Функция генерации факториального момента

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Факториальная функция генерации момента" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теории вероятностей и статистике функция генерации факторного момента (FMGF) распределения вероятностей действительной случайной величины X определяется как

${\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} {\bigl [}t^{X}{\bigr ]}}$

для всех комплексных чисел t, для которых существует это ожидаемое значение . Это имеет место по крайней мере для всех t на единичной окружности , см. характеристическая функция . Если  X — дискретная случайная величина, принимающая значения только в наборе {0,1, ...} неотрицательных целых чисел , то также называется функцией генерации вероятности (PGF) X и является хорошо определенной по крайней мере для всех t на замкнутом единичном круге .${\displaystyle |т|=1}$${\displaystyle M_{X}}$${\displaystyle M_{X}(т)}$ ${\displaystyle |t|\leq 1}$

Функция генерации факториального момента генерирует факториальные моменты распределения вероятностей . При условии, что существует в окрестности t = 1  , n- й факториальный момент определяется как ^[1]${\displaystyle M_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [(X)_{n}]=M_{X}^{(n)}(1)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=1}M_{X}(t),}$

где символ Похгаммера ( x ) _n — это падающий факториал

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\,}$

(Многие математики, особенно в области специальных функций , используют ту же нотацию для представления возрастающего факториала .)

Предположим, что X имеет распределение Пуассона с ожидаемым значением λ, тогда его функция производства факториального момента имеет вид

${\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\underbrace {\operatorname {P} (X=k)} _{=\,\lambda ^{k}e^{-\lambda }/k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}=e^{\lambda (t-1)},\qquad t\in \mathbb {C} ,}$

(используем определение показательной функции ) и таким образом имеем

${\displaystyle \operatorname {E} [(X)_{n}]=\lambda ^{n}.}$

• Момент (математика)
• Функция, генерирующая момент
• Функция, генерирующая кумулянт