Интеграл МакШейна

В разделе математики , известном как теория интегрирования , интеграл МакШейна , созданный Эдвардом Дж. МакШейном , ^[1] является модификацией интеграла Хенстока-Курцвейла . ^[2] Интеграл МакШейна эквивалентен интегралу Лебега . ^[3]

Для заданного замкнутого интервала [ a , b ] действительной прямой свободное помеченное разбиение представляет собой множество${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [а,б]}$

${\displaystyle \{(t_{i},[a_{i-1},a_{i}]):1\leq i\leq n\}}$

где

${\displaystyle а=а_{0}<а_{1}<\dots <а_{n}=b}$

и каждый тег .${\displaystyle t_{i}\in [a,b]}$

Тот факт, что тегам разрешено находиться вне подынтервалов, является причиной того, что раздел называется свободным . Это также единственное различие между определениями интеграла Хенстока-Курцвейла и интеграла МакШейна.

Для функции и свободного помеченного раздела определите${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle S(f,P)=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(a_{i}-a_{i-1}).}$

Положительная функция в данном контексте называется калибровкой .${\displaystyle \delta :[a,b]\to (0,+\infty )}$

Мы говорим, что свободный помеченный раздел -хорош, если для всех${\displaystyle P}$${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle i=1,2,\точки ,n,}$

${\displaystyle [a_{i-1},a_{i}]\subseteq [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})].}$

Интуитивно калибровка контролирует ширину подынтервалов. Как и в случае с интегралом Хенстока-Курцвейла , это обеспечивает гибкость (особенно вблизи проблемных точек), не даваемую интегралом Римана .

Значение представляет собой интеграл МакШейна, если для каждого мы можем найти калибровку такую, что для всех -тонких свободных помеченных разбиений ,${\displaystyle \int _{a}^{b}f}$${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle P}$${\displaystyle [а,б]}$

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}fS(f,P)\right|<\varepsilon .}$

Ясно, что если функция интегрируема по определению МакШейна, то она также интегрируема по Хенстоку-Курцвейлу. Оба интеграла совпадают в отношении своей единственности. ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$

Для иллюстрации вышеприведенного определения проанализируем интегрируемость по МакШейну функций, описанных в следующих примерах, которые уже известны как интегрируемые по Хенстоку-Курцвейлу (см. параграф 3 сайта этой Википедии « Интеграл Хенстока-Курцвейла »).

Пусть таково, что и если${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(a)=f(b)=0}$${\textstyle f(x)=1}$${\textstyle x\in ]a,b[.}$

Как известно, эта функция интегрируема по Риману, а соответствующий интеграл равен Мы покажем, что она также интегрируема по МакШейну и что ее интеграл принимает то же значение.${\displaystyle ба.}$${\displaystyle f}$

Для этой цели, при заданном , выберем калибровку такую, что и если${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \дельта (т)}$${\displaystyle \delta (a)=\delta (b)=\varepsilon /4}$${\displaystyle \delta (t)=ba}$${\textstyle т\в ]а,б[.}$

Любое свободное разбиение по тегам можно разложить на последовательности типа${\displaystyle P=\{(t_{i},[a_{i-1},a_{i}]):i=1,...,n\}}$${\displaystyle [а,б]}$

${\displaystyle (a,[x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}])}$, для ,${\displaystyle j=1,...,\lambda }$

${\displaystyle (b,[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])}$, для , и${\displaystyle k=1,...,\mu }$

${\displaystyle (t_{i_{r}},[x_{i_{r}-1},x_{i_{r}}])}$, где , такой, что${\displaystyle r=1,...,\nu }$${\displaystyle t_{i_{r}}\in ]a,b[}$ ${\displaystyle (\lambda +\mu +\nu =n).}$

Таким образом, мы имеем сумму Римана

${\displaystyle S(f,P)=\sum _{r=1}^{\nu }\displaystyle (x_{i_{r}}-x_{i_{r}-1})}$

и как следствие

${\displaystyle |S(P,f)-(ba)|=\textstyle \sum _{j=1}^{\lambda }\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1 })+\textstyle \sum _{k=1}^{\mu }\displaystyle (x_{i_{k}}-x_{i_{k}-1}).}$

Поэтому, если это свободный помеченный -fine раздел, то мы имеем${\displaystyle P}$${\displaystyle \дельта}$

${\displaystyle [x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset [a-\delta (a),a+\delta (a)]}$, для каждого , и${\displaystyle j=1,...,\lambda }$

${\displaystyle [x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}]\subset [b-\delta (b),b+\delta (b)]}$, для каждого .${\displaystyle k=1,...,\mu }$

Поскольку каждый из этих интервалов не перекрывает внутреннюю часть всех остальных, мы получаем

${\displaystyle |S(P,f)-(ba)|<2\delta (a)+2\delta (b)= {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon } 2}}=\варепсилон .}$

Таким образом, МакШейн интегрируем и${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f=ba.}$

Следующий пример доказывает существование различия между интегралами Римана и МакШейна.

Пусть известная функция Дирихле задана формулой${\displaystyle d:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle d(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x{\text{ is rational,}}\\0,&{\text{if }}x{\text{ is irrational,}}\end{cases}}}$

который, как известно, не интегрируется по Риману. Мы покажем, что он интегрируется в смысле МакШейна и что его интеграл равен нулю.${\displaystyle d}$

Обозначая через множество всех рациональных чисел интервала , для любого сформулируем следующую калибровку${\displaystyle \{r_{1},r_{2},...,r_{n},...\}}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\varepsilon 2^{-n-1},&{\text{if }}x=r_{n}{\text{ and }}n=1,2,...,\\1,&{\text{if }}x{\text{ is irrational.}}\end{cases}}}$

Для любого -fine свободного помеченного разбиения рассмотрим его сумму Римана${\displaystyle \delta }$${\displaystyle P=\{(t_{i},[x_{i-1},x_{i}]):i=1,...,n\}}$

${\displaystyle S(P,f)=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})}$.

Принимая во внимание, что всякий раз, когда является иррациональным, мы можем исключить из последовательности упорядоченных пар, которые составляют , пары , где является иррациональным. Оставшиеся являются подпоследовательностями типа , такими что , Поскольку каждый из этих интервалов не перекрывает внутреннюю часть оставшихся, каждая из этих последовательностей приводит к сумме Римана к подсуммам типа${\displaystyle f(t_{i})=0}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (t_{i},[x_{i-1},x_{i}])}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle (r_{k},[x_{i_{1}-1},x_{i_{1}}]),...,(r_{k},[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])}$${\displaystyle [x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset [r_{k}-\delta (r_{k}),r_{k}+\delta (r_{k})]}$${\displaystyle j=1,...,k.}$

${\textstyle \textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle f(r_{k})(x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})\leq 2\delta (r_{k})={\frac {\varepsilon }{2^{n}}}}$.

Таким образом , это доказывает, что функция Дирихле интегрируема по МакШейну и что${\textstyle 0\leq S(P,f)<\textstyle \sum _{n\geq 1}\displaystyle \varepsilon /2^{n}=\varepsilon }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}d=0.}$

Для действительных функций, определенных на интервале , интегралы Хенстока-Курцвейла и МакШейна удовлетворяют элементарным свойствам, перечисленным ниже, где через мы обозначаем нечетко значение любого из этих интегралов.${\displaystyle [a,b]}$${\textstyle \int _{a}^{b}f}$

1. Если интегрируемо на , то интегрируемо на каждом подынтервале .${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$
2. Если интегрируемо по и , то интегрируемо по и .${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,c]}$${\displaystyle [c,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\textstyle \int _{a}^{c}f+\int _{c}^{b}f=\int _{a}^{b}f}$
3. Если непрерывна на , то интегрируема на .${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$
4. Если монотонна на , то интегрируема на .${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$
5. Пусть — дифференцируемая и строго монотонная функция. Тогда интегрируема на тогда и только тогда, когда интегрируема на . В таком случае .${\displaystyle \phi :[a,b]\rightarrow [\alpha ,\beta ]}$${\displaystyle f:[\alpha ,\beta ]\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$${\textstyle (f\circ \phi )|\phi '|}$${\displaystyle [a,b]}$${\textstyle \int _{a}^{b}(f\circ \phi )|\phi '|=\int _{\alpha }^{\beta }f}$
6. Если интегрируемо на , то интегрируемо на и для любого .${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle kf}$${\displaystyle [a,b]}$${\textstyle \int _{a}^{b}kf=k\int _{a}^{b}f}$${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$
7. Пусть и интегрируемы на . Тогда:${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle [a,b]}$
   • ${\displaystyle f+g}$интегрируема на и .${\displaystyle [a,b]}$${\textstyle \int _{a}^{b}(f+g)=\int _{a}^{b}f+\int _{a}^{b}g}$
   • ${\displaystyle f\leq g}$эм .${\displaystyle \left[a,b\right]}$${\textstyle \Rightarrow \int _{a}^{b}f\leq \int _{a}^{b}g}$

Что касается упомянутых выше интегралов, то доказательства этих свойств идентичны, за исключением небольших вариаций, присущих различиям соответствующих определений (см. Вашек Пфеффер ^[4] [Раздел 6.1]).

Таким образом, наблюдается определенный параллелизм между двумя интегралами. Однако незаметный разрыв возникает при анализе других свойств, таких как абсолютная интегрируемость и интегрируемость производных интегрируемых дифференцируемых функций.

По этому поводу справедливы следующие теоремы (см. ^[4] [Предложение 2.2.3 и Теория 6.1.2]).

Если МакШейн интегрируем на , то МакШейн также интегрируем на и .${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle [a,b]}$${\textstyle |\int _{a}^{b}f|\leq \int _{a}^{b}|f|}$

Если дифференцируемо на , то интегрируемо по Хенстоку-Курцвейлю на и .${\textstyle F:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle [a,b]}$${\textstyle F'}$${\displaystyle [a,b]}$${\textstyle \int _{a}^{b}F'=F(b)-F(a)}$

Для иллюстрации этих теорем проанализируем следующий пример, основанный на примере 2.4.12. ^[4]

Рассмотрим функцию:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}x^{2}\cos(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

${\displaystyle F}$очевидно, дифференцируема при любом и дифференцируема также при , так как .${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle x=0}$${\textstyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {F(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to 0}\left(x\cos {\frac {\pi }{x^{2}}}\right)=0}$

Более того

${\textstyle F'(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2})+{\frac {2\pi }{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

Как функция

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0,\end{cases}}}$

непрерывна и, по теореме 2, функция интегрируема по Хенстоку-Курцвейлю на тогда, по свойствам 6 и 7, то же самое справедливо и для функции${\displaystyle F'(x)}$${\displaystyle [0,1],}$

${\textstyle g_{0}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

Но функция

${\textstyle g(x)=|g_{0}(x)|={\begin{cases}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|,&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0,\end{cases}}}$

не интегрируется ни по одному из упомянутых интегралов.${\displaystyle [0,1]}$

В самом деле, в противном случае, обозначая через любой из таких интегралов, мы должны были бы иметь обязательно для любого натурального числа . Тогда, заменив переменную , мы должны были бы получить с учетом свойства 5:${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx}$${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx\geq \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx,}$${\displaystyle n}$${\textstyle x=1/{\sqrt {t}}}$

${\displaystyle \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx={\frac {1}{2}}\int _{1}^{n}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}\int _{k-1}^{k}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt\geq }$

${\displaystyle \geq {\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}\int _{k-1}^{k}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}}$.

Так как — произвольное положительное целое число и , то получаем противоречие.${\displaystyle n}$${\textstyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=2}^{N}{\frac {1}{k}}=+\infty }$

Из этого примера мы можем сделать следующие выводы:

• I) Теорема 1 больше не верна для интеграла Хенстока-Курцвейля, поскольку интегрируема по Хенстоку-Курцвейлю, а не интегрируема.${\displaystyle g_{0}}$${\displaystyle g}$

• II) Теорема 2 не верна для интеграла МакШейна. В противном случае должно быть интегрируемым по МакШейну, а также и по теореме 1, как , что абсурдно.${\displaystyle F'}$${\displaystyle g_{0}}$${\displaystyle g}$

• III) является, таким образом, примером функции, интегрируемой по Хенстоку-Курцвейлу, которая не является интегрируемой по МакШейну. То есть класс функций, интегрируемых по МакШейну, является строгим подклассом функций, интегрируемых по Хенстоку-Курцвейлу.${\displaystyle F'}$

Более неожиданный результат интеграла МакШейна сформулирован в следующей теореме, уже объявленной во введении.

Пусть . Тогда${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f}$интегрируема ли по МакШейну, интегрируема ли по Лебегу.${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle f}$

Соответствующие интегралы совпадают.

Этот факт позволяет сделать вывод, что с помощью интеграла МакШейна формулируется своего рода объединение теории интегрирования вокруг сумм Римана, которые, в конце концов, и составляют исток этой теории.

До сих пор не известно непосредственное доказательство такой теоремы.

В Washek Pfeffer ^[4] [Гл. 4] утверждается через развитие теории интеграла МакШейна, включая теорию меры, в связи с уже известными свойствами интеграла Лебега. В Charles Swartz ^[5] та же эквивалентность доказана в Приложении 4.

В дополнение к книге Рассела Гордона ^[3] [Гл. 10] по этой теме мы также обращаем внимание читателя на работы Роберта Маклеода ^[6] [Гл. 8] и Дугласа Курца совместно с Чарльзом В. Шварцем. ^[2]

Другая перспектива интеграла МакШейна заключается в том, что его можно рассматривать как новую формулировку интеграла Лебега без использования теории меры, как альтернативу курсам Фридьеша Рисса и Белы Ш. Надя ^[7] [Гл. II] или Сержа Ланга ^[8] [Гл. X, §4 Приложение] (см. также ^[9] ).

• Интеграл Хенстока-Курцвейла