Факториальная мера момента

Вероятность
Контур Каталог статей Вероятностники Глоссарий Обозначение Журналы Категория Математический портал
в т е

В вероятности и статистике факториальная моментная мера — это математическая величина, функция или, точнее, мера , которая определяется по отношению к математическим объектам, известным как точечные процессы , которые являются типами стохастических процессов , часто используемых в качестве математических моделей физических явлений, представляемых как случайно расположенные точки во времени , пространстве или и там, и там. Моментные меры обобщают идею факториальных моментов , которые полезны для изучения неотрицательных целочисленных случайных величин . [ ^1]

Первая факторная моментная мера точечного процесса совпадает с его первой моментной мерой или мерой интенсивности , ^[2] которая дает ожидаемое или среднее число точек точечного процесса, расположенных в некоторой области пространства. В общем случае, если число точек в некоторой области рассматривается как случайная величина, то моментная факторная мера этой области является факторным моментом этой случайной величины. ^[3] Факторные моментные меры полностью характеризуют широкий класс точечных процессов, что означает, что их можно использовать для однозначной идентификации точечного процесса.

Если факторная моментная мера абсолютно непрерывна , то по отношению к мере Лебега говорят, что она имеет плотность (которая является обобщенной формой производной ) , и эта плотность известна под рядом названий, таких как факторная моментная плотность и плотность произведения , а также плотность совпадений , ^[1] совместная интенсивность ^[4] , корреляционная функция или многомерный частотный спектр ^[5]. Первая и вторая факторные моментные плотности точечного процесса используются в определении парной корреляционной функции , которая дает способ статистически количественно оценить силу взаимодействия или корреляции между точками точечного процесса. ^[6]

Факториальные меры моментов служат полезными инструментами при изучении точечных процессов ^{[1] [6] [7],} а также в смежных областях стохастической геометрии ^[3] и пространственной статистики , ^{[6] [8],} которые применяются в различных научных и инженерных дисциплинах, таких как биология , геология , физика и телекоммуникации . ^{[1] [3] [9]}

Точечные процессы — это математические объекты, которые определены на некотором базовом математическом пространстве . Поскольку эти процессы часто используются для представления наборов точек, случайно разбросанных в пространстве, времени или и том, и другом, базовое пространство обычно представляет собой d -мерное евклидово пространство, обозначенное здесь как R ^d , но они могут быть определены на более абстрактных математических пространствах. ^[7]

Точечные процессы имеют ряд интерпретаций, что отражено в различных типах обозначений точечных процессов . ^{[3] [9]} Например, если точка принадлежит или является членом точечного процесса, обозначаемого N , то это можно записать как: ^[3]${\displaystyle \textstyle x}$

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

и представляет собой точечный процесс, интерпретируемый как случайное множество . В качестве альтернативы, число точек N, расположенных в некотором борелевском множестве B, часто записывается как: ^{[2] [3] [8]}

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

что отражает случайную интерпретацию меры для точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо. ^{[3] [8] [2]}

Для некоторого положительного целого числа -я факториальная степень точечного процесса определяется как: ^[2]${\displaystyle \textstyle n=1,2,\ldots }$${\displaystyle \textstyle н}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle {N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\sum _{(x_{1}\neq \dots \neq x_{n})\in {N}}\prod _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{B_{i}}(x_{i})}$

где — набор не обязательно непересекающихся борелевских множеств в , которые образуют -кратное декартово произведение множеств, обозначаемое как:${\displaystyle \textstyle B_{1},...,B_{n}}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}.}$

Символ обозначает индикаторную функцию, такую ​​что является мерой Дирака для множества . Суммирование в приведенном выше выражении выполняется по всем - кортежам различных точек, включая перестановки , что можно противопоставить определению n -й степени точечного процесса . Символ обозначает умножение, в то время как существование различных обозначений точечного процесса означает, что n -я факториальная степень точечного процесса иногда определяется с использованием других обозначений. ^[2]${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} }$${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}}$${\displaystyle \textstyle B_{n}}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle \Pi }$

Факторная мера момента n-го порядка или факторная мера момента n -го порядка определяется как:

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=E[{N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})],}$

где E обозначает ожидание ( оператор ) точечного процесса N. Другими словами, n -я факторная моментная мера является ожиданием n- й факторной степени некоторого точечного процесса.

Факторная мера момента n точечного процесса N эквивалентно определяется ^[3] следующим образом:

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})M^{(n)}(dx_{1},\ldots ,dx_{n})=E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right],}$

где — любая неотрицательная измеримая функция на , и указанное выше суммирование выполняется по всем кортежам различных точек, включая перестановки. Следовательно, факториальная моментная мера определяется таким образом, что в наборе произведений нет точек, повторяющихся, в отличие от моментной меры. ^[7]${\displaystyle f}$${\displaystyle {\textbf {R}}^{nd}}$${\displaystyle n}$

Первая факториальная мера момента совпадает с первой мерой момента : ^[2]${\displaystyle \textstyle M^{1}}$

${\displaystyle M^{(1)}(B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)],}$

где известна, среди прочих терминов, как мера интенсивности ^[3] или средняя мера , ^[10] и интерпретируется как ожидаемое число точек, найденных или расположенных в наборе${\displaystyle \textstyle M^{1}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

Вторая факториальная мера момента для двух борелевских множеств равна :${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle M^{(2)}(A\times B)=M^{2}(A\times B)-M^{1}(A\cap B).}$

Для некоторого борелевского множества тезка этой меры раскрывается, когда факториальная моментная мера сводится к:${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle n\,}$

${\displaystyle M^{(n)}(B\times \cdots \times B)=E[{N}(B)({N}(B)-1)\cdots ({N}(B)-n+1)],}$

что является -ым факториальным моментом случайной величины . ^[3]${\displaystyle \textstyle n\,}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$

Если факторная моментная мера абсолютно непрерывна , то она имеет плотность (или, точнее, производную Радона–Никодима или плотность) относительно меры Лебега , и эта плотность известна как факторная моментная плотность или плотность произведения , совместная интенсивность , корреляционная функция или многомерный частотный спектр . Обозначая -ю факторную моментную плотность как , она определяется относительно уравнения: ^[3]${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=\int _{B_{1}}\cdots \int _{B_{n}}\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}.}$

Кроме того, это означает следующее выражение

${\displaystyle E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right]=\int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n},}$

где — любая неотрицательная ограниченная измеримая функция, определенная на .${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{n}}$

В пространственной статистике и стохастической геометрии для измерения статистической корреляционной связи между точками точечного процесса парная корреляционная функция точечного процесса определяется как: ^{[3] [6]}${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})={\frac {\mu ^{(2)}(x_{1},x_{2})}{\mu ^{(1)}(x_{1})\mu ^{(1)}(x_{2})}},}$

где точки . В общем, тогда как соответствует отсутствию корреляции (между точками) в типичном статистическом смысле. ^[6]${\displaystyle x_{1},x_{2}\in R^{d}}$${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})\geq 0}$${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=1}$

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности -я факториальная моментная мера задается выражением: ^[3]${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

где — мера интенсивности или мера первого момента , которая для некоторого борелевского множества определяется выражением:${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)].}$

Для однородного точечного процесса Пуассона -я факториальная моментная мера просто равна: ^[2]${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

где - длина, площадь или объем (или, в более общем смысле, мера Лебега ) . Кроме того, -я факториальная плотность момента равна: ^[3]${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

Функция парной корреляции однородного точечного процесса Пуассона просто

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=1,}$

что отражает отсутствие взаимодействия между точками этого точечного процесса.

Ожидания общих функционалов простых точечных процессов, при условии соблюдения некоторых определенных математических условий, имеют (возможно, бесконечные) расширения или ряды, состоящие из соответствующих факторных моментных мер. ^{[11] [12]} По сравнению с рядом Тейлора , который состоит из ряда производных некоторой функции, n- я факторная моментная мера играет роль n- й производной ряда Тейлора. Другими словами, если задан общий функционал f некоторого простого точечного процесса, то эта теорема типа Тейлора для непуассоновских точечных процессов означает, что существует расширение для ожидания функции E , при условии соблюдения некоторого математического условия, которое обеспечивает сходимость расширения.

• Факториальный момент
• Момент
• Измерение момента