Факториальный момент
Ожидание или среднее значение падающего факториала случайной величины

В теории вероятностей факториальный момент — это математическая величина, определяемая как ожидание или среднее значение падающего факториала случайной величины . Факториальные моменты полезны для изучения неотрицательных целочисленных случайных величин, [1] и возникают при использовании функций генерации вероятностей для вывода моментов дискретных случайных величин.

Факториальные моменты служат аналитическими инструментами в математической области комбинаторики, которая изучает дискретные математические структуры. [2]

Определение

Для натурального числа r , r -й факториальный момент распределения вероятностей действительных или комплексных чисел, или, другими словами, случайная величина X с этим распределением вероятностей, равна [3]

Э ⁡ [ ( Х ) г ] = Э ⁡ [ Х ( Х − 1 ) ( Х − 2 ) ⋯ ( Х − г + 1 ) ] , {\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\operatorname {E} {\bigl [}X(X-1)(X-2)\cdots (X-r+1){\bigr ]},}

где E — ожидание ( оператор ) и

( х ) г := х ( х − 1 ) ( х − 2 ) ⋯ ( х − г + 1 ) ⏟ г  факторы ≡ х ! ( х − г ) ! {\displaystyle (x)_{r}:=\underbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-r+1)} _{r{\text{ факторы}}}\equiv {\frac {x!}{(xr)!}}}

является падающим факториалом , что и дало название, хотя обозначение ( x ) r различается в зависимости от математической области. [a] Конечно, определение требует, чтобы ожидание было осмысленным, что имеет место, если ( X ) r ≥ 0 или E[|( X ) r |] < ∞ .

Если X — число успехов в n испытаниях, а p r — вероятность того, что любые r из n испытаний окажутся успешными, то [5]

Э ⁡ [ ( Х ) г ] = н ( н − 1 ) ( н − 2 ) ⋯ ( н − г + 1 ) п г {\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)p_{r}}

Примеры

Распределение Пуассона

Если случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ , то факториальные моменты X равны

Э ⁡ [ ( Х ) г ] = λ г , {\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\lambda ^{r},}

которые являются простыми по форме по сравнению с его моментами , которые включают числа Стирлинга второго рода .

Биномиальное распределение

Если случайная величина X имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха p ∈ [0,1] и числом испытаний n , то факториальные моменты X равны [6]

Э ⁡ [ ( Х ) г ] = ( н г ) п г г ! = ( н ) г п г , {\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}p^{r}r!=(n)_{r}p^{r},}

где по соглашению и понимаются равными нулю, если r > n . ( н г ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{r}}} ( н ) г {\displaystyle (н)_{г}}

Гипергеометрическое распределение

Если случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение с размером популяции N , числом успешных состояний K ∈ {0,..., N } в популяции и числом розыгрышей n ∈ {0,..., N }, то факториальные моменты X равны [6]

Э ⁡ [ ( Х ) г ] = ( К г ) ( н г ) г ! ( Н г ) = ( К ) г ( н ) г ( Н ) г . {\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {{\binom {K}{r}}{\binom {n}{r}} r!}{\binom {N}{r}}}={\frac {(K)_{r}(n)_{r}}{(N)_{r}}}.}

Бета-биномиальное распределение

Если случайная величина X имеет бета-биномиальное распределение с параметрами α > 0 , β > 0 и числом испытаний n , то факториальные моменты X равны

Э ⁡ [ ( Х ) г ] = ( н г ) Б ( α + г , β ) г ! Б ( α , β ) = ( н ) г Б ( α + г , β ) Б ( α , β ) {\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}{\frac {B(\alpha +r,\beta )r!}{B(\alpha ,\beta )}}=(n)_{r}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}}

Расчет моментов

R - й сырой момент случайной величины X может быть выражен через ее факториальные моменты по формуле

Э ⁡ [ Х г ] = ∑ дж = 1 г { г дж } Э ⁡ [ ( Х ) дж ] , {\displaystyle \operatorname {E} [X^{r}]=\sum _{j=1}^{r}\left\{{r \atop j}\right\}\operatorname {E} [(X)_{j}],}

где фигурные скобки обозначают числа Стирлинга второго рода .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Символ Похгаммера ( x ) r используется в основном в теории специальных функций для обозначения убывающего факториала x ( x -1)( x -2)...( x - r +1) ;. [4] тогда как современная нотация чаще используется в комбинаторике .

Ссылки

  1. ^ DJ Daley и D. Vere-Jones. Введение в теорию точечных процессов. Том I. Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк). Springer, Нью-Йорк, второе издание, 2003
  2. ^ Риордан, Джон (1958). Введение в комбинаторный анализ . Довер.
  3. ^ Риордан, Джон (1958). Введение в комбинаторный анализ . Довер. стр. 30.
  4. ^ Цифровая библиотека математических функций NIST . Получено 9 ноября 2013 г.
  5. ^ П. В. Кришна Айер. «Теорема о факториальных моментах и ​​ее приложения». Annals of Mathematical Statistics Vol. 29 (1958). Страницы 254-261.
  6. ^ ab Potts, RB (1953). «Заметка о факториальных моментах стандартных распределений». Australian Journal of Physics . 6 (4). CSIRO: 498–499. Bibcode : 1953AuJPh...6..498P. doi : 10.1071/ph530498 .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Factorial_moment&oldid=1251157618"