Теорема Фалтингса

Теорема Фалтингса

Герд Фалтингс
Поле	Арифметическая геометрия
Предположительно	Луис Морделл
Предположительно в	1922
Первое доказательство	Герд Фалтингс
Первое доказательство в	1983
Обобщения	Гипотеза Бомбьери–Лэнга Гипотеза Морделла–Лэнга
Последствия	Теорема Зигеля о целых точках

Теорема Фалтингса — это результат в арифметической геометрии , согласно которому кривая рода больше 1 над полем рациональных чисел имеет только конечное число рациональных точек . Это предположение было высказано в 1922 году Луисом Морделлом [ ^1] и известно как гипотеза Морделла до ее доказательства в 1983 году Гердом Фалтингсом ^[2] . Позднее гипотеза была обобщена путем замены на любое числовое поле .${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Пусть — неособая алгебраическая кривая рода над . Тогда множество рациональных точек на может быть определено следующим образом:${\displaystyle С}$ ${\displaystyle г}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle С}$

• Когда точек либо нет, либо их бесконечно много. В таких случаях можно рассматривать как коническое сечение .${\displaystyle г=0}$${\displaystyle С}$
• Когда , если есть какие-либо точки, то является эллиптической кривой и ее рациональные точки образуют конечно порождённую абелеву группу . (Это теорема Морделла , позднее обобщенная до теоремы Морделла–Вейля .) Более того, теорема Мазура о кручении ограничивает структуру подгруппы кручения.${\displaystyle г=1}$${\displaystyle С}$
• Когда , согласно теореме Фалтингса, имеет лишь конечное число рациональных точек.${\displaystyle г>1}$${\displaystyle С}$

Игорь Шафаревич предположил, что существует лишь конечное число классов изоморфизма абелевых многообразий фиксированной размерности и фиксированной степени поляризации над фиксированным числовым полем с хорошей редукцией вне фиксированного конечного множества мест . ^[3] Алексей Паршин показал, что гипотеза конечности Шафаревича влечет гипотезу Морделла, используя то, что сейчас называется трюком Паршина. ^[4]

Герд Фалтингс доказал гипотезу Шафаревича о конечности, используя известную редукцию к случаю гипотезы Тейта , вместе с инструментами из алгебраической геометрии , включая теорию моделей Нерона . ^[5] Основная идея доказательства Фалтингса — сравнение высот Фалтингса и наивных высот через модулярные многообразия Зигеля . ^[a]

• Пауль Войта дал доказательство, основанное на диофантовых приближениях . ^[6] Энрико Бомбьери нашел более элементарный вариант доказательства Войты. ^[7]
• Брайан Лоуренс и Акшай Венкатеш дали доказательство, основанное на p -адической теории Ходжа , заимствуя также некоторые более простые ингредиенты оригинального доказательства Фалтингса. ^[8]

Статья Фалтингса 1983 года имела своим следствием ряд утверждений, которые ранее предполагались:

• Гипотеза Морделла о том, что кривая рода больше 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек;
• Теорема изогении о том, что абелевы многообразия с изоморфными модулями Тейта (как -модули с действием Галуа) изогенны .${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$

Примером применения теоремы Фалтингса является слабая форма Великой теоремы Ферма : для любого фиксированного существует не более конечного числа примитивных целочисленных решений (попарно взаимно простых решений) уравнения , поскольку для таких уравнений кривая Ферма имеет род больше 1.${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle а^{n}+b^{n}=c^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$

Из-за теоремы Морделла–Вейля теорему Фалтингса можно переформулировать как утверждение о пересечении кривой с конечно порождённой подгруппой абелева многообразия . Обобщение путём замены на полуабелево многообразие , на произвольное подмногообразие и на произвольную подгруппу конечного ранга приводит к гипотезе Морделла–Лэнга , которая была доказана в 1995 году МакКвилланом ^[9] после работ Лорана, Рейно , Хиндри, Войты и Фалтингса .${\displaystyle С}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle С}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle А}$

Другим обобщением теоремы Фалтингса на более высокие размеры является гипотеза Бомбьери–Лэнга о том, что если — псевдоканоническое многообразие (т. е. многообразие общего типа) над числовым полем , то не является плотным по Зарискому в . Еще более общие гипотезы были выдвинуты Полом Войтой .${\displaystyle X}$${\displaystyle к}$${\displaystyle X(k)}$ ${\displaystyle X}$

Гипотеза Морделла для функциональных полей была доказана Юрием Ивановичем Маниным ^[10] и Гансом Грауэртом . ^[11] В 1990 году Роберт Ф. Коулман нашел и исправил пробел в доказательстве Манина. ^[12]