Теорема Лиувилля–Арнольда

В теории динамических систем теорема Лиувилля–Арнольда утверждает, что если в гамильтоновой динамической системе с n степенями свободы также имеется n независимых, коммутирующих по Пуассону первых интегралов движения , а множества уровня всех первых интегралов компактны, то существует каноническое преобразование в координаты действие-угол , в котором преобразованный гамильтониан зависит только от координат действия, а координаты угла линейно развиваются во времени. Таким образом, уравнения движения для системы могут быть решены в квадратурах , если можно разделить условия одновременного множества уровней. Теорема названа в честь Джозефа Лиувилля и Владимира Арнольда . [1] [2] [3] [4] [5] : 270–272 

История

Теорема была доказана в первоначальном виде Лиувиллем в 1853 году для функций на с канонической симплектической структурой . Она была обобщена на случай симплектических многообразий Арнольдом, который дал доказательство в своем учебнике «Математические методы классической механики», опубликованном в 1974 году. Р 2 н {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}

Заявление

Предварительные определения

Пусть — -мерное симплектическое многообразие с симплектической структурой . ( М 2 н , ω ) {\displaystyle (M^{2n},\omega)} 2 н {\displaystyle 2n} ω {\displaystyle \омега}

Интегрируемая система на — это набор функций на , помеченных , удовлетворяющих М 2 н {\displaystyle М^{2n}} н {\displaystyle n} М 2 н {\displaystyle М^{2n}} Ф = ( Ф 1 , ⋯ , Ф н ) {\displaystyle F=(F_{1},\cdots ,F_{n})}

  • (Общая) линейная независимость: на плотном множестве г Ф 1 ∧ ⋯ ∧ г Ф н ≠ 0 {\displaystyle dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0}
  • Взаимная коммутативность Пуассона: скобка Пуассона обращается в нуль для любой пары значений . ( Ф я , Ф дж ) {\displaystyle (F_{i},F_{j})} я , дж {\displaystyle я,j}

Скобка Пуассона — это скобка Ли векторных полей гамильтонова векторного поля , соответствующего каждому . В полном объёме, если — гамильтоново векторное поле, соответствующее гладкой функции , то для двух гладких функций скобка Пуассона равна . Ф я {\displaystyle F_{i}} Х ЧАС {\displaystyle X_{H}} ЧАС : М 2 н → Р {\displaystyle H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} } Ф , Г {\displaystyle F,G} ( Ф , Г ) = [ Х Ф , Х Г ] {\displaystyle (F,G)=[X_{F},X_{G}]}

Точка является регулярной точкой, если . п {\displaystyle p} г ф 1 ∧ ⋯ ∧ г ф н ( п ) ≠ 0 {\displaystyle df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}(p)\neq 0}

Интегрируемая система определяет функцию . Обозначим через множество уровня функций , или, альтернативно, . Ф : М 2 н → Р н {\displaystyle F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} Л с {\displaystyle L_{\mathbf {c} }} Ф я {\displaystyle F_{i}} Л с = { х : Ф я ( х ) = с я } , {\displaystyle L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},} Л с = Ф − 1 ( с ) {\displaystyle L_ {\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c})}

Теперь, если задана дополнительная структура выделенной функции , то гамильтонова система интегрируема, если ее можно дополнить до интегрируемой системы, то есть существует интегрируемая система . М 2 н {\displaystyle М^{2n}} ЧАС {\displaystyle H} ( М 2 н , ω , ЧАС ) {\displaystyle (M^{2n},\omega ,H)} ЧАС {\displaystyle H} Ф = ( Ф 1 = ЧАС , Ф 2 , ⋯ , Ф н ) {\displaystyle F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})}

Теорема

Если — интегрируемая гамильтонова система, а — регулярная точка, то теорема характеризует множество уровня образа регулярной точки : ( М 2 н , ω , Ф ) {\displaystyle (M^{2n},\omega ,F)} п {\displaystyle p} Л с {\displaystyle L_{c}} с = Ф ( п ) {\displaystyle c=F(p)}

  • Л с {\displaystyle L_{c}} представляет собой гладкое многообразие, инвариантное относительно гамильтонова потока, индуцированного (и, следовательно, относительно гамильтонова потока, индуцированного любым элементом интегрируемой системы). ЧАС = Ф 1 {\displaystyle H=F_{1}}
  • Если, кроме того, компактно и связно, то оно диффеоморфно N -тору . Л с {\displaystyle L_{c}} Т н {\displaystyle Т^{н}}
  • Существуют (локальные) координаты на такие, что являются постоянными на уровне, заданном при . Эти координаты называются координатами действие-угол . Л с {\displaystyle L_{c}} ( θ 1 , ⋯ , θ н , ω 1 , ⋯ , ω н ) {\displaystyle (\theta _{1},\cdots,\theta _{n},\omega _{1},\cdots,\omega _{n})} ω я {\displaystyle \omega _{i}} θ ˙ я := ( ЧАС , θ я ) = ω я {\displaystyle {\dot {\theta }}_{i}:=(H,\theta _{i})=\omega _{i}}

Примеры систем, интегрируемых по Лиувиллю

Гамильтонова система, которая интегрируема, называется «интегрируемой в смысле Лиувилля» или «интегрируемой по Лиувиллю». Известные примеры приведены в этом разделе.

Некоторые обозначения являются стандартными в литературе. Когда рассматриваемое симплектическое многообразие — это , его координаты часто записываются , а каноническая симплектическая форма — это . Если не указано иное, они предполагаются для этого раздела. Р 2 н {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} ( д 1 , ⋯ , д н , п 1 , ⋯ , п н ) {\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})} ω = ∑ i d q i ∧ d p i {\displaystyle \omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}}

  • Гармонический осциллятор :с. Определяя, интегрируемая система имеет вид. ( R 2 n , ω , H ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)} H ( q , p ) = ∑ i ( p i 2 2 m + 1 2 m ω i 2 q i 2 ) {\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)} H i = p i 2 2 m + 1 2 m ω i 2 q i 2 {\displaystyle H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}} ( H , H 1 , ⋯ , H n − 1 ) {\displaystyle (H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})}
  • Центральная система сил :снекоторойпотенциальной функцией. Определяя момент импульса, интегрируемая система имеет вид. ( R 6 , ω , H ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)} H ( q , p ) = p 2 2 m − U ( q 2 ) {\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})} U {\displaystyle U} L = p × q {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} } ( H , L 2 , L 3 ) {\displaystyle (H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Дж. Лиувилль, «Примечание к интеграции дифференциальных уравнений динамической динамики, представленное Бюро долгот 29 июня 1853 г.», JMPA , 1855, стр. 137-138, pdf
  2. ^ Фабио Бенатти (2009). Динамика, информация и сложность в квантовых системах. Springer Science & Business Media . стр. 16. ISBN 978-1-4020-9306-7.
  3. ^ P. Tempesta; P. Winternitz; J. Harnad; W. Miller Jr; G. Pogosyan; M. Rodriguez, ред. (2004). Суперинтегрируемость в классических и квантовых системах. Американское математическое общество . стр. 48. ISBN 978-0-8218-7032-7.
  4. ^ Кристофер К. Р. Т. Джонс; Александр И. Хибник, ред. (2012). Динамические системы с множественными временными масштабами. Springer Science & Business Media . стр. 1. ISBN 978-1-4613-0117-2.
  5. ^ Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики . Springer. ISBN 9780387968902.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Liouville–Arnold_theorem&oldid=1243765264"