Полный однородный симметричный многочлен

Эта статья включает список ссылок , связанных чтений или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Январь 2017 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике , в частности в алгебраической комбинаторике и коммутативной алгебре , полные однородные симметрические многочлены являются особым видом симметрических многочленов . Каждый симметрический многочлен может быть выражен как полиномиальное выражение в полных однородных симметрических многочленах.

Полный однородный симметрический многочлен степени k от n переменных X ₁ , ..., X _n , обозначаемый как h _k для k = 0, 1, 2, ... , представляет собой сумму всех одночленов общей степени k от переменных. Формально,

${\displaystyle h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum _{1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}}.}$

Формулу можно также записать так:

${\displaystyle h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum _{l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}=k \atop l_{i}\geq 0}X_{1}^{l_{1}}X_{2}^{l_{2}}\cdots X_{n}^{l_{n}}.}$

Действительно, l _p — это просто кратность p в последовательности i _k .

Первые несколько из этих многочленов:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{0}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=1,\\[10px]h_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\h_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq k\leq n}X_{j}X_{k},\\h_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq k\leq l\leq н}X_{j}X_{k}X_{l}.\end{align}}}$

Таким образом, для каждого неотрицательного целого числа k существует ровно один полный однородный симметрический многочлен степени k от n переменных.

Другой способ переписать определение — суммировать все последовательности i _k , без условия упорядочения i _p ≤ i _{p + 1} :

${\displaystyle h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum _{1\leq i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\leq n}{\frac {m_{1}!m_{2}!\cdots m_{n}!}{k!}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

здесь m _p — кратность числа p в последовательности i _k .

Например

${\displaystyle h_{2}(X_{1},X_{2})={\frac {2!0!}{2!}}X_{1}^{2}+{\frac {1!1!}{2!}}X_{1}X_{2}+{\frac {1!1!}{2!}}X_{2}X_{1}+{\frac {0!2!}{2!}}X_{2}^{2}=X_{1}^{2}+X_{1}X_{2}+X_{2}^{2}.}$

Кольцо многочленов, образованное взятием всех целочисленных линейных комбинаций произведений полных однородных симметрических многочленов, является коммутативным кольцом .

Ниже приведен список n основных (как объяснено ниже) полных однородных симметричных многочленов для первых трех положительных значений n .

Для n = 1 :

${\displaystyle h_{1}(X_{1})=X_{1}\,.}$

Для n = 2 :

${\displaystyle {\begin{align}h_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2}\\h_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}^{2}+X_{1}X_{2}+X_{2}^{2}.\end{align}}}$

Для n = 3 :

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}\\h_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3}\\h_{3}(X_{1},X _{2},X_{3})&=X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}+X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{2}^{2}X_{1}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{3}^{2}X_{1}+X_{3}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}X_{3}.\end{align}}}$

Полные однородные симметричные многочлены характеризуются следующим тождеством формальных степенных рядов по t :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}\sum _{j=0}^{\infty }(X_{i}t)^{j}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-X_{i}t}}}$

(это называется производящей функцией или производящим рядом для полных однородных симметричных многочленов). Здесь каждая дробь в конечном выражении является обычным способом представления формальной геометрической прогрессии, которая является множителем в среднем выражении. Тождество можно обосновать, рассмотрев, как формируется произведение этих геометрических рядов: каждый множитель в произведении получается путем умножения одного члена, выбранного из каждого геометрического ряда, и каждый одночлен в переменных X _i получается ровно для одного такого выбора членов и умножается на степень t , равную степени одночлена.

Формулу выше можно рассматривать как частный случай теоремы Мак-Магона . Правую часть можно интерпретировать как где и . С левой стороны можно определить полные однородные симметричные многочлены как частные случаи коэффициента полинома, который появляется в выражении Мак-Магона.${\displaystyle 1/\!\det(1-tM)}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle M={\text{diag}}(X_{1},\ldots ,X_{N})}$

Выполнив некоторые стандартные вычисления, мы также можем записать производящую функцию как , которая является разложением в степенной ряд плетистической экспоненты ( и обратите внимание, что это в точности сумма j- й степени симметричного многочлена ).$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})\,t^{k}=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }(X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}){\frac {t^{j}}{j}}\right)}$$${\displaystyle (X_{1}+\cdots +X_{n})t}$${\displaystyle p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}}$

Существует фундаментальная связь между элементарными симметрическими многочленами и полными однородными:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{m-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0,}$

что справедливо для всех m > 0 и любого числа переменных n . Самый простой способ увидеть, что это справедливо, — из тождества формальных степенных рядов по t для элементарных симметричных многочленов, аналогичного приведенному выше для полных однородных, которое также можно записать в терминах плетистических экспонент как:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})(-t)^{k}=\prod _{i=1}^{n}(1-X_{i}t)=PE[-(X_{1}+\cdots +X_{n})t]}$

(на самом деле это тождество многочленов по t , потому что после e _n ( X ₁ , ..., X _n ) элементарные симметрические многочлены становятся нулевыми). Умножая это на производящую функцию для полных однородных симметрических многочленов, получаем постоянный ряд 1 (эквивалентно, плетистические экспоненты удовлетворяют обычным свойствам экспоненты), а связь между элементарными и полными однородными многочленами следует из сравнения коэффициентов t ^m . Несколько более прямой способ понять эту связь — рассмотреть вклады в суммирование, включающие фиксированный одночлен X ^α степени m . Для любого подмножества S переменных, появляющихся с ненулевым показателем в одночлене, существует вклад, включающий произведение X _S этих переменных как член из e _s ( X ₁ , ..., X _n ) , где s = # S , и одночлен ⁠X ^α/X _С⁠ из h _{m − s} ( X ₁ , ..., X _n ) ; этот вклад имеет коэффициент (−1) ^s . Соотношение тогда следует из того факта, что

${\displaystyle \sum _{s=0}^{l}{\binom {l}{s}}(-1)^{s}=(1-1)^{l}=0\quad {\mbox{for }}l>0,}$

по формуле бинома , где l < m обозначает число различных переменных, встречающихся (с ненулевым показателем) в X ^α . Поскольку e ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) и h ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) оба равны 1, можно выделить из соотношения либо первый, либо последний член суммы. Первый дает последовательность уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})+e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}}$

и так далее, что позволяет рекурсивно выразить последовательные полные однородные симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены; последние дают набор уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}}$

и так далее, что позволяет делать обратное. Первые n элементарных и полных однородных симметрических многочленов играют совершенно одинаковые роли в этих отношениях, хотя первые многочлены затем становятся нулевыми, а вторые — нет. Это явление можно понять в условиях кольца симметрических функций . Оно имеет кольцевой автоморфизм , который меняет местами последовательности n элементарных и первых n полных однородных симметрических функций .

Набор полных однородных симметрических многочленов степени от 1 до n от n переменных порождает кольцо симметрических многочленов от n переменных. Более конкретно , кольцо симметрических многочленов с целыми коэффициентами равно кольцу целочисленных многочленов

${\displaystyle \mathbb {Z} {\big [}h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big ]}.}$

Это можно сформулировать так:

${\displaystyle h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$

образуют базис трансцендентности кольца симметрических многочленов от X ₁ , ..., X _n с целыми коэффициентами (как это верно и для элементарных симметрических многочленов). То же самое верно и для кольца целых чисел, замененного любым другим коммутативным кольцом . Эти утверждения вытекают из аналогичных утверждений для элементарных симметрических многочленов, ввиду указанной возможности выражения любого вида симметрических многочленов через другой вид.${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Оценка в целых числах полных однородных многочленов и элементарных симметричных многочленов связана с числами Стирлинга :

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}(1,2,\ldots ,k)&=\left\{{\begin{matrix}n+k\\k\end{matrix}}\right\}\\e_{n}(1,2,\ldots ,k)&=\left[{k+1 \atop k+1-n}\right]\\\end{aligned}}}$

Многочлен h _k ( X ₁ , ..., X _n ) также является суммой всех различных мономиальных симметрических многочленов степени k от X ₁ , ..., X _n , например

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=\left(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}\right)+\left(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\right)+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}}$

Тождества Ньютона для однородных симметричных многочленов дают простую рекурсивную формулу

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{k-i}p_{i},}$

где и p _k - симметричный многочлен суммы степени k : , как и выше.${\displaystyle h_{k}=h_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})}$${\displaystyle p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=X_{1}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}}$

Для малого имеем${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&=h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}}$

Рассмотрим n - мерное векторное пространство V и линейный оператор M  : V → V с собственными значениями X ₁ , X ₂ , ..., X _n . Обозначим через Sym ^k ( V ) его k-ю симметричную тензорную степень и M ^{Sym( k )} индуцированный оператор Sym ^k ( V ) → Sym ^k ( V ) .

Предложение:

${\displaystyle \operatorname {Trace} _{\operatorname {Sym} ^{k}(V)}\left(M^{\operatorname {Sym} (k)}\right)=h_{k}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}).}$

Доказательство простое: рассмотрим собственный базис e _i для M. Базис в Sym ^k ( V ) можно индексировать последовательностями i 1 _≤ i 2 _≤ ... ≤ i _k , действительно, рассмотрим симметризации

${\displaystyle e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}}$.

Все такие векторы являются собственными векторами для M ^{Sym( k )} с собственными значениями

${\displaystyle X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

следовательно, это предложение верно.

Аналогично можно выразить элементарные симметричные многочлены через следы над антисимметричными тензорными степенями. Оба выражения включаются в выражения многочленов Шура как следы над функторами Шура , что можно рассматривать как формулу характера Вейля для GL( V ) .

Если заменить переменные на , симметричный многочлен можно записать в виде линейной комбинации , для ,${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle 1+X_{i}}$ ${\displaystyle h_{k}(1+X_{1},\ldots ,1+X_{n})}$${\displaystyle h_{j}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$${\displaystyle 0\leq j\leq k}$

${\displaystyle h_{k}(1+X_{1},\ldots ,1+X_{n})=\sum _{j=0}^{k}{\binom {n+k-1}{k-j}}h_{j}(X_{1},\ldots ,X_{n}).}$

Доказательство , найденное в лемме 3.5 из ^[1], опирается на комбинаторные свойства возрастающих -кортежей , где .${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (i_{1},\ldots ,i_{k})}$${\displaystyle 1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}$

• Симметричный многочлен
• Элементарный симметричный многочлен
• полином Шура
• Тождества Ньютона
• Теорема мастера Мак-Магона
• Кольцо симметричных функций
• Теория представления

• Корнелиус, Э. Ф., младший (2011), Тождества для полных однородных симметричных многочленов , JP J. Алгебра, теория чисел и приложения, т. 21, № 1, 109-116.
• Macdonald, IG (1979), Симметричные функции и многочлены Холла . Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press.
• Macdonald, IG (1995), Симметричные функции и многочлены Холла , второе издание. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (мягкая обложка, 1998). 
• Ричард П. Стэнли (1999), Перечислительная комбинаторика , том 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-56069-1