Общая точка
В алгебраической геометрии общая точка P алгебраического многообразия X — это точка в общем положении , в которой все общие свойства истинны, при этом общее свойство — это свойство, которое истинно почти для каждой точки.
В классической алгебраической геометрии общая точка аффинного или проективного алгебраического многообразия размерности d — это точка, такая что поле, порожденное ее координатами, имеет степень трансцендентности d над полем, порожденным коэффициентами уравнений многообразия.
В теории схем спектр целостной области имеет единственную общую точку, которая является нулевым идеалом. Поскольку замыкание этой точки для топологии Зарисского является всем спектром , определение было распространено на общую топологию , где общая точка топологического пространства X является точкой, замыкание которой есть X.
Определение и мотивация
Точка общего вида топологического пространства X — это точка P , замыкание которой — всё X , то есть точка, которая плотна в X. [ 1]
Терминология возникает из случая топологии Зарисского на множестве подмногообразий алгебраического множества : алгебраическое множество неприводимо (то есть не является объединением двух собственных алгебраических подмножеств) тогда и только тогда, когда топологическое пространство подмногообразий имеет общую точку.
Примеры
- Единственное хаусдорфово пространство , имеющее общую точку, — это одноэлементное множество .
- Любая интегральная схема имеет (единственную) общую точку; в случае аффинной интегральной схемы (т.е. простого спектра области целостности ) общая точка — это точка, связанная с простым идеалом (0).
История
В основополагающем подходе Андре Вейля , разработанном в его «Основах алгебраической геометрии» , общие точки играли важную роль, но обрабатывались по-другому. Для алгебраического многообразия V над полем K общие точки V были целым классом точек V , принимающих значения в универсальной области Ω, алгебраически замкнутом поле, содержащем K , но также и бесконечный запас новых неопределенностей. Этот подход работал без какой-либо необходимости иметь дело напрямую с топологией V ( то есть с топологией K -Зарисского), поскольку все специализации можно было обсуждать на уровне поля (как в подходе теории оценки к алгебраической геометрии, популярном в 1930-х годах).
Это было достигнуто ценой существования огромного набора одинаково общих точек. Оскар Зариски , коллега Вейля в Сан-Паулу сразу после Второй мировой войны , всегда настаивал на том, что общие точки должны быть уникальными. (Это можно перевести на язык топологии: идея Вейля не дает пространства Колмогорова , а Зариски мыслит в терминах частного Колмогорова .)
В быстрых фундаментальных изменениях 1950-х годов подход Вейля устарел. Однако в теории схем с 1957 года вернулись общие точки: на этот раз в духе Зарисского . Например, для R кольцо дискретного оценивания Spec ( R ) состоит из двух точек: общей точки (происходящей из простого идеала {0}) и замкнутой точки или специальной точки, происходящей из единственного максимального идеала . Для морфизмов в Spec ( R ) слой над специальной точкой является специальным слоем , что является важным понятием, например, в редукции по модулю p , теории монодромии и других теориях о вырождении. Общий слой , в равной степени, является слоем над общей точкой. Геометрия вырождения в значительной степени касается перехода от общих к специальным слоям или, другими словами, того, как специализация параметров влияет на вопросы. (Для кольца дискретного оценивания рассматриваемым топологическим пространством является пространство Серпинского топологов. Другие локальные кольца имеют уникальные общие и специальные точки, но более сложный спектр, поскольку они представляют общие измерения. Случай дискретного оценивания во многом похож на комплексный единичный круг для этих целей.)
Ссылки
- ^ Мамфорд, Дэвид (2005) [1999]. "II Preschemes". Красная книга разновидностей и схем. Springer. стр. 67. doi :10.1007/978-3-540-46021-3_2. ISBN 978-3-540-46021-3.
- Викерс, Стивен (1989). Топология через логику . Кембриджские трактаты по теоретической информатике. Том 5. С. 65. ISBN 0-521-36062-5.
- Вайль, Андре (1946). Основы алгебраической геометрии . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Т. XXIX. ISBN 978-1-4704-3176-1. OCLC 1030398184.
