Случайная мера

В теории вероятностей случайная мера — это случайный элемент со значением меры . ^{[1] [2]} Случайные меры используются, например, в теории случайных процессов , где они образуют множество важных точечных процессов, таких как точечные процессы Пуассона и процессы Кокса .

Случайные меры могут быть определены как переходные ядра или как случайные элементы . Оба определения эквивалентны. Для определений пусть будет сепарабельным полным метрическим пространством и пусть будет его Борелевской -алгеброй . (Наиболее распространенным примером сепарабельного полного метрического пространства является .)${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Случайная мера — это ( как ) локально конечное ядро ​​перехода от абстрактного вероятностного пространства к . ^[3]${\displaystyle \дзета}$ ${\displaystyle (\Omega, {\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

Быть переходным ядром означает, что

• Для любого фиксированного отображение${\displaystyle B\in {\mathcal {\mathcal {E}}}}$

${\displaystyle \omega \mapsto \zeta (\omega,B)}$

измеряется от до​${\displaystyle (\Omega, {\mathcal {A}})}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$

• Для каждого фиксированного отображение${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)\quad (B\in {\mathcal {E}})}$

является мерой по${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

Локальная конечность означает, что меры

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)}$

удовлетворяют для всех ограниченных измеримых множеств и для всех, кроме некоторых - нулевых множеств${\displaystyle \zeta (\omega ,{\tilde {B}})<\infty }$${\displaystyle {\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle P}$

В контексте случайных процессов существует связанное с ними понятие стохастического ядра, вероятностного ядра, ядра Маркова .

Определять

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}:=\{\mu \mid \mu {\text{ is measure on }}(E,{\mathcal {E}})\}}$

и подмножество локально конечных мер по

${\displaystyle {\mathcal {M}}:=\{\mu \in {\tilde {\mathcal {M}}}\mid \mu ({\tilde {B}})<\infty {\text{ for all bounded measurable }}{\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}\}}$

Для всех ограниченных измеримых определим отображения${\displaystyle {\tilde {B}}}$

${\displaystyle I_{\tilde {B}}\colon \mu \mapsto \mu ({\tilde {B}})}$

из в . Пусть - -алгебра, индуцированная отображениями на , а -алгебра , индуцированная отображениями на . Заметим, что .${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}|_{\mathcal {M}}=\mathbb {M} }$

Случайная мера — это случайный элемент от до , который почти наверняка принимает значения в ^{[3] [4] [5]}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle ({\tilde {\mathcal {M}}},{\tilde {\mathbb {M} }})}$${\displaystyle ({\mathcal {M}},\mathbb {M} )}$

Для случайной меры мера, удовлетворяющая${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)}$

для каждой положительной измеримой функции называется мерой интенсивности . Мера интенсивности существует для каждой случайной меры и является s-конечной мерой .${\displaystyle f}$${\displaystyle \zeta }$

Для случайной меры мера, удовлетворяющая${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0}$

для всех положительных измеримых функций называется поддерживающей мерой . Поддерживающая мера существует для всех случайных мер и может быть выбрана конечной.${\displaystyle \zeta }$

Для случайной меры преобразование Лапласа определяется как${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right]}$

для каждой положительной измеримой функции .${\displaystyle f}$

Для случайной меры интегралы${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

и${\displaystyle \zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

для положительных -измеримые измеримы, поэтому они являются случайными величинами .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle f}$

Распределение случайной меры однозначно определяется распределениями

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

для всех непрерывных функций с компактным носителем на . Для фиксированного полукольца , которое порождает в том смысле, что , распределение случайной меры также однозначно определяется интегралом по всем положительным простым -измеримым функциям . ^[6]${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle f}$

Меру в общем случае можно разложить следующим образом:

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

Здесь — диффузная мера без атомов, а — чисто атомарная мера.${\displaystyle \mu _{d}}$${\displaystyle \mu _{a}}$

Случайная мера вида:

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},}$

где — мера Дирака , а — случайные величины, называется точечным процессом ^{[1] [2]} или случайной мерой подсчета . Эта случайная мера описывает множество N частиц, местоположения которых задаются случайными величинами (обычно векторными) . Диффузный компонент равен нулю для меры подсчета.${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \mu _{d}}$

В формальной записи выше случайная счетная мера — это отображение из вероятностного пространства в измеримое пространство ( ,  )${\displaystyle N_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}(N_{X})}$ . Здесь — пространство всех ограниченно конечных целочисленных мер (называемых счетными мерами ). ${\displaystyle N_{X}}$${\displaystyle N\in M_{X}}$

Определения меры ожидания, функционала Лапласа, моментных мер и стационарности для случайных мер следуют определениям точечных процессов . Случайные меры полезны при описании и анализе методов Монте-Карло , таких как числовая квадратура Монте-Карло и фильтры частиц . ^[7]

• Случайная мера Пуассона
• Векторная мера
• Ансамбль