Свободная независимость

В математической теории свободной вероятности понятие свободной независимости было введено Даном Войкулеску . ^[1] Определение свободной независимости параллельно классическому определению независимости , за исключением того, что роль декартовых произведений пространств мер (соответствующих тензорным произведениям их алгебр функций) играет понятие свободного произведения (некоммутативных) вероятностных пространств.

В контексте теории свободной вероятности Войкулеску многие теоремы или явления классической вероятности имеют аналоги свободной вероятности: та же теорема или явление имеет место (возможно, с небольшими изменениями), если классическое понятие независимости заменить свободной независимостью. Примерами этого являются: свободная центральная предельная теорема; понятия свободной свертки ; существование свободного стохастического исчисления и т. д.

Пусть будет некоммутативным вероятностным пространством, т.е. единичной алгеброй над , снабженной единичным линейным функционалом . В качестве примера можно взять, для вероятностной меры ,${\displaystyle (А,\фи)}$ ${\displaystyle А}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \мю}$

${\displaystyle A=L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mu ),\phi (f)=\int f(t)\,d\mu (t).}$

Другим примером может быть , алгебра матриц с функционалом, заданным нормализованным следом . Еще более общим примером может быть алгебра фон Неймана и состояние на . Последний пример — групповая алгебра (дискретной) группы с функционалом, заданным групповым следом .${\displaystyle A=M_{N}}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle \phi = {\frac {1}{N}}Tr}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \фи}$${\displaystyle А}$ ${\displaystyle A=\mathbb {C} \Гамма }$ ${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \фи}$${\displaystyle \phi (g)=\delta _{g=e},g\in \Gamma}$

Пусть — семейство унитальных подалгебр .${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle А}$

Определение . Семья называется свободно независимой, если всякий раз , когда , и .${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle \phi (x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=0}$${\displaystyle \phi (x_{j})=0}$${\displaystyle x_{j}\in A_{i(j)}}$${\ Displaystyle я (1) \ neq я (2), я (2) \ neq я (3), \ точки}$

Если , является семейством элементов (их можно рассматривать как случайные величины в ), они называются${\displaystyle X_{i}\in A}$${\displaystyle я\в я}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$

свободно независимы, если алгебры, порожденные и , свободно независимы.${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle X_{i}}$

• Пусть — свободное произведение групп , пусть — групповая алгебра, — след группы, и множество . Тогда являются свободно независимыми.${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \Гамма _{i},i\in I}$${\displaystyle A=\mathbb {C} \Гамма }$${\displaystyle \phi (g)=\delta _{g=e}}$${\displaystyle A_{i}=\mathbb {C} \Gamma _{i}\subset A}$${\displaystyle A_{i}:i\in I}$
• Пусть будут унитарными случайными матрицами , взятыми независимо случайным образом из унитарной группы (относительно меры Хаара ). Тогда становятся асимптотически свободно независимыми при . (Асимптотическая свобода означает, что определение свободы выполняется в пределе при ).${\displaystyle U_{i}(N),i=1,2}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle U_{1}(N),U_{2}(N)}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle N\to \infty }$
• В более общем смысле независимые случайные матрицы имеют тенденцию быть асимптотически свободно независимыми при определенных условиях.

• Джеймс А. Минго, Роланд Шпайхер: Свободная вероятность и случайные матрицы. Монографии Института Филдса, том 35, Springer, Нью-Йорк, 2017.