Бессодержательная правда

В математике и логике пустая истина — это условное или всеобщее утверждение (всеобщее утверждение, которое можно преобразовать в условное утверждение), которое является истинным, потому что антецедент не может быть удовлетворен . ^[1] Иногда говорят, что утверждение является пустоистинно истинным, потому что оно на самом деле ничего не говорит. ^[2] Например, утверждение «все мобильные телефоны в комнате выключены» будет истинным , когда в комнате нет мобильных телефонов. В этом случае утверждение «все мобильные телефоны в комнате включены » также будет пустоистинно истинным, как и их конъюнкция : «все мобильные телефоны в комнате включены и выключены», которая в противном случае была бы бессвязной и ложной.

Более формально, относительно четко определенное использование относится к условному утверждению (или универсальному условному утверждению) с ложным антецедентом . ^{[1] [3] [2] [4]} Одним из примеров такого утверждения является «если Токио находится в Испании, то Эйфелева башня находится в Боливии».

Такие утверждения считаются пустыми истинами, поскольку тот факт, что антецедент является ложным, не позволяет использовать утверждение для вывода чего-либо об истинностном значении консеквента . По сути, условное утверждение, основанное на материальном условном выражении , является истинным, когда антецедент («Токио находится в Испании» в примере) является ложным, независимо от того, является ли заключение или консеквент («Эйфелева башня находится в Боливии» в примере) истинным или ложным, поскольку материальное условное выражение определено таким образом.

Примерами, распространенными в повседневной речи, являются условные фразы, используемые в качестве идиом невероятности, такие как «когда ад замерзнет...» и «когда свиньи смогут летать...», указывающие на то, что только после того, как данное (невозможное) условие будет выполнено, говорящий примет некоторое соответствующее (обычно ложное или абсурдное) утверждение.

В чистой математике пустословно истинные утверждения сами по себе, как правило, не представляют интереса, но они часто возникают как базовый случай доказательств методом математической индукции . ^[5] Это понятие имеет значение в чистой математике , а также в любой другой области, которая использует классическую логику .

За пределами математики утверждения в форме пустой истины, хотя и логически обоснованные, тем не менее могут вводить в заблуждение. Такие утверждения делают обоснованные утверждения о квалифицированных объектах, которые на самом деле не существуют . Например, ребенок может правдиво сказать своему родителю: «Я съел все овощи на своей тарелке», когда на тарелке ребенка изначально не было никаких овощей. В этом случае родитель может поверить, что ребенок на самом деле съел некоторые овощи, даже если это неправда.

Утверждение является «бессодержательно истинным», если оно напоминает материальное условное утверждение , где антецедент , как известно, является ложным. ^{[1] [3] [2]}${\displaystyle S}$${\displaystyle P\Стрелка вправо Q}$ ${\displaystyle P}$

К бессодержательно истинным утверждениям, которые можно свести ( с помощью соответствующих преобразований ) к этой базовой форме (материально-условным), относятся следующие универсально квантифицированные утверждения:

• ${\displaystyle \forall x:P(x)\Стрелка вправо Q(x)}$, где это тот случай, когда . ^[4]${\displaystyle \forall x:\neg P(x)}$
• ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$, где множество пусто .${\displaystyle А}$
  • Эту логическую форму можно преобразовать в материальную условную форму, чтобы легко определить антецедент . Для приведенного выше примера «все сотовые телефоны в комнате выключены» его можно формально записать как где — множество всех сотовых телефонов в комнате, а « выключен». Это можно записать в материальное условное выражение, где — множество всех вещей в комнате (включая сотовые телефоны, если они есть в комнате), антецедент — « является сотовым телефоном», а консеквент — « выключен».${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \forall x\in B:P(x)\Rightarrow Q(x)}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \forall \xi :Q(\xi )}$, где символ ограничен типом , не имеющим представителей.${\displaystyle \xi}$

Пустые истины чаще всего появляются в классической логике с двумя значениями истинности . Однако пустые истины могут также появляться, например, в интуиционистской логике , в тех же ситуациях, что приведены выше. Действительно, если является ложным, то даст пустую истину в любой логике, которая использует материальное условное ; если является необходимой ложью , то она также даст пустую истину при строгом условном .${\displaystyle P}$${\displaystyle P\Стрелка вправо Q}$${\displaystyle P}$

Другие неклассические логики, такие как логика релевантности , могут пытаться избегать пустых истин, используя альтернативные условные конструкции (например, случай контрфактуальных условных конструкций ).

Во многих средах программирования есть механизм для запроса, удовлетворяет ли каждый элемент в коллекции элементов некоторому предикату. Обычно такой запрос всегда оценивается как истинный для пустой коллекции. Например:

• В JavaScript метод массива выполняет предоставленную функцию обратного вызова один раз для каждого элемента, присутствующего в массиве, останавливаясь только (если и когда) он находит элемент, где функция обратного вызова возвращает false. Примечательно, что вызов метода для пустого массива вернет true для любого условия. ^[6]everyevery
• В Python встроенная all()функция возвращает значение Trueтолько тогда, когда все элементы массива равны Trueили массив имеет нулевую длину, как показано в следующих примерах: all([1,1])==True; all([1,1,0])==False; all([])==True[ ^7] Менее двусмысленный способ выразить это — сказать, что all()возвращает True, когда ни один из элементов не равен False .
• В Rust функция Iterator::allпринимает итератор и предикат и возвращает trueтолько тогда, когда предикат возвращает trueвсе элементы, созданные итератором, или если итератор не создает ни одного элемента. ^[8]

Эти примеры, один из математики и один из естественного языка , иллюстрируют концепцию пустых истин:

• «Для любого целого числа x , если x > 5 , то x > 3 ». ^[9] – Это утверждение верно непусто (так как некоторые целые числа действительно больше 5), но некоторые из его следствий истинны лишь пусто: например, когда x — целое число 2, утверждение подразумевает пустую истину, что «если 2 > 5 , то 2 > 3 ».
• «Все мои дети — козлы» — пустая истина, сказанная человеком без детей. Аналогично, «Ни один из моих детей не козёл» также будет пустой истиной, сказанная тем же человеком.

• Определенное описание
• Законы де Моргана – в частности, закон, согласно которому универсальное утверждение истинно только в том случае, если не существует контрпримера:${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv \neg \exists x\,\neg P(x)}$
• Пустая сумма и пустое произведение
• Пустая функция
• Парадоксы материального смысла , особенно принцип взрыва
• Пресуппозиция , двойной вопрос
• Состояние дел (философия)
• Тавтология (логика) – другой тип истинного утверждения, которое также не передает никакой существенной информации.
• Тривиальность (математика) и вырожденность (математика)