сорт Фано

В алгебраической геометрии многообразие Фано , введенное Джино Фано ( Fano  1934, 1942), является алгебраическим многообразием , которое обобщает некоторые аспекты полных пересечений алгебраических гиперповерхностей , сумма степеней которых не превышает полной размерности окружающего проективного пространства . Такие полные пересечения имеют важные приложения в геометрии и теории чисел , поскольку они обычно допускают рациональные точки , элементарным случаем которых является теорема Шевалле–Уорнинга . Многообразия Фано обеспечивают абстрактное обобщение этих основных примеров, для которых вопросы рациональности часто все еще поддаются решению.

Формально многообразие Фано — это полное многообразие X, антиканоническое расслоение K _X ^* которого обильно . В этом определении можно было бы предположить, что X является гладким над полем, но программа минимальных моделей также привела к изучению многообразий Фано с различными типами особенностей, такими как терминальные или klt особенности. Недавно методы дифференциальной геометрии были применены к изучению многообразий Фано над комплексными числами , и был достигнут успех в построении пространств модулей многообразий Фано и доказательстве существования метрик Кэлера–Эйнштейна на них посредством изучения K-устойчивости многообразий Фано .

• Фундаментальным примером многообразий Фано являются проективные пространства : антиканоническое линейное расслоение P n ^над полем k равно O ( n +1), что очень обильно (над комплексными числами его кривизна в n + 1 раз больше симплектической формы Фубини–Штуди ).
• Пусть D — гладкое подмногообразие коразмерности 1 в P ⁿ . Формула присоединения подразумевает, что K _D = ( K _X + D )| _D = (−( n +1) H + deg( D )H)| _D , где H — класс гиперплоскости. Таким образом, гиперповерхность D является подмногообразием Фано тогда и только тогда, когда deg( D ) < n +1.
• В более общем случае гладкое полное пересечение гиперповерхностей в n -мерном проективном пространстве является пересечением Фано тогда и только тогда, когда сумма их степеней не превышает n .
• Взвешенное проективное пространство P ( a ₀ ,..., a _n ) является сингулярным ( klt ) многообразием Фано. Это проективная схема, связанная с градуированным кольцом полиномов, генераторы которого имеют степени a ₀ ,..., a _n . Если это хорошо сформировано, в том смысле, что никакие n из чисел a не имеют общего множителя больше 1, то любое полное пересечение гиперповерхностей, такое, что сумма их степеней меньше a ₀ +...+ a _{n ,} является многообразием Фано.
• Каждое проективное многообразие в характеристике нуль, однородное относительно линейной алгебраической группы, является многообразием Фано.

Существование некоторого обильного линейного расслоения на X эквивалентно тому, что X является проективным многообразием , поэтому многообразие Фано всегда проективно. Для многообразия Фано X над комплексными числами теорема Кодаиры об исчезновении подразумевает, что группы когомологий пучка структуры исчезают для . В частности, род Тодда автоматически равен 1. Случаи этого исчезающего утверждения также говорят нам, что первый класс Черна индуцирует изоморфизм .${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle j>0}$ ${\displaystyle \chi (X, {\mathcal {O}}) = \sum (-1)^{j}h^{j}(X, {\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle j=1,2}$${\displaystyle c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$

Согласно решению Яу гипотезы Калаби , гладкое комплексное многообразие допускает кэлеровы метрики положительной кривизны Риччи тогда и только тогда, когда оно является многообразием Фано. Следовательно, теорема Майерса гласит, что универсальное покрытие многообразия Фано компактно и, следовательно, может быть только конечным покрытием. Однако мы только что увидели, что род Тодда многообразия Фано должен быть равен 1. Поскольку это также применимо к универсальному покрытию многообразия, и поскольку род Тодда мультипликативен относительно конечных покрытий, отсюда следует, что любое многообразие Фано односвязно .

Гораздо более простой факт заключается в том, что каждое многообразие Фано имеет размерность Кодаиры −∞.

Кампана и Коллар – Мияока – Мори показали, что гладкое многообразие Фано над алгебраически замкнутым полем рационально цепочно связано ; то есть любые две замкнутые точки могут быть соединены цепочкой рациональных кривых . ^[1] Коллар–Мияока–Мори также показали, что гладкие многообразия Фано заданной размерности над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики образуют ограниченное семейство, что означает, что они классифицируются точками конечного числа алгебраических многообразий. ^[2] В частности, существует только конечное число классов деформации многообразий Фано каждой размерности. В этом смысле многообразия Фано гораздо более специальные, чем другие классы многообразий, такие как многообразия общего типа .

Дальнейшее обсуждение касается гладких многообразий Фано над комплексными числами.

Кривая Фано изоморфна проективной прямой .

Поверхность Фано также называется поверхностью дель Пеццо . Каждая поверхность дель Пеццо изоморфна либо P ¹ × P ¹ , либо проективной плоскости, раздутой не более чем в восьми точках, которые должны находиться в общем положении. В результате все они рациональны .

В размерности 3 существуют гладкие комплексные многообразия Фано, которые не являются рациональными, например, кубические 3-мерные многообразия в P ⁴ (по Клеменсу - Гриффитсу ) и квартические 3-мерные многообразия в P ⁴ (по Исковских - Манину ). Исковских (1977, 1978, 1979) классифицировали гладкие 3-мерные многообразия Фано со вторым числом Бетти 1 на 17 классов, а Мори и Мукаи (1981) классифицировали гладкие многообразия со вторым числом Бетти не менее 2, найдя 88 классов деформации. Подробное изложение классификации гладких 3-мерных многообразий Фано дано в работе Исковских и Прохорова (1999).

• Периодическая таблица форм — проект по классификации всех разновидностей Фано в трех, четырех и пяти измерениях.

• Фанография — инструмент для визуального изучения классификации трехмерных многообразий Фано.

• Фано, Джино (1934), «Sulle varietà algebriche a tre Dimensioni aventi tutti igeneri nulli», Proc. Интерн. Конгресс математиков (Болонья), 4, Заничелли , стр.  115–119 .
• Фано, Джино (1942), «Su alcune varietà algebriche a tre Dimensioni razionali, e aventi Curve-Sezioni Canoniche», Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 202–211 , doi : 10.1007/BF02565618, ISSN  0010-2571, MR  0006445, S2CID  123641847
• Исковских, ВА (1977), "Трехмерные многообразия Фано. I", Матем. Известия СССР , 11 (3): 485– 527, doi :10.1070/IM1977v011n03ABEH001733, ISSN  0373-2436, MR  0463151
• Исковских, ВА (1978), "Трехмерные многообразия Фано II", Матем. изв. СССР , 12 (3): 469– 506, Bibcode :1978IzMat..12..469I, doi :10.1070/im1978v012n03abeh001994, MR  0463151
• Исковских, В.А. (1979), «Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий», Современные проблемы математики, т. 12 , ВИНИТИ, Москва, с.  59–157 , МР  0537685
  • Исковских, ВА (1980). «Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий». Журнал советской математики . 13 (6): 745– 814. doi : 10.1007/BF01084563 . S2CID  119602399.
• Исковских, ВА; Прохоров, Ю. Г. (1999), "Многообразия Фано", в А. Н. Паршин; И. Р. Шафаревич (ред.), Алгебраическая геометрия, V. Encyclopedia Math. Sci., 47 , Springer-Verlag , стр.  1– 247, ISBN 3-540-61468-0, г-н  1668579
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые алгебраических многообразий , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, МР  1440180
• Куликов, Вик.С. (2001) [1994], "Fano_variety", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Мори, Шигефуми ; Мукаи, Шигеру (1981), «Классификация трехмерных многообразий Фано с B2 _≥2 », Manuscripta Mathematica , 36 (2): 147– 162, doi :10.1007/BF01170131, ISSN  0025-2611, MR  0641971, S2CID  189831516
• Мори, Сигэфуми; Мукаи, Сигэру (2003), «Ошибка: «Классификация трехмерных многообразий Фано с B ₂ ≥2»", Manuscripta Mathematica , 110 (3): 407, doi : 10.1007/s00229-002-0336-2, ISSN  0025-2611, MR  1969009, S2CID  121266346