плотность Хаусдорфа

В теории меры , области математики, плотность Хаусдорфа измеряет, насколько сконцентрирована мера Радона в некоторой точке.

Пусть будет мерой Радона и некоторая точка в евклидовом пространстве . S -мерные верхняя и нижняя плотности Хаусдорфа определяются как, соответственно, ${\displaystyle \мю}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Theta ^{*s}(\mu ,a)=\limsup _{r\rightarrow 0}{\frac {\mu (B_{r}(a))}{r^{s}}}}$

и

${\displaystyle \Theta _{*}^{s}(\mu ,a)=\liminf _{r\rightarrow 0}{\frac {\mu (B_{r}(a))}{r^{s}}}}$

где — шар радиуса r > 0 с центром в точке a . Очевидно, что для всех . В случае, если они равны, мы называем их общее значение s-плотностью в точке a и обозначаем его .${\displaystyle B_{r}(a)}$${\displaystyle \Theta _{*}^{s}(\mu ,a)\leq \Theta ^{*s}(\mu ,a)}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \Theta^{s}(\mu ,a)}$

Следующая теорема утверждает, что случаи, когда s -плотность существует, довольно редки.

Теорема Марстранда: Пусть будет мерой Радона на . Предположим, что s -плотность существует, положительна и конечна для a в множестве положительной меры. Тогда s - целое число.${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \Theta^{s}(\mu ,a)}$${\displaystyle \мю}$

В 1987 году Дэвид Прейсс доказал более сильную версию теоремы Марстранда. Одним из следствий является то, что множества с положительной и конечной плотностью являются спрямляемыми множествами .

Теорема Прейсса: Пусть будет мерой Радона на . Предположим, что m — целое число, а m -плотность существует и положительна и конечна для почти каждого a в носителе . Тогда является m -спрямляемым, т.е. ( абсолютно непрерывным относительно меры Хаусдорфа ), а носитель является m -спрямляемым множеством.${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \geq 1}$${\displaystyle \Тета ^{м}(\мю ,а)}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \mu \ll H^{m}}$${\displaystyle \мю}$ ${\displaystyle H^{м}}$${\displaystyle \мю}$

• Плотность множества в Энциклопедии математики
• Выпрямляемое множество в Encyclopedia of Mathematics

• Пертти Маттила , Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах. Cambridge Press, 1995.
• Прейсс, Дэвид (1987). «Геометрия мер в : распределение, выпрямляемость и плотности». Ann. Math . 125 (3): 537–643. doi :10.2307/1971410. hdl : 10338.dmlcz/133417 . JSTOR  1971410.${\displaystyle R^{n}}$