Супералгебра

В математике и теоретической физике супералгебра — это Z2 - градуированная алгебра _. [ ^1] То есть это алгебра над коммутативным кольцом или полем с разложением на «чётные» и «нечётные» части и оператором умножения, который учитывает градуировку.

Префикс super- происходит от теории суперсимметрии в теоретической физике. Супералгебры и их представления, супермодули , обеспечивают алгебраическую основу для формулирования суперсимметрии. Изучение таких объектов иногда называют суперлинейной алгеброй . Супералгебры также играют важную роль в смежной области супергеометрии , где они входят в определения градуированных многообразий , супермногообразий и суперсхем.

Пусть K — коммутативное кольцо . В большинстве приложений K — поле характеристики 0 , такое как R или C.

Супералгебра над K — это K -модуль A с разложением в прямую сумму

${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$

вместе с билинейным умножением A × A → A таким, что

${\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

где индексы читаются по модулю 2, т.е. они рассматриваются как элементы Z ₂ .

Суперкольцо , или Z 2 _- градуированное кольцо , — это супералгебра над кольцом целых чисел Z.

Элементы каждого из A _i называются однородными . Четность однородного элемента x , обозначаемая как | x |, равна 0 или 1 в зависимости от того, находится ли он в A ₀ или A _1. Элементы с четностью 0 называются четными , а с четностью 1 — нечетными . Если x и y оба однородны, то таковыми являются и произведение xy и .${\displaystyle |ху|=|х|+|у|}$

Ассоциативная супералгебра — это супералгебра, умножение которой ассоциативно , а унитальная супералгебра — это супералгебра с мультипликативным единичным элементом . Единичный элемент в унитальной супералгебре обязательно четный. Если не указано иное, все супералгебры в этой статье предполагаются ассоциативными и единичными.

Коммутативная супералгебра (или суперкоммутативная алгебра) — это та, которая удовлетворяет градуированной версии коммутативности . В частности, A является коммутативной, если

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy\,}$

для всех однородных элементов x и y из A. Существуют супералгебры, которые коммутативны в обычном смысле, но не в смысле супералгебры. По этой причине коммутативные супералгебры часто называют суперкоммутативными , чтобы избежать путаницы. ^[2]

Когда градуировка Z ₂ возникает как «свертка» градуированной алгебры Z или N на четные и нечетные компоненты, то в литературе можно найти два различных (но по сути эквивалентных) соглашения о знаках. ^[3] Их можно назвать «когомологическим соглашением о знаках» и «суперсоглашением о знаках». Они различаются тем, как ведет себя антипод (обмен двух элементов). В первом случае имеет место карта обмена

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{mn+pq}yx}$

где - степень ( Z- или N -градуировка) и четности. Аналогично, - степень и с четностью Это соглашение обычно встречается в обычных математических установках, таких как дифференциальная геометрия и дифференциальная топология. Другое соглашение заключается в том, чтобы взять ${\displaystyle m=\deg x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n=\deg y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle q.}$

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{pq}yx}$

с четностями, заданными как и четность. Это чаще встречается в текстах по физике и требует разумного использования функтора четности для отслеживания изоморфизмов. Подробные аргументы предоставлены Пьером Делинем ^[3]${\displaystyle p=m{\bmod {2}}}$${\displaystyle q=n{\bmod {2}}}$

• Любую алгебру над коммутативным кольцом K можно рассматривать как чисто четную супералгебру над K , то есть, считая A ₁ тривиальным.
• Любая Z- или N - градуированная алгебра может рассматриваться как супералгебра, если прочесть градуировку по модулю 2. Это включает в себя такие примеры, как тензорные алгебры и кольца многочленов над K.
• В частности, любая внешняя алгебра над K является супералгеброй. Внешняя алгебра является стандартным примером суперкоммутативной алгебры .
• Симметричные многочлены и знакопеременные многочлены вместе образуют супералгебру, являясь четной и нечетной частями соответственно. Обратите внимание, что это градуировка, отличная от градуировки по степени.
• Алгебры Клиффорда являются супералгебрами. Они, как правило, некоммутативны.
• Множество всех эндоморфизмов (обозначаемых , где жирный шрифт называется внутренним , состоящим из всех линейных отображений) супервекторного пространства образует супералгебру относительно композиции.${\displaystyle \mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)}$${\displaystyle \mathrm {Hom} }$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$
• Множество всех квадратных суперматриц с элементами в K образует супералгебру, обозначаемую M _{p | q} ( K ). Эта алгебра может быть отождествлена ​​с алгеброй эндоморфизмов свободного супермодуля над K ранга p | q и является внутренним Hom указанного выше пространства.
• Супералгебры Ли являются градуированным аналогом алгебр Ли . Супералгебры Ли неунитальны и неассоциативны; однако можно построить аналог универсальной обертывающей алгебры супералгебры Ли, которая является унитальной, ассоциативной супералгеброй.

Пусть A — супералгебра над коммутативным кольцом K. Подмодуль A ₀ , состоящий из всех четных элементов, замкнут относительно умножения и содержит единицу A и, следовательно , образует подалгебру A , естественно называемую четной подалгеброй . Она образует обычную алгебру над K .

Множество всех нечетных элементов A ₁ является A ₀ -бимодулем , скалярное умножение которого является просто умножением в A . Произведение в A снабжает A ₁ билинейной формой

${\displaystyle \mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}}$

такой что

${\displaystyle \mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)}$

для всех x , y и z в A _1. Это следует из ассоциативности произведения в A.

На любой супералгебре существует канонический инволютивный автоморфизм , называемый инволюцией градуировки . Он задается на однородных элементах как

${\displaystyle {\hat {x}}=(-1)^{|x|}x}$

и на произвольных элементах по

${\displaystyle {\hat {x}}=x_{0}-x_{1}}$

где x _i — однородные части x . Если A не имеет 2-кручения (в частности, если 2 обратимо), то инволюцию градации можно использовать для различения четных и нечетных частей A :

${\displaystyle A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.}$

Суперкоммутатор на A — это бинарный оператор, заданный формулой

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$

на однородных элементах, расширенное по линейности на все A. Элементы x и y из A называются суперкоммутирующими , если [ x , y ] = 0 .

Суперцентр A — это множество всех элементов A , которые суперкоммутируют со всеми элементами A :

${\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.}$

Суперцентр A , в общем случае, отличается от центра A как неградуированной алгебры . Коммутативная супералгебра — это та , суперцентр которой — весь A.

Градуированное тензорное произведение двух супералгебр A и B можно рассматривать как супералгебру A ⊗ B с правилом умножения, определяемым формулой:

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).}$

Если A или B чисто четные, это эквивалентно обычному неградуированному тензорному произведению (за исключением того, что результат градуирован). Однако, в общем случае, супертензорное произведение отличается от тензорного произведения A и B, рассматриваемых как обычные неградуированные алгебры.

Определение супералгебр можно легко обобщить, включив в него супералгебры над коммутативным суперкольцом. Приведенное выше определение является тогда специализацией на случай, когда базовое кольцо является чисто четным.

Пусть R — коммутативное суперкольцо. Супералгебра над R — это R -супермодуль A с R -билинейным умножением A × A → A , которое сохраняет градуировку. Билинейность здесь означает, что

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)}$

для всех однородных элементов r ∈ R и x , y ∈ A .

Эквивалентно, можно определить супералгебру над R как суперкольцо A вместе с суперкольцевым гомоморфизмом R → A , образ которого лежит в суперцентре A.

Можно также определить супералгебры категорически . Категория всех R -супермодулей образует моноидальную категорию относительно супертензорного произведения с R, выступающим в качестве единичного объекта. Ассоциативная, унитальная супералгебра над R может быть тогда определена как моноид в категории R -супермодулей. То есть, супералгебра - это R -супермодуль A с двумя (четными) морфизмами

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}}$

для которых обычные диаграммы коммутируют.

• Делинь, П.; Морган, Дж. В. (1999). «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернстайном)». Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том 1. Американское математическое общество. стр. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.

• Кац, В. Г .; Мартинес, К.; Зельманов, Э. (2001). Градуированные простые йордановы супералгебры роста один. Мемуары серии AMS. Том 711. Книжный магазин AMS. ISBN 978-0-8218-2645-4.

• Манин, Й.И. (1997). Калибровочная теория поля и комплексная геометрия ((2-е изд.) ред.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-61378-1.

• Варадараджан, ВС (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение. Courant Lecture Notes in Mathematics. Том 11. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3574-6.