Феликс Хаусдорф

Феликс Хаусдорф
Рожденный	( 1868-11-08 )8 ноября 1868 г. Бреслау , Королевство Пруссия (ныне Вроцлав , Польша )
Умер	26 января 1942 г. (1942-01-26)(73 года) Бонн , Германия
Национальность	немецкий
Альма-матер	Лейпцигский университет
Известный	η набор Метод «туда-сюда» Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа завершение Хаусдорфа Размерность Хаусдорфа расстояние Хаусдорфа щель Хаусдорфа Максимальный принцип Хаусдорфа мера Хаусдорфа парадокс Хаусдорфа пространство Хаусдорфа Проблема моментов Хаусдорфа Неравенство Хаусдорфа-Юнга
Супруг	Шарлотта Хаусдорф (1873-1942)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Боннский университет , Грайфсвальдский университет , Лейпцигский университет
Тезис	Zur Theorie der astronomicschen Strahlenbrechung  (1891)
научный руководитель	Генрих Брунс Адольф Майер

Феликс Хаусдорф ( / ˈh aʊ s d ɔːr f / HOWZ -dorf , / ˈh aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ; ^[1] 8 ноября 1868 — 26 января 1942 ^[2] ) — немецкий математик, псевдоним Пауль Монгре ( à mon gré ( фр . ) = «по моему вкусу»), ^[3] который считается одним из основоположников современной топологии и внёс значительный вклад в теорию множеств , дескриптивную теорию множеств , теорию меры и функциональный анализ .

Он был евреем, и жизнь Хаусдорфа и его семьи стала трудной после Хрустальной ночи 1938 года. В следующем году он предпринял попытки эмигрировать в Соединенные Штаты, но не смог договориться о получении исследовательской стипендии. 26 января 1942 года Феликс Хаусдорф вместе со своей женой и свояченицей покончил жизнь самоубийством, приняв смертельную дозу веронала , вместо того чтобы подчиниться немецкому приказу переехать в лагерь Эндених, и там пострадать от вероятных последствий, относительно которых он не питал никаких иллюзий.

Отец Хаусдорфа, еврейский торговец Луи Хаусдорф (1843–1896), переехал со своей молодой семьей в Лейпциг осенью 1870 года и со временем работал на разных предприятиях, включая фабрику по производству льна и хлопка. Он был образованным человеком и стал морену в возрасте 14 лет. Он написал несколько трактатов, в том числе большой труд об арамейских переводах Библии с точки зрения талмудического права.

Мать Хаусдорфа, Хедвиг (1848–1902), которая в различных документах также упоминается как Иоганна, происходила из еврейской семьи Тиц. Из другой ветви этой семьи произошел Герман Тиц , основатель первого универмага, а позднее совладелец сети универмагов под названием «Герман Тиц». В период нацистской диктатуры фамилия была «арианизирована» до Херти .

С 1878 по 1887 год Феликс Хаусдорф посещал школу Николаи в Лейпциге, учреждение, имевшее репутацию очага гуманистического образования. Он был отличным учеником, классным руководителем в течение многих лет и часто декламировал собственные латинские или немецкие стихи на школьных праздниках.

В последние годы обучения в средней школе выбор основного предмета обучения был для Хаусдорфа нелегким. Магда Диркесманн, которая часто бывала в гостях в доме Хаусдорфа в 1926–1932 годах, в 1967 году сообщила, что:

Его разносторонний музыкальный талант был настолько велик, что только настойчивость отца заставила его отказаться от намерения изучать музыку и стать композитором.

Он решил изучать естественные науки и в выпускном классе 1887 года оказался единственным, кто получил наивысшую оценку.

С 1887 по 1891 год Хаусдорф изучал математику и астрономию , в основном в своем родном городе Лейпциге, прерываясь одним семестром во Фрайбурге (лето 1888 года) и Берлине (зима 1888/1889 года). Сохранившиеся свидетельства других студентов рисуют его как чрезвычайно разностороннего и интересующегося молодого человека, который, в дополнение к математическим и астрономическим лекциям, посещал лекции по физике , химии и географии , а также лекции по философии и истории философии , а также по вопросам языка , литературы и социальных наук . В Лейпциге он посещал лекции по истории музыки у музыковеда Оскара Пауля . Его ранняя любовь к музыке продолжалась всю жизнь; в доме Хаусдорфа он проводил впечатляющие музыкальные вечера с домовладельцем за фортепиано, согласно свидетельским показаниям, сделанным различными участниками. Еще будучи студентом в Лейпциге, он был поклонником и знатоком музыки Рихарда Вагнера .

В более поздних семестрах своего обучения Хаусдорф был близок к Генриху Брунсу (1848–1919). Брунс был профессором астрономии и директором обсерватории в Лейпцигском университете. Под его руководством Хаусдорф окончил университет в 1891 году, защитив работу по теории астрономической рефракции света в атмосфере. Затем последовали две публикации по той же теме, а в 1895 году он также получил степень доктора наук, защитив диссертацию о поглощении света в атмосфере. Эти ранние астрономические работы Хаусдорфа, несмотря на их превосходную математическую формулировку, в конечном итоге не имели большого значения для научного сообщества. Во-первых, позже было показано, что основная идея Брунса нежизнеспособна (необходимы были наблюдения рефракции вблизи астрономического горизонта, и, как покажет Юлиус Баушингер, это не могло быть получено с требуемой точностью). И далее, прогресс в прямом измерении атмосферных данных (с помощью метеорологических зондов ) с тех пор сделал кропотливую точность этих данных из наблюдений рефракции ненужной. В период между защитой докторской и хабилитацией Хаусдорф завершил годичную военную службу и два года проработал человеком- вычислителем в обсерватории в Лейпциге.

После получения степени доктора наук Хаусдорф стал преподавателем в Лейпцигском университете, где начал обширную преподавательскую деятельность в различных областях математики. Помимо преподавания и исследований в области математики, он также развивал свои литературные и философские наклонности. Человек разнообразных интересов, он часто общался с рядом известных писателей, художников и издателей, таких как Герман Конради, Рихард Демель , Отто Эрих Хартлебен , Густав Кирштейн , Макс Клингер , Макс Регер и Франк Ведекинд . Годы с 1897 по 1904 год знаменуют собой пик его литературного и философского творчества, в течение которых были опубликованы 18 из 22 его псевдонимных работ, включая книгу стихов, пьесу, эпистемологическую книгу и том афоризмов .

В 1899 году Хаусдорф женился на Шарлотте Гольдшмидт, дочери еврейского врача Зигизмунда Гольдшмидта. Ее мачехой была известная суфражистка и учительница дошкольного образования Генриетта Гольдшмидт . Единственный ребенок Хаусдорфа, его дочь Ленор (Нора), родилась в 1900 году; она пережила эпоху национал-социализма и прожила долгую жизнь, скончавшись в Бонне в 1991 году.

В декабре 1901 года Хаусдорф был назначен адъюнкт-профессором в Лейпцигском университете. Часто повторяемый факт , что Хаусдорф получил звонок из Геттингена и отклонил его, не может быть проверен и, скорее всего, является неправильным. Рассмотрев заявление Хаусдорфа в Лейпциг, декан Кирхнер счел необходимым сделать следующее дополнение к весьма позитивному голосованию своих коллег, написанному Генрихом Брунсом:

Факультет, однако, считает себя обязанным сообщить Королевскому министерству, что вышеуказанное заявление, рассмотренное 2 ноября этого года на заседании факультета, было принято не всеми, а 22 голосами против 7. Меньшинство было против, поскольку доктор Хаусдорф исповедует Моисееву веру. ^[4]

Эта цитата подчеркивает неприкрытый антисемитизм , который особенно резко усилился во всем Германском Рейхе после биржевого краха 1873 года . Лейпциг был центром антисемитских настроений, особенно среди студентов, что вполне могло быть причиной того, что Хаусдорф не чувствовал себя в Лейпциге комфортно. Другим способствующим фактором также могли быть стрессы, вызванные иерархическим положением профессоров Лейпцига.

После получения степени доктора наук Хаусдорф написал другие работы по оптике , неевклидовой геометрии и гиперкомплексным числовым системам, а также две статьи по теории вероятностей . Однако его основной областью работы вскоре стала теория множеств, особенно теория упорядоченных множеств . Первоначально Хаусдорф начал изучать работы Георга Кантора только из философского интереса , начиная примерно с 1897 года, но уже в 1901 году Хаусдорф начал читать лекции по теории множеств. Его лекции по теории множеств были одними из первых; раньше были только лекции Эрнста Цермело в Геттингенском колледже зимой 1900/1901 года. В том же году он опубликовал свою первую статью о типах порядка, в которой он рассмотрел обобщение вполне упорядоченных множеств, называемых градуированными типами порядка, где линейный порядок градуирован, если никакие два его сегмента не имеют одного и того же типа порядка . Он обобщил теорему Кантора–Бернштейна , которая утверждала, что совокупность счетных порядковых типов имеет мощность континуума , и показал, что совокупность всех градуированных типов идемпотентной мощности m имеет мощность 2 ^m . ^[5]

На летний семестр 1910 года Хаусдорф был назначен профессором Боннского университета . Там он начал цикл лекций по теории множеств, который он существенно переработал и расширил для летнего семестра 1912 года.

Летом 1912 года он также начал работу над своим главным произведением — книгой « Основы теории множеств» . Она была завершена в Грайфсвальде , где Хаусдорф был назначен на летний семестр полным профессором в 1913 году, и была освобождена в апреле 1914 года.

Университет Грайфсвальда был самым маленьким из прусских университетов. Математический институт там также был небольшим; летом 1916 года и зимой 1916/17 года Хаусдорф был единственным математиком в Грайфсвальде. Это означало, что он был почти полностью занят преподаванием основных курсов. Таким образом, назначение Хаусдорфа в Бонн в 1921 году стало существенным улучшением для его академической карьеры. Там он мог свободно преподавать по более широкому кругу тем и часто читал лекции по своим последним исследованиям. Он прочитал особенно примечательную лекцию по теории вероятностей (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64) в летнем семестре 1923 года, в которой он обосновал теорию вероятностей в аксиоматической теории меры, за десять лет до «Основных понятий теории вероятностей» А. Н. Колмогорова (перепечатано полностью в собрании сочинений, том V). В Бонне Хаусдорф дружил и сотрудничал с Эдуардом Штудием , а позднее с Отто Тёплицем , которые оба были выдающимися математиками.

После прихода к власти национал-социалистической партии антисемитизм стал государственной доктриной. Хаусдорфа изначально не беспокоил « Закон о восстановлении профессиональной гражданской службы », принятый в 1933 году, поскольку он был немецким государственным служащим с 1914 года. Однако он не был полностью избавлен от него, поскольку одна из его лекций была прервана национал-социалистическими студенческими чиновниками. В зимнем семестре 1934/1935 года в Боннском университете прошла рабочая сессия Национал-социалистического немецкого студенческого союза (NSDStB), которая выбрала «Расу и этническую принадлежность» в качестве темы семестра. Хаусдорф отменил свой курс Calculus III зимнего семестра 1934/1935 года 20 ноября, и предполагается, что выбор темы был связан с отменой занятий Хаусдорфа, поскольку за свою долгую карьеру университетского лектора он всегда доводил свои курсы до конца.

31 марта 1935 года, после некоторых колебаний, Хаусдорф наконец получил статус почетного профессора. Никаких слов благодарности за его 40 лет успешной работы в немецкой системе высшего образования не прозвучало.

Его академическое наследие показывает, что Хаусдорф все еще работал над математикой в ​​эти все более трудные времена и продолжал следить за текущими событиями, представляющими интерес. Он написал, в дополнение к расширенному изданию своей работы по теории множеств, семь работ по топологии и описательной теории множеств. Они были опубликованы в польских журналах: одна в Studia Mathematica , другие в Fundamenta Mathematicae . В это время его поддерживал Эрих Бессель-Хаген , верный друг семьи Хаусдорфов, который получал книги и журналы из академической библиотеки, в которую Хаусдорф больше не имел права входить.

Многое известно об унижениях, которым подверглись Хаусдорф и его семья после Хрустальной ночи в 1938 году. Существует множество источников, включая письма Бессель-Хагена. ^[6]

В 1939 году Хаусдорф тщетно просил математика Рихарда Куранта о научной стипендии, чтобы иметь возможность эмигрировать в США. В середине 1941 года боннских евреев начали депортировать в «Монастырь Вечного Поклонения» в Энденихе , Бонн , откуда были изгнаны монахини. Позже начались перевозки в лагеря смерти на востоке. После того, как в январе 1942 года Хаусдорфу, его жене и сестре его жены Эдит Паппенхайм (которая жила с ними) было приказано переехать в лагерь Эндених, все трое покончили жизнь самоубийством 26 января 1942 года, приняв смертельную дозу веронала . ^[7] Их последнее пристанище находится на кладбище Поппельсдорф в Бонне. В период между их размещением во временных лагерях и самоубийством он передал рукописный Nachlass египтологу и пресвитеру Гансу Боннету, который спас из него как можно больше, даже несмотря на то, что его дом был разрушен бомбой.

Некоторые из его собратьев-евреев могли иметь иллюзии относительно лагеря Эндених, но не Хаусдорф. В поместье Бессель-Хаген Э. Нойеншвандер обнаружил прощальное письмо, которое Хаусдорф написал своему адвокату Гансу Вольштейну, который также был евреем. ^{[8] [9]} Вот начало и конец письма:

Дорогой друг Воллстейн!

Если вы получили эти строки, мы (трое) решили проблему другим способом — тем способом, в котором вы постоянно пытались нас отговорить. Чувство безопасности, которое вы предсказывали нам, как только мы преодолеем трудности переезда, все еще ускользает от нас; напротив, Эндених может быть даже не концом!

То, что произошло в последние месяцы против евреев, вызывает обоснованные опасения, что они не дадут нам дожить до более сносной ситуации.

Поблагодарив друзей и с большим спокойствием выразив последние пожелания относительно своих похорон и завещания, Хаусдорф пишет:

Мне жаль, что мы причиняем вам еще больше усилий, чем смерть, и я убежден, что вы делаете то, что можете ( что, возможно, не очень много). Простите нам наше дезертирство! Мы желаем вам и всем нашим друзьям пережить лучшие времена.

Ваш искренне преданный

Феликс Хаусдорф

К сожалению, это желание не было исполнено. Адвокат Хаусдорфа, Вольштейн, был убит в Освенциме .

Библиотека Хаусдорфа была продана его зятем и единственным наследником Артуром Кёнигом. Части Nachlass Хаусдорфа , которые удалось спасти Гансу Боннету, сейчас находятся в университетской и государственной библиотеке Бонна. Nachlass каталогизирован. ^[10]

Том афоризмов Хаусдорфа, опубликованный в 1897 году, был его первой работой, опубликованной под псевдонимом Поль Монгре. Он называется « Сант Иларио: Мысли из пейзажа Заратустры» . Подзаголовок в первую очередь обыгрывает тот факт, что Хаусдорф завершил свою книгу во время восстановительного пребывания на Лигурийском побережье близ Генуи и что в этом же районе Фридрих Ницше написал первые две части « Так говорил Заратустра» ; он также намекает на свою духовную близость к Ницше. В статье о Сант Иларио в еженедельной газете Die Zukunft Хаусдорф признал in expressis verbis свой долг перед Ницше.

Хаусдорф не пытался копировать или даже превзойти Ницше. «Нет и следа подражания Ницше», — говорится в современном обзоре. Он следует за Ницше в попытке освободить индивидуальное мышление, взять на себя смелость подвергнуть сомнению устаревшие стандарты. Хаусдорф сохранял критическую дистанцию ​​по отношению к поздним работам Ницше. В своем эссе о книге « Воля к власти» , составленном на основе заметок, оставшихся в архиве Ницше, он говорит:

В Ницше пылает фанатик. Его мораль разведения, воздвигнутая на наших нынешних биологических и физиологических основах знания: это мог бы быть всемирно-исторический скандал, на фоне которого инквизиция и суды над ведьмами померкнут до безобидных заблуждений.

Свой критический стандарт он взял у самого Ницше,

От доброго, скромного, понимающего Ницше и от свободного духа хладнокровного, свободного от догм, бессистемного скептика Ницше...

В 1898 году — также под псевдонимом Поль Монгре — Хаусдорф опубликовал эпистемологический эксперимент под названием «Хаос в космическом отборе» . Критика метафизики, выдвинутая в этой книге, имела своей отправной точкой противостояние Хаусдорфа идее вечного возвращения Ницше. В конечном счете, речь идет об уничтожении любого вида метафизики. О самом мире, о трансцендентном ядре мира — как говорит Хаусдорф — мы ничего не знаем и не можем знать. Мы должны предположить, что «сам мир» неопределен и неопределим, как простой хаос. Мир нашего опыта, наш космос, является результатом выборов, которые мы сделали и всегда будем инстинктивно делать в соответствии с нашей способностью к пониманию. Рассматриваемые из этого хаоса, все другие структуры, другой космос мыслимы. То есть, из мира нашего космоса нельзя сделать никаких выводов о трансцендентном мире.

В 1904 году в журнале The New Rundschau вышла одноактная пьеса Хаусдорфа « Доктор его чести ». Это грубая сатира на дуэль и на традиционные представления о чести и благородстве прусского офицерского корпуса, которые в развивающемся буржуазном обществе все больше становились анахронизмом. «Доктор его чести» был самым популярным литературным произведением Хаусдорфа. В 1914–1918 годах состоялось множество постановок в более чем тридцати городах. Позже Хаусдорф написал эпилог к ​​пьесе, но в то время он не был поставлен. Только в 2006 году этот эпилог был впервые представлен на ежегодном собрании Немецкого математического общества в Бонне. В 2021 году первый английский перевод « Доктора его чести» был опубликован Центром математики Хаусдорфа в Бонне.

Помимо упомянутых выше работ, Хаусдорф также написал многочисленные эссе, которые появились в некоторых ведущих литературных журналах того времени. Он также написал книгу стихов « Экстаз» (1900). Некоторые из его стихотворений были положены на музыку австрийским композитором Йозефом Марксом .

Вступление Хаусдорфа в тщательное изучение упорядоченных множеств было отчасти вызвано проблемой континуума Кантора: где должно быть размещено кардинальное число в последовательности ? В письме Гильберту от 29 сентября 1904 года он говорит об этой проблеме: «она мучила меня почти как мономания ». ^[11] Хаусдорф увидел новую стратегию для атаки на проблему в множестве . Кантор подозревал , но смог показать только, что . В то время как — «число» возможных вполне упорядоченных множеств счетного множества , теперь возникло как «число» всех возможных порядков такого количества. Поэтому было естественно изучать системы, которые более конкретны, чем порядки, но более общие, чем вполне упорядоченные множества. Хаусдорф сделал именно это в своем первом томе 1901 года, опубликовав теоретические исследования «градуированных множеств». Однако из результатов Курта Гёделя и Пола Коэна мы знаем , что эта стратегия решения проблемы континуума столь же неэффективна, как и стратегия Кантора, которая была направлена ​​на обобщение принципа Кантора–Бендиксона с замкнутых множеств на общие несчетные множества.${\displaystyle \алеф =2^{\алеф _{0}}}$${\displaystyle \{\алеф _{\альфа }\}}$${\displaystyle \mathrm {карта} (T(\aleph _{0}))=\aleph }$${\displaystyle \алеф =\алеф _{1}}$${\displaystyle \алеф \geq \алеф _{1}}$${\displaystyle \алеф _{1}}$${\displaystyle \алеф}$

В 1904 году Хаусдорф опубликовал рекурсию, названную в его честь, которая утверждает, что для каждого непредельного ординала мы имеем${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \алеф _{\му }^{\алеф _{\альфа }}=\алеф _{\му }\;\алеф _{\му -1}^{\алеф _{\альфа }}. }$

Эта формула, вместе с более поздним понятием, называемым конфинальностью, введенным Хаусдорфом, стала основой для всех дальнейших результатов для возведения в степень Алеф . Превосходное знание Хаусдорфом рекуррентных формул такого рода также позволило ему обнаружить ошибку в лекции Юлиуса Кёнига на Международном конгрессе математиков в 1904 году в Гейдельберге . Там Кёниг утверждал, что континуум не может быть вполне упорядоченным, поэтому его мощность вообще не является Алефом, и тем самым вызвал большой переполох. Тот факт, что именно Хаусдорф прояснил ошибку, имеет особое значение, поскольку ложное впечатление о событиях в Гейдельберге сохранялось более 50 лет. ^[12]

В 1906–1909 годах Хаусдорф выполнил свою новаторскую и фундаментальную работу по упорядоченным множествам. Фундаментальное значение для всей теории имеет понятие конфинальности , которое ввел Хаусдорф. Ординал называется регулярным, если он конфинален любому меньшему ординалу; в противном случае он называется сингулярным. Вопрос Хаусдорфа о том, существуют ли регулярные числа, которые индексируют предельный ординал, был отправной точкой для теории недостижимых кардиналов. Хаусдорф уже заметил, что такие числа, если они существуют, должны быть «непомерного размера». ^[13]

Следующая теорема Хаусдорфа также имеет фундаментальное значение: для каждого неограниченного и упорядоченного плотного множества существуют два однозначно определенных регулярных начальных числа, так что является конфинальным с и коначальным с (где * обозначает обратный порядок). Эта теорема дает, например, метод для характеристики элементов и пробелов в упорядоченных множествах.${\displaystyle А}$${\displaystyle \omega _{\xi },\omega _{\eta }}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \omega _ {\xi }}$${\displaystyle \omega _ {\eta }^{*}}$

Если — предопределенный набор символов (элементных и пробельных символов), возникает вопрос, существуют ли упорядоченные множества, набор символов которых в точности равен . Можно легко найти необходимое условие для , но Хаусдорф также смог показать, что это условие является достаточным. Для этого нужен богатый резервуар упорядоченных множеств, который Хаусдорф также смог создать с помощью своей теории общих произведений и степеней. ^[14] В этом резервуаре можно найти интересные структуры, такие как нормальные типы Хаусдорфа, в связи с которыми Хаусдорф впервые сформулировал обобщенную гипотезу континуума . -множества Хаусдорфа стали отправной точкой для изучения важной модельной теории насыщенной структуры . ^[15]${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \eta _ {\alpha }}$${\displaystyle \eta _ {\alpha }}$

Общие произведения Хаусдорфа и степени мощностей привели его к изучению концепции частично упорядоченного множества. На вопрос о том, содержится ли любое упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества в максимально упорядоченном подмножестве, Хаусдорф ответил положительно, используя теорему о хорошем порядке. Это максимальный принцип Хаусдорфа , который следует либо из теоремы о хорошем порядке, либо из аксиомы выбора, и, как оказалось, также эквивалентен аксиоме выбора. ^[16]

В 1908 году Артур Мориц Шёнфлис в своем докладе по теории множеств обнаружил, что новая теория упорядоченных множеств (то есть та, которая появилась после расширений Кантора) была почти исключительно создана Хаусдорфом. ^[17]

Согласно предыдущим представлениям, теория множеств включала в себя не только общую теорию множеств и теорию множеств точек, но также размерность и теорию меры. Учебник Хаусдорфа был первым, который представил всю теорию множеств в этом широком смысле, систематически и с полными доказательствами. Хаусдорф осознавал, как легко человеческий разум может ошибаться, одновременно стремясь к строгости и истине, поэтому в предисловии к своей работе он обещает:

… быть максимально экономным, используя человеческую привилегию ошибаться.

Эта книга вышла далеко за рамки своего мастерского изображения уже известных концепций. Она также содержала ряд важных оригинальных вкладов автора.

Первые несколько глав посвящены основным концепциям общей теории множеств. В начале Хаусдорф дает подробную алгебру множеств с некоторыми новаторскими новыми концепциями (цепь разностей, кольца множеств и поля множеств, - и -системы). Вводные параграфы о множествах и их связях включают, например, современное теоретико-множественное понятие функций. Главы с 3 по 5 обсуждают классическую теорию кардинальных чисел, порядковые типы и ординалы, а в шестой главе «Отношения между упорядоченными и вполне упорядоченными множествами» Хаусдорф представляет, среди прочего, наиболее важные результаты своих собственных исследований упорядоченных множеств.${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle \сигма}$

В главах о «точечных множествах» — топологических главах — Хаусдорф впервые разработал, на основе известных аксиом соседства, систематическую теорию топологических пространств, куда он в дополнение добавил аксиому разделения, позже названную в его честь. Эта теория возникает из всестороннего синтеза более ранних подходов других математиков и собственных размышлений Хаусдорфа о проблеме пространства. Понятия и теоремы классической теории точечных множеств — насколько это возможно — переносятся на общий случай и, таким образом, становятся частью недавно созданной общей или теоретико-множественной топологии. Но Хаусдорф не только выполнил эту «работу по переводу», но и разработал основные методы построения топологии, такие как формирование ядра (открытое ядро, самоплотное ядро ) и формирование оболочки ( замыкание ), и он прорабатывает фундаментальное значение понятия открытого множества (названного им «областью») и понятия компактности, введенного Фреше. Он также основал и развил теорию связного множества, в частности, путем введения терминов «компонент» и «квазикомпонент».${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

С первой аксиомой счетности Хаусдорфа, а затем и со второй, рассматриваемые пространства постепенно стали более специализированными. Большой класс пространств, удовлетворяющих счетной первой аксиоме, — это метрические пространства . Они были введены в 1906 году Фреше под названием «классы (E)». Термин «метрическое пространство» происходит от Хаусдорфа. В «Принципах » он развил теорию метрических пространств и систематически обогатил ее с помощью ряда новых понятий: метрика Хаусдорфа , полнота , полная ограниченность , -связность, приводимые множества. Работа Фреше не особенно известна; только благодаря «Принципам » Хаусдорфа метрические пространства стали общеизвестными для математиков.${\displaystyle \ро}$

Глава об иллюстрациях и заключительная глава « Принципов теории меры и интегрирования» обогащены общностью материала и оригинальностью изложения. Упоминание Хаусдорфом важности теории меры для вероятности имело большой исторический эффект, несмотря на его лаконичную краткость. В этой главе можно найти первое правильное доказательство усиленного закона больших чисел Эмиля Бореля . Наконец, в приложении содержится единственный наиболее впечатляющий результат всей книги, а именно теорема Хаусдорфа о том, что нельзя определить объем для всех ограниченных подмножеств для . Доказательство основано на парадоксальном разложении Хаусдорфа на шары, для получения которого требуется аксиома выбора. ^[18]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 3}$

В 20 веке стало стандартом строить математические теории на основе аксиоматической теории множеств. Создание аксиоматически обоснованных обобщенных теорий, таких как общая топология, служило, среди прочего, для выделения общего структурного ядра для различных конкретных случаев или областей, а затем для создания абстрактной теории, которая содержала все эти части как особые случаи. Это принесло большой успех в форме упрощения и гармонизации и в конечном итоге принесло с собой экономию мысли. Сам Хаусдорф подчеркнул этот аспект в « Принципах» . В топологической главе основные понятия являются методологически новаторским усилием, и они проложили путь для развития современной математики.

«Принципы теории множеств» появились в апреле 1914 года, накануне Первой мировой войны, которая кардинально повлияла на научную жизнь в Европе. В этих обстоятельствах влияние книги Хаусдорфа на математическую мысль не будет заметно в течение пяти-шести лет после ее появления. После войны новое поколение молодых исследователей приступило к расширению многочисленных предложений, которые были включены в эту работу. Несомненно, топология была в центре внимания. Журнал Fundamenta Mathematicae , основанный в Польше в 1920 году, сыграл особую роль в восприятии идей Хаусдорфа. Это был один из первых математических журналов с особым акцентом на теории множеств, топологии, теории действительных функций, теории меры и интегрирования, функциональном анализе, логике и основаниях математики. Во всем этом спектре особое внимание уделялось топологии. «Принципы» Хаусдорфа были процитированы в самом первом томе Fundamenta Mathematicae , и благодаря подсчету цитирований их влияние продолжало расти с поразительной скоростью. Из 558 работ (три работы самого Хаусдорфа не включены), которые появились в первых двадцати томах Fundamenta Mathematicae с 1920 по 1933 год, 88 из них ссылаются на Principles . Следует также принять во внимание тот факт, что по мере того, как идеи Хаусдорфа становились все более распространенными, они также использовались в ряде работ, которые не цитировали их явно.

Русская топологическая школа, основанная Павлом Александровым и Павлом Урысоном , во многом основывалась на «Принципах» Хаусдорфа . Это подтверждается сохранившейся перепиской в ​​«Nachlass» Хаусдорфа с Урысоном, и особенно «Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes» Александрова и Урысона ^[19], работой размером с книгу, в которой Урысон развивал теорию размерности, а «Принципы» цитируются не менее 60 раз.

После Второй мировой войны спрос на книгу Хаусдорфа был огромным, и в Челси вышло три переиздания: в 1949, 1965 и 1978 годах.

В 1916 году Александров и Хаусдорф независимо решили ^[20] проблему континуума для борелевских множеств: каждое борелевское множество в полном сепарабельном метрическом пространстве либо счетно, либо имеет мощность континуума. Этот результат обобщает теорему Кантора–Бендиксона о том, что такое утверждение справедливо для замкнутых множеств . Для линейных множеств Уильям Генри Янг доказал результат в 1903 году, ^[21] для множеств Хаусдорф получил соответствующий результат в 1914 году в Principles . Теорема Александрова и Хаусдорфа стала сильным стимулом для дальнейшего развития дескриптивной теории множеств. ^[22]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle G_{\delta}}$${\displaystyle G_{\дельта \сигма \дельта }}$

Среди публикаций Хаусдорфа в период его работы в Грайфсвальде особенно выделяется работа Dimension and external measure 1919 года. В этой работе были введены понятия, которые сейчас известны как Hausdorff measure и Hausdorff dimension . Она оставалась весьма актуальной и в последующие годы была одной из самых цитируемых математических работ с десятилетия 1910 по 1920 год.

Концепция размерности Хаусдорфа полезна для характеристики и сравнения «высокопрочных величин». Концепции размерности и внешней меры получили применение и дальнейшее развитие во многих областях, таких как теория динамических систем, геометрическая теория меры, теория самоподобных множеств и фракталов, теория случайных процессов, гармонический анализ, теория потенциала и теория чисел. ^[23]

Значительная аналитическая работа Хаусдорфа была сделана во время его второго пребывания в Бонне. В «Методах суммирования и моментных последовательностях I» в 1921 году он разработал целый класс методов суммирования для расходящихся рядов, которые сегодня называются методами Хаусдорфа. В классическом труде Харди «Расходящиеся ряды » целая глава посвящена методу Хаусдорфа. Классические методы Гёльдера и Чезаро оказались частными случаями метода Хаусдорфа. Каждый метод Хаусдорфа задается моментной последовательностью; в этом контексте Хаусдорф дал элегантное решение проблемы моментов для конечного интервала, обойдя теорию непрерывных дробей. В своей статье « Проблемы моментов для конечного интервала» 1923 года он рассмотрел более специальные проблемы моментов, такие как проблемы с определенными ограничениями для генерации плотности , например . Критерии разрешимости и разрешимости проблем моментов занимали Хаусдорфа в течение многих лет, о чем свидетельствуют сотни страниц рукописных заметок в его Nachlass . ^[24]${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \varphi (x)\in L^{p}[0,1]}$

Значительным вкладом в развивающуюся область функционального анализа в 1920-х годах стало расширение Хаусдорфом теоремы Рисса-Фишера на пространства в его работе 1923 года «Расширение теоремы Парсеваля о рядах Фурье» . Он доказал неравенства, которые теперь названы в его честь и в честь У. Х. Янга. Неравенства Хаусдорфа-Юнга стали отправной точкой для новых важных разработок. ^[25]${\displaystyle L^{p}}$

Книга Хаусдорфа «Теория множеств» появилась в 1927 году. Она была заявлена ​​как второе издание «Принципов» , но на самом деле это была совершенно новая книга. Поскольку масштаб был значительно уменьшен из-за ее появления в учебной библиотеке Гошена, большие части теории упорядоченных множеств и мер и теории интегрирования были удалены. В предисловии Хаусдорф пишет: «Возможно, даже больше, чем эти удаления, читатель будет сожалеть о том, что для дальнейшей экономии места в теории точечных множеств я отказался от топологической точки зрения, благодаря которой первое издание, по-видимому, приобрело много друзей, и сосредоточился на более простой теории метрических пространств».

На самом деле, это было явным сожалением некоторых рецензентов работы. В качестве своего рода компенсации Хаусдорф впервые показал тогдашнее состояние описательной теории множеств. Этот факт обеспечил книге почти такой же интенсивный прием, как и Principles , особенно в Fundamenta Mathematicae. Как учебник она была очень популярна. В 1935 году было опубликовано расширенное издание, и оно было переиздано Dover в 1944 году. Английский перевод появился в 1957 году с переизданиями в 1962 и 1967 годах.

Было также русское издание (1937), хотя оно было лишь частично точным переводом, а частично переработкой Александрова и Колмогорова . В этом переводе топологическая точка зрения снова вышла на первый план. В 1928 году обзор теории множеств был написан Гансом Ханом, который, возможно, осознавал опасность немецкого антисемитизма, поскольку он завершил свое обсуждение следующим предложением:

Образцовое описание во всех отношениях трудной и тернистой области, работа, которая стоит на одном уровне с теми, которые прославили немецкую науку во всем мире, и которой могут гордиться все немецкие математики. ^[26]

В 1938 году последняя работа Хаусдорфа Extension of a continuous map показала, что непрерывная функция из замкнутого подмножества метрического пространства может быть продолжена на все из (хотя изображение может потребовать продолжения). Как частный случай, каждый гомеоморфизм из может быть продолжен до гомеоморфизма из . Эта работа продолжила исследования более ранних лет. В 1919 году в работе About semi-continuous functions and their generalization Хаусдорф, среди прочего, дал еще одно доказательство теоремы о продолжении Титце . В 1930 году в работе Extending a homeomorphism он показал следующее: Пусть будет метрическим пространством, замкнутым подмножеством. Если задана новая метрика без изменения топологии, то эта метрика может быть продолжена на все пространство без изменения топологии. Работа Graded spaces появилась в 1935 году, где Хаусдорф обсуждал пространства, которые удовлетворяют аксиомам замыкания Куратовского вплоть до аксиомы идемпотентности. Эти пространства часто также называют пространствами замыкания, и Хаусдорф использовал их для изучения взаимосвязей между предельными пространствами Фреше и топологическими пространствами .${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F\subseteq E}$${\displaystyle F}$

Имя Хаусдорфа встречается во всей математике. Среди прочих, его именем названы следующие понятия:

• завершение Хаусдорфа
• сходимость Хаусдорфа
• плотность Хаусдорфа
• Размерность Хаусдорфа
• расстояние Хаусдорфа
• щель Хаусдорфа
• Максимальный принцип Хаусдорфа
• мера Хаусдорфа
• метрика Хаусдорфа
• Проблема моментов Хаусдорфа
• парадокс Хаусдорфа
• пространство Хаусдорфа
• Неравенство Хаусдорфа-Юнга
• Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа

В университетах Бонна и Грайфсвальда в его честь названы:

• Центр математики имени Хаусдорфа в Бонне,
• Научно-исследовательский институт математики имени Хаусдорфа в Бонне и
• Международный центр бегегнунга имени Феликса Хаусдорфа в Грайфсвальде.

Кроме того, в Бонне есть Hausdorffstraße (улица Хаусдорфа), где он жил в первый раз. (Haus-Nr. 61). В Грайфсвальде есть Felix-Hausdorff–Straße, где, среди прочего, расположены Институты биохимии и физики. С 2011 года в центре Лейпцигского Ортштайля-Голиса есть "Hausdorffweg" (Hausdorff-Way). ^[27]

В его честь был назван астероид 24947 Хаусдорф .

Здесь показаны только некоторые из эссе, опубликованных в тексте.

• Сант-Иларио. Gedanken aus der Landschaft Zarathustra. Верлаг К.Г. Науманн, Лейпциг, 1897 г.
• Das Chaos in kosmischer Auslese — Ein erkenntniskritischer Versuch. Верлаг К.Г. Науманн, Лейпциг, 1898 г.; Перепечатано с предисловием Макса Бенсе: Баден-Баден: Agis-Verlag 1976, ISBN  3-87007-013-7.
• Массенглюк и Эйнцельглюк. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 64–75.
• Das uninliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443–452.
• Экстасен. Том стихов. Verlag H. Seemann Nachf., Лейпциг, 1900 г.
• Дер Вилле цур Махт. В: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 1334–1338.
• Макс Клингерс Бетховен. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183–189.
• Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 1233–1258.
• Сейнер Der Arzt Ehre, Гротеске. В: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989–1013. Новое издание под названием: Der Arzt seiner Ehre. Komödie in einem Akt mit einem Epilog. С 7 портретами и гравюрами на дереве Ганса Александра Мюллера по рисункам Вальтера Тимана, 10 Бл., 71 С. Пятое издание Лейпцигера Bibliophilen-Abends, Лейпциг, 1910 г. Новое издание: С. Фишер, Берлин, 1912 г., 88 С. Доктор его. Honor (английский перевод Der Arzt seiner Ehre, Groteske ) Фолькера Веттера и Уильяма П. Хаусдорфа, Математический центр Хаусдорфа, Бонн, 2021.

• Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung . Труды Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Матем.-физ. Класс 53 (1901), С. 152–178.
• Über eine gewisse Art geordneter Mengen. Труды Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Матем.-физ. Класс 53 (1901), С. 460–475.
• Das Raumproblem (Вступительная лекция в Лейпцигском университете 4 июля 1903 г.). Анналы натуральной философии Оствальда 3 (1903), стр. 1–23.
• Дер Потенцбегрифф в Менгенлере . Годовой отчет DMV 13 (1904 г.), С. 569–571.
• Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. Труды Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математик-физ.\ Класс 58 (1906), С. 106–169.
• Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. Труды Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Матем.-физ. Класс 59 (1907), С. 84–159.
• Über dichte Ordnungstypen . Годовой отчет DMV 16 (1907), S. 541–546.
• Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen . Математика. Аннален 65 (1908), С. 435–505.
• Die Graduierung nach dem Endverlauf. Труды Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Матем.-физ. Класс 31 (1909), С. 295–334.
• Grundzüge der Mengenlehre . Verlag Veit & Co, Лейпциг. 476 С. мит 53 Рис. Дальнейшие издания: паб «Челси». Ко. 1949, 1965, 1978 гг.
• Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen . Математика. Аннален 77 (1916), С. 430–437.
• Размер и масса . Математика. Аннален 79 (1919), С. 157–179.
• Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung . Математика. Zeitschrift 5 (1919), С. 292–309.
• Методы суммирования и моменты I, II. Математика. Zeitschrift 9 (1921), I: С. 74–109, II: С. 280–299.
• Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen . Математика. Zeitschrift 16 (1923), С. 163–169.
• Momentprobleme für ein endliches Intervall . Математика. Zeitschrift 16 (1923), С. 220–248.
• Менгенлере , второе переработанное издание. Verlag Walter de Gruyter & Co., Берлин. 285 С. с 12 цифрами.
• Erweiterung einer Homöomorphie (PDF; 389 КБ) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 353–360.
• Менгенлере , третье издание. С дополнительной главой и несколькими приложениями. Verlag Walter de Gruyter & Co., Берлин. 307 С. mit 12 Рис. Нахдрук: Dover Pub. Нью-Йорк, 1944. Английское издание: Теория множеств . Перевод с немецкого JR Aumann et al. Паб Челси. Ко., Нью-Йорк, 1957, 1962, 1967 гг.
• Gestufte Räume. (PDF; 1,2 МБ) Fundamenta Mathematicae 25 (1935), S. 486–502.
• Erweiterung einer stetigen Abbildung (PDF; 450 КБ) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), S. 40–47.
• Нахгелассене Шрифтен . 2 тома. Ред.: Г. Бергманн, Тойбнер, Штутгарт, 1969. Из Nachlass , том I включает выпуски 510–543, 545–559, 561–577, том II, выпуски 578–584, 598–658 (все выпуски приведены в виде факсимиле).

Хаусдорф об упорядоченных множествах . Перевод и ред.: Якоб М. Плоткин, Американское математическое общество, 2005.

"Hausdorff-Edition", под редакцией Э. Брискорна  (†), Ф. Хирцебруха  (†), В. Пуркерта (все Бонн), Р. Реммерта  (†) (Мюнстер) и Э. Шольца (Вупперталь) в сотрудничестве с более чем двадцатью математиками, историками, философами и учеными, является текущим проектом Академии наук, гуманитарных наук и искусств Северного Рейна-Вестфалии по представлению работ Хаусдорфа с комментариями и большим количеством дополнительных материалов. Тома были опубликованы издательством Springer-Verlag , Гейдельберг. Было опубликовано девять томов, причем том I был разделен на том IA и том IB. См. веб-сайт проекта Hausdorff веб-сайт издания Hausdorff (на немецком языке) для получения дополнительной информации. Тома следующие:

• Группа IA: Allgemeine Mengenlehre. ^[28] 2013, ISBN 978-3-642-25598-4 . 
• Группа IB: Феликс Хаусдорф – Поль Монгре (биография). 2018, ISBN 978-3-662-56380-9 . 
• Группа II: Grundzüge der Mengenlehre (1914) . 2002, ISBN 978-3-540-42224-2 ^[29] 
• Группа III: Менгенлере (1927, 1935); Описание Mengenlehre und Topologie . 2008, ISBN 978-3-540-76806-7. 
• Группа IV: Анализ, алгебра и теория теории . 2001, ISBN 978-3-540-41760-6 ^[29] 
• Группа V: Астрономия, оптика и Wahrscheinlichkeitstheorie . 2006, ISBN 978-3-540-30624-5 ^[29] 
• Группа VI: Geometrie, Raum und Zeit . 2020. ISBN 978-3-540-77838-7 . 
• Группа VII: Философская работа . 2004, ISBN 978-3-540-20836-5 ^[29] 
• Группа VIII: Литературная работа . 2010, ISBN 978-3-540-77758-8 . 
• Группа IX: Корреспонденц. 2012, ISBN 978-3-642-01116-0 . 

• Александров, П .; Хопф, Х .: Топология. Шпрингер-Верлаг , Берлин, 1935 г.
• Брискорн, Э .: Густав Ландауэр и математик Феликс Хаусдорф. В: Х. Дельф, Г. Маттенклотт: Густав Ландауэр им Геспрах – Symposium zum 125. Geburtstag. Тюбинген 1997, С. 105–128.
• Брискорн, Э. (Hrsg.): Феликс Хаусдорф zum Gedächtnis. Аспекты работы. Вьюег , Брауншвейг/Висбаден, 1996 г.
• Брискорн, Э.; Пуркерт, В.: Биография Феликса Хаусдорфа. (Band IB der Edition), Springer, Гейдельберг, 2018.
• Эйххорн, Э.; Тиле, Э.-Дж.: Vorlesungen zum Gedenken an Felix Hausdorff , Heldermann Verlag  [de] , Берлин, 1994, ISBN 3-88538-105-2 . 
• Кепке П., Кановей В., Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre , 2001, uni-bonn.de (pdf)
• Лоренц, Г.Г.: Математическая работа Феликса Хаусдорфа. Jahresbericht der DMV 69 (1967), 54 (130)–62 (138).
• Пуркерт, Вальтер: Двойная жизнь Феликса Хаусдорфа/Поля Монгре. Mathematical Intelligencer, 30 (2008), 4, S. 36 и далее.
• Пуркерт, Вальтер: Феликс Хаусдорф - Поль Монгре. Математик - Философ - Литератор . Центр математики имени Хаусдорфа, Бонн 2013.
• Стегмайер, В .: Ein Mathematiker in der Landschaft Zarathustra. Феликс Хаусдорф в роли Философа. Ницше-Штудьен 31 (2002), 195–240.
• Воллхардт Ф.: Von der Sozialgeschichte zur Kulturwissenschaft? Die literarisch-essayistischen Schriften des Mathematikers Феликс Хаусдорф (1868–1942): Vorläufige Bemerkungen in systematischer Absicht. В: Хубер, М.; Лауэр, Г. (Hrsg.): Nach der Sozialgeschichte - Konzepte für eine Literaturwissenschaft zwischen Historischer Anthropologie, Kulturgeschichte und Medientheorie. Макс Нимейер Верлаг, Тюбинген, 2000 г., С. 551–573.
• Вагон, С.: Парадокс Банаха–Тарского . Cambridge Univ. Press, Кембридж, 1993.
• Lexikon deutsch-jüdischer Autoren  [de] , Band 10, Saur, München 2002, S. 262–268

• Сходимость Громова–Хаусдорфа
• расстояние Хаусдорфа
• щель Хаусдорфа
• Морис Рене Фреше
• Медаль Хаусдорфа

• Феликс Хаусдорф в проекте «Генеалогия математики»
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Феликс Хаусдорф», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Домашняя страница издания Hausdorff (на немецком языке)
• Hausdorff Findbuch
• Центр математики имени Хаусдорфа в Бонне
• Мемориал «Столперштейн» в последнем доме Хаусдорфа в Бонне.