Интеграл Хенстока–Курцвейла

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Февраль 2016 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике интеграл Хенстока –Курцвейля или обобщённый интеграл Римана или калибровочный интеграл — также известный как (узкий) интеграл Данжуа ( произносится [dɑ̃ʒwa] ), интеграл Лузина или интеграл Перрона , но его не следует путать с более общим широким интегралом Данжуа — является одним из ряда неэквивалентных определений интеграла функции . Он является обобщением интеграла Римана и в некоторых ситуациях является более общим, чем интеграл Лебега . В частности, функция интегрируема по Лебегу по подмножеству тогда и только тогда, когда функция и её абсолютное значение интегрируемы по Хенстоку–Курцвейлю.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Этот интеграл был впервые определен Арно Данжуа (1912). Данжуа интересовался определением, которое позволило бы интегрировать функции типа:

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\right).}$$

Эта функция имеет особенность в 0 и не является интегрируемой по Лебегу. Однако кажется естественным вычислить ее интеграл, за исключением интервала , а затем пусть .${\displaystyle [-\varepsilon,\delta]}$${\displaystyle \varepsilon,\delta \rightarrow 0}$

Пытаясь создать общую теорию, Данжуа использовал трансфинитную индукцию по возможным типам особенностей, что сделало определение довольно сложным. Другие определения были даны Николаем Лузиным (используя вариации понятий абсолютной непрерывности ) и Оскаром Перроном , который интересовался непрерывными главными и второстепенными функциями. Потребовалось некоторое время, чтобы понять, что интегралы Перрона и Данжуа на самом деле идентичны.

Позже, в 1957 году, чешский математик Ярослав Курцвейл открыл новое определение этого интеграла, элегантно похожее по своей природе на оригинальное определение Римана, которое Курцвейл назвал калибровочным интегралом . В 1961 году Ральф Хенсток независимо ввел похожий интеграл, который расширил теорию, ссылаясь на свои исследования расширений Уорда до интеграла Перрона. ^[1] Благодаря этим двум важным вкладам он теперь широко известен как интеграл Хенстока–Курцвейла . Простота определения Курцвейла заставила некоторых преподавателей выступать за то, чтобы этот интеграл заменил интеграл Римана во вводных курсах исчисления . ^[2]

Следуя Бартлу (2001), учитывая помеченное разбиение , то есть вместе с тегом каждого подынтервала, определенным как точка, мы определяем сумму Римана для функции следующим образом : Это сумма длины каждого подынтервала ( ), умноженная на функцию, вычисленную в теге этого подынтервала ( ) .${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle [а,б]}$$${\displaystyle a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b}$$$${\displaystyle t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],}$$${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \sum _{P}f=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta u_{i}.}$$${\displaystyle \Delta u_{i}:=u_{i}-u_{i-1}.}$${\displaystyle \Дельта u_{i}}$${\displaystyle f(t_{i})}$

При наличии положительной функции , которую мы называем калибровкой , мы говорим, что помеченное разбиение P является -хорошим, если$${\displaystyle \delta \colon [a,b]\to (0,\infty),}$$${\displaystyle \дельта}$$${\displaystyle (\forall i\in \{1,\dots ,n\})\ (\ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})]).}$$

Теперь мы определим число I как интеграл Хенстока–Курцвейла функции f , если для каждого ε > 0 существует калибровка такая, что всякий раз, когда P является -тонким, мы имеем${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle \дельта}$$${\displaystyle \left\vert I-\sum _{P}f\right\vert <\varepsilon .}$$

Если такое I существует, мы говорим, что f интегрируемо по Хенстоку–Курцвейлю на .${\displaystyle [а,б]}$

Теорема Кузена утверждает, что для каждой калибровки такое -тонкое разбиение P существует, поэтому это условие не может быть выполнено просто так . Интеграл Римана можно рассматривать как особый случай, когда мы допускаем только постоянные калибровки.${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle \дельта}$

Пусть будет любой функцией.${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$

При условии , интегрируемо ли уравнение Хенстока–Курцвейля на тогда и только тогда, когда оно интегрируемо как уравнение Хенстока–Курцвейля на и ; в этом случае (Бартл 2001, 3.7),${\displaystyle а<с<б}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [а,б]}$${\displaystyle [а,с]}$${\displaystyle [c,b]}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$$

Интегралы Хенстока–Курцвейля являются линейными : если заданы интегрируемые функции и и действительные числа и , выражение интегрируемо (Bartle 2001, 3.1); например,${\displaystyle f}$${\displaystyle г}$ ${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha f+\beta g}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$

Если f интегрируема по Риману или Лебегу, то она также интегрируема по Хенстоку–Курцвейлу, и вычисление этого интеграла дает тот же результат по всем трем формулировкам. Важная теорема Хейка (Bartle 2001, 12.8) утверждает, что$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx}$$

всякий раз, когда существует любая из сторон уравнения, и также симметрично для нижней границы интегрирования. Это означает, что если является " неправильно интегрируемым по Хенстоку–Курцвейлю", то оно является правильно интегрируемым по Хенстоку–Курцвейлю; в частности, неправильные интегралы Римана или Лебега таких типов, как${\displaystyle f}$$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\sin(1/x)}{x}}\,dx}$$

также являются собственными интегралами Хенстока–Курцвейля. Изучать «несобственный интеграл Хенстока–Курцвейля» с конечными границами не имеет смысла. Однако имеет смысл рассматривать несобственные интегралы Хенстока–Курцвейля с бесконечными границами, такие как$${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx:=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Для многих типов функций интеграл Хенстока–Курцвейля не более общий, чем интеграл Лебега. Например, если f ограничена с компактным носителем , то следующие условия эквивалентны:

• f интегрируема по Хенстоку–Курцвейлу,
• f интегрируема по Лебегу,
• f измерима по Лебегу .

В общем случае каждая интегрируемая по Хенстоку–Курцвейлю функция измерима и интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда и интегрируемы по Хенстоку–Курцвейлю. Это означает, что интеграл Хенстока–Курцвейля можно рассматривать как « не абсолютно сходящуюся версию интеграла Лебега». Это также подразумевает, что интеграл Хенстока–Курцвейля удовлетворяет соответствующим версиям теоремы о монотонной сходимости (без требования, чтобы функции были неотрицательными) и теоремы о доминируемой сходимости (где условие доминирования ослаблено до g ( x ) ≤ f _n ( x ) ≤ h ( x ) для некоторых интегрируемых g , h ).${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$

Если дифференцируема всюду (или со счетным числом исключений), то производная интегрируема по Хенстоку–Курцвейлю, а ее неопределенный интеграл Хенстока–Курцвейля равен . (Заметим, что не обязательно интегрируема по Лебегу.) Другими словами, мы получаем более простую и удовлетворительную версию второй фундаментальной теоремы исчисления : каждая дифференцируемая функция является, с точностью до константы, интегралом своей производной:${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F'}$$${\displaystyle F(x)-F(a)=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt.}$$

Наоборот , теорема Лебега о дифференцировании продолжает быть справедливой для интеграла Хенстока–Курцвейля: если интегрируемо по Хенстоку–Курцвейлю на , и${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt,}$$

тогда почти всюду в (в частности, дифференцируемо почти всюду).${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle F}$

Пространство всех функций, интегрируемых по Хенстоку–Курцвейлю, часто наделяется нормой Алексевича , относительно которой оно является бочечным , но неполным .

Калибровочный интеграл имеет большую полезность по сравнению с интегралом Римана, поскольку может быть вычислен калибровочный интеграл любой функции , которая имеет постоянное значение c, за исключением, возможно, счетного числа точек . Рассмотрим, например, кусочную функцию , которая равна единице минус функция Дирихле на интервале.${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$${\displaystyle C=\{c_{i}:i\in \mathbb {N} \}}$$${\displaystyle f(t)={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\in [0,1]{\text{ and rational,}}\\1,&{\text{if }}t\in [0,1]{\text{ and irrational}}\end{cases}}}$$

Эту функцию невозможно проинтегрировать с помощью интеграла Римана, поскольку невозможно сделать интервалы достаточно малыми, чтобы инкапсулировать изменяющиеся значения f ( x ) с помощью природы отображения -тонких разбиений с метками.${\displaystyle [u_{i-1},u_{i}]}$${\displaystyle \delta }$

Значение типа интеграла, описанного выше, равно , где c — постоянное значение функции, а a, b — конечные точки функции. Чтобы продемонстрировать это, пусть дано и пусть будет -тонким разбиением с тегами и интервалами , и пусть будет кусочной функцией, описанной выше. Рассмотрим, что где представляет собой длину интервала . Обратите внимание, что эта эквивалентность устанавливается, поскольку сумма последовательных разностей длин всех интервалов равна длине интервала (или ).${\displaystyle c(b-a)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle D=\{(z_{j},J_{j}):1\leq j\leq n\}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle J_{j}}$${\displaystyle f(t)}$$${\displaystyle \left|\sum f(z_{j})l(J_{j})-1(1-0)\right|=\left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|}$$${\displaystyle l(J_{j})}$${\displaystyle J_{j}}$${\displaystyle J_{j}}$${\displaystyle (1-0)}$

По определению калибровочного интеграла мы хотим показать, что приведенное выше уравнение меньше любого заданного . Это дает два случая:${\displaystyle \varepsilon }$

Случай 1: ${\displaystyle z_{j}\notin C}$( Все теги иррациональны ):${\displaystyle D}$

Если ни один из тегов разбиения по тегам не является рациональным , то всегда будет 1 по определению , то есть . Если этот член равен нулю, то для любой длины интервала будет верно следующее неравенство:${\displaystyle D}$${\displaystyle f(z_{j})}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle f(z_{j})-1=0}$$${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq \varepsilon ,}$$

Таким образом, в этом случае 1 является интегралом от .${\displaystyle f(t)}$

Случай 2:${\displaystyle z_{k}=c_{k}}$ (Некоторый тег является рациональным):${\displaystyle D}$

Если тег рационален, то функция, вычисленная в этой точке, будет равна 0, что является проблемой. Поскольку мы знаем, что является -fine, неравенство выполняется, поскольку длина любого интервала короче его покрытия по определению того, что является -fine. Если мы можем построить калибровку из правой части неравенства, то мы можем показать, что выполняются критерии для существования интеграла.${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq \left|\sum [f(z_{j})-1]l(\delta (c_{k}))\right|}$$${\displaystyle J_{j}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$

Для этого давайте установим наши датчики покрытия , что делает ${\displaystyle \gamma _{k}=\varepsilon /[f(c_{k})-c]2^{k+2}}$${\displaystyle \delta (c_{k})=(c_{k}-\gamma _{k},c_{k}+\gamma _{k})}$$${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-c]l(J_{j})\right|<\varepsilon /2^{k+1}.}$$

Из этого следует, что $${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq 2\sum \varepsilon /2^{k+1}=\varepsilon }$$

Поскольку как геометрическая прогрессия . Это означает, что для этого случая 1 является интегралом .$${\displaystyle 2\sum 1/2^{k+1}=1}$$${\displaystyle f(t)}$

Поскольку случаи 1 и 2 являются исчерпывающими, это показывает, что интеграл равен 1 и все свойства из предыдущего раздела сохраняются.${\displaystyle f(t)}$

Интеграл Лебега на прямой также можно представить аналогичным образом.

Если мы возьмем определение интеграла Хенстока–Курцвейла из вышеизложенного и отбросим условие

$${\displaystyle t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],}$$

то мы получаем определение интеграла МакШейна , который эквивалентен интегралу Лебега. Обратите внимание, что условие

$${\displaystyle \forall i\ \ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})]}$$

все еще применяется, и мы технически также требуем, чтобы было определено.${\textstyle t_{i}\in [a,b]}$${\textstyle f(t_{i})}$

• Интеграл Пфеффера
• Главное значение Коши
• Адамар конечный интеграл части

• Бартл, Роберт Г. (2001). Современная теория интеграции . Аспирантура по математике . Том 32. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0845-0.
• Современная теория интеграции в 21 веке
• Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (1999). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4.
• Челидзе, В. Г.; Джваршейшвили, А. Г. (1989). Теория интеграла Данжуа и некоторые ее приложения . Серия по действительному анализу. Том 3. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-0021-3.
• Дас, АГ (2008). Римана, Лебега и обобщенные интегралы Римана . Издательство Нароса. ISBN 978-81-7319-933-2.
• Гордон, Рассел А. (1994). Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока . Аспирантура по математике. Том 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3805-1.
• Хенсток, Ральф (1988). Лекции по теории интеграции . Серия по реальному анализу. Том 1. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9971-5-0450-2.
• Курцвейл, Ярослав (2000). Интеграция Хенстока–Курцвейла: ее связь с топологическими векторными пространствами . Ряды в реальном анализе. Том 7. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-4207-7.
• Курцвейл, Ярослав (2002). Интеграция между интегралом Лебега и интегралом Хенстока–Курцвейла: ее связь с локально выпуклыми векторными пространствами . Ряды по действительному анализу. Том 8. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-238-046-3.
• Лидер, Соломон (2001). Интеграл Курцвейла–Хенстока и его дифференциалы . Серия «Чистая и прикладная математика». CRC. ISBN 978-0-8247-0535-0.
• Ли, Пэн-Йи (1989). Лекции Ланьчжоу по интеграции Хенстока . Серия по реальному анализу. Том 2. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9971-5-0891-3.
• Ли, Пэн-Йи; Выборный, Рудольф (2000). Интеграл: простой подход после Курцвейла и Хенстока . Серия лекций Австралийского математического общества. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-77968-5.
• Маклеод, Роберт М. (1980). Обобщенный интеграл Римана . Математические монографии Каруса. Т. 20. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-021-3.
• Шварц, Чарльз В. (2001). Введение в калибровочные интегралы . World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-4239-8.
• Swartz, Charles W.; Kurtz, Douglas S. (2004). Теории интеграции: интегралы Римана, Лебега, Хенстока–Курцвейла и МакШейна . Серия по реальному анализу. Том 9. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-256-611-9.

Ниже приведены дополнительные ресурсы в Интернете, где можно узнать больше:

• «Интеграл Курцвейла-Хенстока», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Введение в калибровочный интеграл
• Открытое предложение: заменить интеграл Римана калибровочным интегралом в учебниках по исчислению, подписанных Бартлом, Хенстоком, Курцвейлом, Шехтером, Швабиком и Выборным.