Гиперцелое число

В нестандартном анализе гиперцелое число n — это гипердействительное число , равное своей целой части . Гиперцелое число может быть как конечным, так и бесконечным. Конечное гиперцелое число — это обычное целое число . Примером бесконечного гиперцелого числа является класс последовательности ( 1, 2, 3, ...) в сверхстепенной конструкции гипердействительных чисел.

Стандартная функция целой части :

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

определено для всех действительных x и равно наибольшему целому числу, не превосходящему x . По принципу переноса нестандартного анализа существует естественное расширение:

${\displaystyle {}^{*}\!\lэтаж \,\cdot \,\rэтаж }$

определено для всех гиперреальных x , и мы говорим, что x является гиперцелым числом, если Таким образом, гиперцелые числа являются образом функции целой части на гиперреальных числах.${\displaystyle x={}^{*}\!\lэтаж x\rэтаж .}$

Множество всех гиперцелых чисел является внутренним подмножеством гипердействительной прямой . Множество всех конечных гиперцелых чисел (т.е. само по себе) не является внутренним подмножеством. Элементы дополнения называются, в зависимости от автора, нестандартными , неограниченными или бесконечными гиперцелыми числами. Обратное бесконечному гиперцелому числу всегда является бесконечно малым .${\displaystyle ^{*}\mathbb {Z} }$${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle ^{*}\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} }$

Неотрицательные гиперцелые числа иногда называют гипернатуральными числами. Аналогичные замечания применимы к множествам и . Обратите внимание, что последнее дает нестандартную модель арифметики в смысле Сколема .${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle ^{*}\mathbb {N} }$

• Howard Jerome Keisler : Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach . Первое издание 1976; второе издание 1986. Эта книга больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил второе издание в формате .pdf для скачивания по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html