американского математического общества , т. 16 (1965), стр. 822–826.
  5. ^ Джон Р. Столлингс. «Топологическое доказательство теоремы Грушко о свободных произведениях». Mathematische Zeitschrift , т. 90 (1965), стр. 1–8.
  6. ^ Хайнер Цишанг. «Über die Nielsenche Kürzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam». Inventiones Mathematicae , том. 10 (1970), стр. 4–37.
  7. ^ Скотт, Питер . Введение в 3-многообразия. Кафедра математики, Мэрилендский университет, Конспект лекций, № 11. Кафедра математики, Мэрилендский университет, Колледж-Парк, Мэриленд, 1974
  8. ^ Вильфрид Имрих «Теорема Грушко». Archiv der Mathematik (Базель), том. 43 (1984), вып. 5, стр. 385-387.
  9. ^ И. М. Чизвелл, Теорема Грушко-Неймана. Учеб. Лондонская математика. Соц. (3) 33 (1976), вып. 3, 385–400.
  10. ^ abc Уоррен Дикс. Группы, деревья и проективные модули. Lecture Notes in Mathematics 790, Springer, 1980
  11. ^ ab Джон Р. Столлингс. "Складывания G-деревьев". Arboreal group theory (Беркли, Калифорния, 1988), стр. 355–368, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 19. Springer, Нью-Йорк, 1991; ISBN  0-387-97518-7
  12. ^ ab Илья Капович, Ричард Вайдман и Алексей Мясников. Складывания, графы групп и проблема членства. International Journal of Algebra and Computation, т. 15 (2005), № 1, стр. 95–128
  13. ^ Мартин Дж. Данвуди. «Доступность конечно представленных групп». Inventiones Mathematicae , т. 81 (1985), № 3, стр. 449–457
  14. ^ Мартин Дж. Данвуди. «Недоступная группа». Геометрическая теория групп , т. 1 (Сассекс, 1991), стр. 75–78, London Mathematical Society Lecture Notes Series, 181, Cambridge University Press, Кембридж, 1993. ISBN 0-521-43529-3 
  15. ^ PJ Higgins. "Теорема Грушко". Журнал алгебры , т. 4 (1966), стр. 365–372
  16. ^ Хиггинс, Филип Дж., Заметки о категориях и группоидах. Van Nostrand Rienhold Mathematical Studies, № 32. Van Nostrand Reinhold Co., Лондон-Нью-Йорк-Мельбурн, 1971. Переиздано как Theory and Applications of Categories Reprint № 7, 2005.
  17. ^ Джон Столлингс. Согласованность 3-многообразных фундаментальных групп. Архивировано 2011-06-05 на семинаре Wayback Machine Bourbaki, 18 (1975-1976), Exposé № 481.
  18. ^ Франсуа Дамани и Дэниел Гроувс. «Обнаружение свободных расщеплений в относительно гиперболических группах». Труды Американского математического общества . Опубликовано онлайн 21 июля 2008 г.
  19. ^ Го-Ань Дяо и Марк Фейн. «Разложение Грушко конечного графа свободных групп конечного ранга: алгоритм». Геометрия и топология . том 9 (2005), стр. 1835–1880
  20. ^ Х. Кнезер, Geschlossene Flächen in drei Dimensionen Mannigfaltigkeiten. Яресбер. немецкий. Математика. Верейн., вып. 38 (1929), стр. 248–260.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Grushko_theorem&oldid=1229892466"