Свойство наименьшей верхней границы

Свойство частично упорядоченного множества

{\displaystyle М} — Каждое непустое подмножество действительных чисел , ограниченное сверху, имеет наименьшую верхнюю границу. $М$ $\mathbb {R}$

В математике свойство наименьшей верхней границы (иногда называемое полнотой , свойством супремума или свойством lub ) ^[1] является фундаментальным свойством действительных чисел . В более общем смысле, частично упорядоченное множество $X$ обладает свойством наименьшей верхней границы, если каждое непустое подмножество X с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу (супремум) в $X.$ Не каждое (частично) упорядоченное множество обладает свойством наименьшей верхней границы. Например, множество $всех$ рациональных чисел с его естественным порядком не обладает свойством наименьшей верхней границы. $\mathbb {Q}$

Свойство наименьшей верхней границы является одной из форм аксиомы полноты для действительных чисел и иногда называется полнотой Дедекинда . ^[2] Его можно использовать для доказательства многих фундаментальных результатов действительного анализа , таких как теорема о промежуточном значении , теорема Больцано–Вейерштрасса , теорема об экстремальном значении и теорема Гейне–Бореля . Обычно его принимают в качестве аксиомы в синтетических конструкциях действительных чисел , и оно также тесно связано с построением действительных чисел с использованием сечений Дедекинда .

В теории порядка это свойство можно обобщить до понятия полноты для любого частично упорядоченного множества . Линейно упорядоченное множество , которое является плотным и имеет свойство наименьшей верхней границы, называется линейным континуумом .

Заявление о собственности

Заявление для действительных чисел

Пусть $S$ — непустое множество действительных чисел .

Действительное число $x$ называется верхней границей для $S,$ если x $\geq s для$ всех $s \in S.$
Действительное число $x$ является точной верхней границей (или супремумом ) для $S,$ если x $является$ верхней границей для $S$ и $x \leq y$ для каждой верхней границы $y$ для $S.$

Свойство наименьшей верхней границы утверждает, что любой непустой набор действительных чисел, имеющий верхнюю границу, должен иметь наименьшую верхнюю границу действительных чисел .

Обобщение на упорядоченные множества

{\displaystyle \left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}} — *Красный:* множество . *Синий:* множество его верхних границ в . $\left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}$ $\mathbf {Q}$

В более общем смысле можно определить верхнюю границу и наименьшую верхнюю границу для любого подмножества частично упорядоченного множества X $,$ заменив «действительное число» на «элемент $X$ ». В этом случае мы говорим, что $X$ имеет свойство наименьшей верхней границы , если каждое непустое подмножество $X$ с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу в $X.$

Например, множество $Q$ рациональных чисел не имеет свойства наименьшей верхней границы при обычном порядке. Например, множество

\left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}=\mathbf {Q} \cap \left(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right)

имеет верхнюю границу в $Q$ , но не имеет наименьшей верхней границы в $Q$ (так как квадратный корень из двух иррационален ). Построение действительных чисел с использованием сечений Дедекинда использует эту неудачу, определяя иррациональные числа как наименьшие верхние границы определенных подмножеств рациональных чисел.

Доказательство

Логический статус

Свойство наименьшей верхней границы эквивалентно другим формам аксиомы полноты , таким как сходимость последовательностей Коши или теорема о вложенных интервалах . Логический статус свойства зависит от конструкции используемых действительных чисел : в синтетическом подходе свойство обычно принимается как аксиома для действительных чисел (см. аксиома наименьшей верхней границы ); в конструктивном подходе свойство должно быть доказано как теорема , либо непосредственно из конструкции, либо как следствие какой-либо другой формы полноты.

Доказательство с использованием последовательностей Коши

Можно доказать свойство наименьшей верхней границы, используя предположение, что каждая последовательность Коши действительных чисел сходится. Пусть $S$ — непустое множество действительных чисел. Если $S$ имеет ровно один элемент, то его единственный элемент является наименьшей верхней границей. Поэтому рассмотрим $S$ с более чем одним элементом и предположим, что $S$ имеет верхнюю границу $B 1$ . Поскольку $S$ непусто и имеет более одного элемента, существует действительное число $A 1 ,$ которое не является верхней границей для $S$ . Определим последовательности $A 1, A 2, A 3, ...$ и $B 1, B 2, B 3, ...$ рекурсивно следующим образом:

Проверьте, является ли $(A n + B n) ⁄ 2$ верхней границей для $S$ .
Если это так, то пусть $A n +1 = A n$ и пусть $B n +1 = (A n + B n) ⁄ 2$ .
В противном случае в $S$ должен быть элемент $s$ , такой что $s$ $>($ $A$ $n$ $+$ $B$ $n$ $) ⁄ 2.$ Пусть $A$ $n$ $+1$ $=$ $s$ и пусть $B$ $n$ $+1$ $=$ $B$ $n$ .

Тогда $A 1 \leq A 2 \leq A 3 \leq \dots \leq B 3 \leq B 2 \leq B 1$ и $| An - B n | \to 0$ при $n \to \infty . Отсюда следует$ $,$ что обе последовательности являются последовательностями Коши и имеют один и тот же предел $L$ , который должен быть наименьшей верхней границей для $S$ .

Приложения

$Свойство R$ иметь наименьшую верхнюю границу можно использовать для доказательства многих основных основополагающих теорем в реальном анализе .

Теорема о промежуточном значении

Пусть $f : [a, b] \to R$ — непрерывная функция , и предположим, что $f (a) < 0$ и $f (b) > 0$ . В этом случае теорема о промежуточном значении утверждает, что $f$ должна иметь корень в интервале $[a, b]$ . Эту теорему можно доказать, рассмотрев множество

S = {s \in [a, b]: f (x) < 0 для всех x \leq s}

.

То есть $S$ — это начальный сегмент $[a, b],$ который принимает отрицательные значения при $f$ . Тогда $b$ — верхняя граница для $S$ , а наименьшая верхняя граница должна быть корнем $f$ .

Теорема Больцано–Вейерштрасса

Теорема Больцано–Вейерштрасса для $R$ утверждает, что каждая последовательность $x n$ действительных чисел в замкнутом интервале $[a, b]$ должна иметь сходящуюся подпоследовательность . Эту теорему можно доказать, рассмотрев множество

S = {s \in [a, b]: s \leq x n для бесконечного числа n}

Очевидно, , и $S$ не пусто. Кроме того, $b$ является верхней границей для $S$ , поэтому $S$ имеет наименьшую верхнюю границу $c$ . Тогда $c$ должна быть предельной точкой последовательности $x$ $n$ , и отсюда следует, что $x$ $n$ имеет подпоследовательность, которая сходится к $c$ . $a\in S$

Теорема об экстремальном значении

Пусть $f : [a, b] \to R$ — непрерывная функция и пусть $M = sup f ([a, b])$ , где $M = \infty ,$ если $f ([a, b])$ не имеет верхней границы. Теорема об экстремальном значении утверждает, что $M$ конечна и $f (c) = M$ для некоторого $c \in [a, b]$ . Это можно доказать, рассмотрев множество

S = {s \in [a, b] : sup f ([s, b]) = M}

.

По определению $M$ , $a \in S$ , и по его собственному определению, $S$ ограничено $b$ . Если $c$ — точная верхняя граница $S$ , то из непрерывности следует, что $f (c) = M.$

Теорема Гейне–Бореля

Пусть $[a, b]$ — замкнутый интервал в $R$ , и пусть ${U α}$ — набор открытых множеств , который покрывает $[a, b]$ . Тогда теорема Гейне–Бореля утверждает, что некоторая конечная подгруппа ${U α}$ также покрывает $[a, b]$ . Это утверждение можно доказать, рассмотрев набор

S = {s \in [a, b]: [a, s] может быть покрыто конечным числом U α}

.

Множество $S$ , очевидно, содержит $a$ и ограничено $b$ по построению. По свойству наименьшей верхней границы $S$ имеет наименьшую верхнюю границу $c \in [a, b]$ . Следовательно, $c$ само является элементом некоторого открытого множества $U α$ $, и для c < b$ следует , что $[a, c + δ]$ может быть покрыто конечным числом $U α$ для некоторого достаточно малого $δ > 0$ . Это доказывает, что $c + δ \in S$ и $c$ не является верхней границей для $S$ . Следовательно, $c = b$ .

История

Важность собственности с наименьшей верхней границей была впервые признана Бернаром Больцано в его статье 1817 года « Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung Liege» . ^[3]

Смотрите также

Список реальных тем анализа

Примечания

^ Бартл и Шерберт (2011) определяют «свойство полноты» и говорят, что его также называют «свойством супремума». (стр. 39)
^ Уиллард говорит, что упорядоченное пространство «X является дедекиндово полным, если каждое подмножество X, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу» (стр. 124-5, задача 17E).
^ Раман-Сундстрём, Манья (август–сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». American Mathematical Monthly . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. S2CID 119936587.

Ссылки

Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Бакалаврские тексты по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
Aliprantis, Charalambos D ; Burkinshaw, Owen (1998). Принципы реального анализа (Третье изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7.

Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
Брессо, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: Введение . Бакалаврские тексты по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
Данжелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN 978-0-395-95933-6.
Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Уолтер Рудин, студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 9780486434797.

[1] Бартл и Шерберт (2011) определяют «свойство полноты» и говорят, что его также называют «свойством супремума». (стр. 39)

[2] Уиллард говорит, что упорядоченное пространство «X является дедекиндово полным, если каждое подмножество X, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу» (стр. 124-5, задача 17E).

[Sundström-3] Раман-Сундстрём, Манья (август–сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». American Mathematical Monthly . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. S2CID 119936587.