Симметричный многочлен степенной суммы

В математике , в частности в коммутативной алгебре , симметричные многочлены степенной суммы являются одним из типов базовых строительных блоков для симметричных многочленов , в том смысле, что любой симметричный многочлен с рациональными коэффициентами может быть выражен как сумма и разность произведений симметричных многочленов степенной суммы с рациональными коэффициентами. Однако не каждый симметричный многочлен с целыми коэффициентами порождается целочисленными комбинациями произведений многочленов степенной суммы: они являются порождающим набором над рациональными числами, но не над целыми числами.

Симметричный многочлен степени k от переменных x ₁ , ..., x _n , обозначаемый как p _k для k = 0, 1, 2, ..., представляет собой сумму всех k- х степеней переменных. Формально,${\displaystyle n}$

${\displaystyle p_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\,.}$

Первые несколько из этих многочленов:

${\displaystyle p_{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=1+1+\cdots +1=n\,,}$

${\displaystyle p_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\,,}$

${\displaystyle p_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,,}$

${\displaystyle p_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\,.}$

Таким образом, для каждого неотрицательного целого числа существует ровно один симметричный многочлен степенной суммы степени от переменных. ${\displaystyle к}$${\displaystyle к}$${\displaystyle n}$

Кольцо многочленов, образованное взятием всех целочисленных линейных комбинаций произведений симметрических многочленов степенной суммы, является коммутативным кольцом .

Ниже приведен список симметричных многочленов степенной суммы положительных степеней до n для первых трех положительных значений В каждом случае — один из многочленов. Список продолжается до степени n, поскольку симметричные многочлены степенной суммы степеней от 1 до n являются базисными в смысле теоремы, изложенной ниже.${\displaystyle n}$${\displaystyle сущ.}$${\displaystyle p_{0}=n}$

Для n = 1:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}\,.}$

Для n = 2:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}\,,}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\,.}$

Для n = 3:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,,}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\,,}$

${\displaystyle p_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\,,}$

Набор симметричных многочленов степенной суммы степеней 1, 2, ..., n от n переменных порождает кольцо симметричных многочленов от n переменных . Более конкретно:

Теорема . Кольцо симметрических многочленов с рациональными коэффициентами равно кольцу рациональных многочленов. То же самое верно, если коэффициенты берутся в любом поле характеристики 0.${\displaystyle \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

Однако это неверно, если коэффициенты должны быть целыми числами. Например, для n = 2 симметричный многочлен

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}}$

имеет выражение

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})={\frac {p_{1}^{3}-p_{1}p_{2}}{2}}+{\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,,}$

которая включает дроби. Согласно теореме это единственный способ представления в терминах p ₁ и p ₂ . Следовательно, P не принадлежит кольцу целочисленных многочленов . Для другого примера, элементарные симметричные многочлены e _k , выраженные как многочлены в сумме степенных многочленов, не все имеют целые коэффициенты. Например, ${\displaystyle P(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle \mathbb {Z} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

${\displaystyle e_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}={\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,.}$

Теорема также неверна, если поле имеет характеристику, отличную от 0. Например, если поле F имеет характеристику 2, то , поэтому p ₁ и p ₂ не могут порождать e ₂ = x ₁ x ₂ .${\displaystyle p_{2}=p_{1}^{2}}$

Набросок частичного доказательства теоремы : Согласно тождествам Ньютона степенные суммы являются функциями элементарных симметрических многочленов; это следует из следующего рекуррентного соотношения , хотя явная функция, которая дает степенные суммы в терминах e _{j ,} сложна:

${\ displaystyle p_ {n} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (-1) ^ {j-1} e_ {j} p_ {nj} \,.}$

Переписывая то же самое повторение, получаем элементарные симметричные многочлены в терминах степенных сумм (также неявно, поскольку явная формула усложняется):

${\displaystyle e_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{nj}p_{j}\, .}$

Это означает, что элементарные многочлены являются рациональными, хотя и не целыми, линейными комбинациями многочленов степенной суммы степеней 1, ..., n . Поскольку элементарные симметрические многочлены являются алгебраическим базисом для всех симметрических многочленов с коэффициентами в поле, то каждый симметрический многочлен от n переменных является полиномиальной функцией симметрических многочленов степенной суммы p ₁ , ..., p _n . То есть кольцо симметрических многочленов содержится в кольце, порожденном степенными суммами. Поскольку каждый многочлен степенной суммы симметричен, эти два кольца равны.${\displaystyle f(p_{1},\ldots ,p_{n})}$${\displaystyle \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

(Это не показывает, как доказать уникальность многочлена f .)

Для другой системы симметричных многочленов с похожими свойствами см. полные однородные симметричные многочлены .

• Теория представления
• Тождества Ньютона

• Ян Г. Макдональд (1979), Симметричные функции и многочлены Холла . Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press.
• Ян Г. Макдональд (1995), Симметричные функции и многочлены Холла , второе издание. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  0-19-850450-0 (мягкая обложка, 1998).
• Ричард П. Стэнли (1999), Перечислительная комбинаторика , том 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-56069-1