Парадокс Банаха–Тарского (книга)
Книга о математическом парадоксе

Парадокс Банаха-Тарского
Первое издание
АвторСтэн Вагон
РядЭнциклопедия математики и ее приложений
ПредметПарадокс Банаха- Тарского
ИздательИздательство Кембриджского университета
Дата публикации
1985

Парадокс Банаха–Тарского — математическая книга о парадоксе Банаха–Тарского , томе, что единичный шар можно разбить на конечное число подмножеств и собрать заново, чтобы сформировать два единичных шара. Она была написана Стэном Вагоном и опубликована в 1985 году издательством Cambridge University Press в качестве 24-го тома их серии книг Encyclopedia of Mathematics and its Applications. [1] [2] [3] [4] [5] Второе издание в 1986 году добавило две страницы в качестве приложения, а издание в мягкой обложке 1993 года добавило новое предисловие. [6] В 2016 году издательство Cambridge University Press опубликовало второе издание, добавив Гжегожа Томковича в качестве соавтора, в качестве 163-го тома той же серии. [7] [8] Комитет по списку основных библиотек Математической ассоциации Америки рекомендовал включить ее в библиотеки по математике для студентов бакалавриата. [8]

Темы

Парадокс Банаха–Тарского, доказанный Стефаном Банахом и Альфредом Тарским в 1924 году, утверждает, что возможно разбить трехмерный единичный шар на конечное число частей и собрать их в два единичных шара, один шар большей или меньшей площади или любое другое ограниченное множество с непустой внутренней частью . Хотя это математическая теорема, ее называют парадоксом, потому что она настолько противоречит интуиции; в предисловии к книге Ян Мычельский называет ее самым удивительным результатом в математике. Она тесно связана с теорией меры и отсутствием меры на всех подмножествах трехмерного пространства, инвариантной относительно всех конгруэнций пространства, а также с теорией парадоксальных множеств в свободных группах и представлением этих групп трехмерными вращениями , используемыми в доказательстве парадокса. Тема книги — парадокс Банаха–Тарского, его доказательство и множество связанных с ним результатов, которые с тех пор стали известны. [3] [5]

Книга разделена на две части, первая о существовании парадоксальных разложений, а вторая об условиях, которые препятствуют их существованию. [1] [7] После двух глав справочного материала, первая часть доказывает сам парадокс Банаха–Тарского, рассматривает многомерные пространства и неевклидову геометрию , изучает количество частей, необходимых для парадоксального разложения, и находит аналогичные парадоксу Банаха–Тарского результаты для одномерных и двумерных множеств. Вторая часть включает связанную теорему Тарского о том, что конгруэнтно-инвариантные конечно-аддитивные меры препятствуют существованию парадоксальных разложений, теорему о том, что мера Лебега является единственной такой мерой на измеримых по Лебегу множествах, материал об аменабельных группах , связи с аксиомой выбора и теоремой Хана–Банаха . [3] [7] Три приложения описывают евклидовы группы , меру Жордана и коллекцию открытых проблем. [1]

Второе издание добавляет материал о нескольких недавних результатах в этой области, во многих случаях вдохновленных первым изданием книги. Тревор Уилсон доказал существование непрерывного движения от сборки из одного шара к сборке из двух шаров, сохраняя множества разбиения непересекающимися во все времена; этот вопрос был поставлен де Гроотом в первом издании книги. [7] [9] Миклош Лачкович решил задачу Тарского о квадратуре круга , попросив разбить диск на квадрат той же площади, в 1990 году. [7] [8] [10] А Эдвард Марчевский спросил в 1930 году, можно ли достичь парадокса Банаха–Тарского, используя только множества Бэра ; положительный ответ был найден в 1994 году Рэндаллом Догерти и Мэтью Форманом . [8] [11]

Аудитория и прием

Книга написана на уровне, доступном для аспирантов-математиков, но содержит обзор исследований в этой области, который также должен быть полезен более продвинутым исследователям. [3] Начальные части книги, включая доказательство парадокса Банаха-Тарского, также должны быть доступны для прочтения студентами-математиками. [4]

Рецензент Влодзимеж Бзыл пишет, что «эта прекрасная книга написана с заботой и, безусловно, заслуживает прочтения». [2] Рецензент Джон Дж. Уоткинс пишет, что первое издание книги «стало классическим текстом по парадоксальной математике», а второе издание «превзошло все возможные ожидания, которые я мог бы иметь относительно расширения книги, которую я и так глубоко ценил». [8]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc Люксембург, WAJ , «Обзор парадокса Банаха-Тарского (1-е изд.)», zbMATH , Zbl  0569.43001
  2. ^ ab Bzyl, Włodzimierz (1987), "Обзор парадокса Банаха–Тарского (1-е изд.)", Mathematical Reviews , MR  0803509
  3. ^ abcd Гарднер, Р. Дж. (март 1986 г.), «Обзор парадокса Банаха–Тарского (1-е изд.)», Бюллетень Лондонского математического общества , 18 (2): 207– 208, doi :10.1112/blms/18.2.207
  4. ^ ab Henson, C. Ward (июль–август 1987 г.), American Scientist , 75 (4): 436, JSTOR  27854763{{citation}}: CS1 maint: безымянное периодическое издание ( ссылка )
  5. ^ ab Mycielski, Jan (август–сентябрь 1987), American Mathematical Monthly , 94 (7): 698– 700, doi :10.2307/2322243, JSTOR  2322243{{citation}}: CS1 maint: безымянное периодическое издание ( ссылка )
  6. ↑ Форман, Мэтью (июнь 1995 г.), «Обзор парадокса Банаха–Тарского (издание 1993 г., мягкая обложка)», Журнал символической логики , 60 (2): 698, doi :10.2307/2275867, JSTOR  2275867
  7. ^ abcde Харт, Клаас Питер, «Обзор парадокса Банаха–Тарского (2-е изд.)», Mathematical Reviews , MR  3616119
  8. ^ abcde Уоткинс, Джон Дж. (июль 2017 г.), «Обзор парадокса Банаха–Тарского (2-е изд.)», MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
  9. ^ Уилсон, Тревор М. (2005), «Версия парадокса Банаха–Тарского с непрерывным движением: решение проблемы де Гроота», Журнал символической логики , 70 (3): 946–952 , CiteSeerX 10.1.1.502.6600 , doi :10.2178/jsl/1122038921, MR  2155273, S2CID  15825008 
  10. ^ Лашкович, М. (1990), «Равноразложимость и несоответствие; решение задачи Тарского о квадратуре круга», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1990 (404): 77–117 , doi : 10.1515/crll.1990.404.77 , МР  1037431, S2CID  117762563
  11. ^ Догерти, Рэндалл ; Форман, Мэтью (1994), «Разложения Банаха–Тарского с использованием множеств со свойством Бэра», Журнал Американского математического общества , 7 (1): 75– 124, doi : 10.2307/2152721 , JSTOR  2152721, MR  1227475
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Парадокс_Банаха–Тарского_(книга)&oldid=1252278401"