кривая Ферма

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Кривая Ферма» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике кривая Ферма — алгебраическая кривая в комплексной проективной плоскости, определяемая в однородных координатах ( X : Y : Z ) уравнением Ферма:

${\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}.\ }$

Следовательно, в терминах аффинной плоскости ее уравнение имеет вид:

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1.\ }$

Целочисленное решение уравнения Ферма будет соответствовать ненулевому рациональному решению аффинного уравнения, и наоборот. Но по Великой теореме Ферма теперь известно, что (для n  > 2) не существует нетривиальных целых решений уравнения Ферма; следовательно, кривая Ферма не имеет нетривиальных рациональных точек.

Кривая Ферма неособая и имеет род :

${\ displaystyle (n-1) (n-2)/2. \ }$

Это означает род 0 для случая n = 2 ( коника ) и род 1 только для n = 3 ( эллиптическая кривая ). Якобиево многообразие кривой Ферма было изучено глубоко. Оно изогенно произведению простых абелевых многообразий с комплексным умножением .

Кривая Ферма также имеет гональность :

${\displaystyle n-1.\ }$

Уравнения типа Ферма с большим количеством переменных определяют многообразия Ферма как проективные многообразия .

• Бейкер, Мэтью; Гонсалес-Хименес, Энрике; Гонсалес, Хосеп; Пунен, Бьорн (2005), «Результаты конечности для модулярных кривых рода не менее 2», American Journal of Mathematics , 127 (6): 1325–1387, arXiv : math/0211394 , doi : 10.1353/ajm.2005.0037, JSTOR  40068023, S2CID  8578601
• Гросс, Бенедикт Х.; Рорлих, Дэвид Э. (1978), «Некоторые результаты о группе Морделла-Вейля якобиана кривой Ферма» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 44 (3): 201–224, doi :10.1007/BF01403161, S2CID  121819622, архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-13
• Классен, Мэтью Дж.; Дебарр, Оливье (1994), «Точки низкой степени на гладких плоских кривых», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1994 (446): 81–88, arXiv : alg-geom/9210004 , doi : 10.1515/crll.1994.446 .81, S2CID  7967465
• Цермиас, Павлос (2004), «Точки низкой степени на кривых Гурвица-Клейна», Труды Американского математического общества , 356 (3): 939–951, doi : 10.1090/S0002-9947-03-03454-8 , JSTOR  1195002