Знакопеременный многочлен

В алгебре знакопеременный многочлен — это многочлен, такой, что если поменять местами любые две переменные, многочлен изменит знак: ф ( х 1 , … , х н ) {\displaystyle f(x_{1},\точки,x_{n})}

ф ( х 1 , … , х дж , … , х я , … , х н ) = − ф ( х 1 , … , х я , … , х дж , … , х н ) . {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).}

Эквивалентно, если переставить переменные, то значение полинома изменится на знак перестановки :

ф ( х σ ( 1 ) , … , х σ ( н ) ) = с г н ( σ ) ф ( х 1 , … , х н ) . {\displaystyle f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).}

В более общем смысле полином называется знакопеременным, если он меняет знак при перестановке любых двух из , оставляя знак фиксированным. [1] ф ( х 1 , … , х н , у 1 , … , у т ) {\displaystyle f(x_{1},\точки,x_{n},y_{1},\точки,y_{t})} х 1 , … , х н {\displaystyle x_{1},\точки ,x_{n}} х я {\displaystyle x_{i}} у дж {\displaystyle y_{j}}

Связь с симметричными многочленами

Произведения симметричных и знакопеременных многочленов (от тех же переменных ) ведут себя следующим образом: х 1 , … , х н {\displaystyle x_{1},\точки ,x_{n}}

  • произведение двух симметричных многочленов симметрично,
  • произведение симметричного многочлена и знакопеременного многочлена является знакопеременным, и
  • произведение двух знакопеременных многочленов симметрично.

Это в точности таблица сложения для четности , где «симметричный» соответствует «четному», а «переменный» — «нечетному». Таким образом, прямая сумма пространств симметричных и знакопеременных многочленов образует супералгебру ( a - градуированную алгебру ), где симметричные многочлены являются четной частью, а знакопеременные многочлены — нечетной. Эта градуировка не связана с градуировкой многочленов по степени . З 2 {\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}

В частности, знакопеременные многочлены образуют модуль над алгеброй симметрических многочленов (нечетная часть супералгебры является модулем над четной частью); фактически это свободный модуль ранга 1 с многочленом Вандермонда от n переменных в качестве генератора.

Если характеристика кольца коэффициентов равна 2, то разницы между этими двумя понятиями нет: знакопеременные многочлены — это в точности симметричные многочлены.

полином Вандермонда

Основной знакопеременный многочлен — это многочлен Вандермонда :

в н = ∏ 1 ≤ я < дж ≤ н ( х дж − х я ) . {\displaystyle v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}

Это явно чередование, поскольку переключение двух переменных изменяет знак одного члена и не изменяет другие. [2]

Знакопеременные многочлены — это в точности многочлен Вандермонда, умноженный на симметричный многочлен: где симметрично. Это потому, что: а = в н ⋅ с {\displaystyle a=v_{n}\cdot s} с {\displaystyle с}

  • в н {\displaystyle v_{n}} является множителем каждого знакопеременного многочлена: является множителем каждого знакопеременного многочлена, как если бы , многочлен был равен нулю (поскольку их переключение не меняет многочлен, мы получаем ( х дж − х я ) {\displaystyle (x_{j}-x_{i})} х я = х дж {\displaystyle x_{i}=x_{j}}
ф ( х 1 , … , х я , … , х дж , … , х н ) = ф ( х 1 , … , х дж , … , х я , … , х н ) = − ф ( х 1 , … , х я , … , х дж , … , х н ) , {\displaystyle f(x_{1},\dots,x_{i},\dots,x_{j},\dots,x_{n})=f(x_{1},\dots,x_{j},\dots,x_{i},\dots,x_{n})=-f(x_{1},\dots,x_{i},\dots,x_{j},\dots,x_{n}),}
так что является фактором), и, таким образом, является фактором. ( х дж − х я ) {\displaystyle (x_{j}-x_{i})} в н {\displaystyle v_{n}}
  • знакопеременный многочлен, умноженный на симметричный многочлен, является знакопеременным многочленом; таким образом, все кратные являются знакопеременными многочленами в н {\displaystyle v_{n}}

Наоборот, отношение двух знакопеременных многочленов является симметричной функцией, возможно рациональной (не обязательно многочленом), хотя отношение знакопеременного многочлена к многочлену Вандермонда является многочленом. Многочлены Шура определяются таким образом, как знакопеременный многочлен, деленный на многочлен Вандермонда.

Кольцевая структура

Таким образом, если обозначить кольцо симметричных многочленов через Λ n , то кольцо симметричных и знакопеременных многочленов будет иметь вид , или, точнее , , где — симметричный многочлен, дискриминант . Λ н [ в н ] {\displaystyle \Лямбда _{n}[v_{n}]} Λ н [ в н ] / ⟨ в н 2 − Δ ⟩ {\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle } Δ = в н 2 {\displaystyle \Delta =v_{n}^{2}}

То есть кольцо симметричных и знакопеременных многочленов является квадратичным расширением кольца симметричных многочленов, к которому присоединен квадратный корень дискриминанта.

В качестве альтернативы можно использовать:

Р [ е 1 , … , е н , в н ] / ⟨ в н 2 − Δ ⟩ . {\displaystyle R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .}

Если 2 необратим, ситуация несколько иная, и нужно использовать другой многочлен и получить другое соотношение; см. Романьи. Вт н {\displaystyle W_{n}}

Теория представления

С точки зрения теории представлений симметричные и знакопеременные многочлены являются подпредставлениями действия симметрической группы на n буквах на кольце многочленов от n переменных. (Формально симметрическая группа действует на n буквах и, таким образом, действует на производные объекты, в частности, на свободные объекты на n буквах, такие как кольцо многочленов.)

Симметрическая группа имеет два одномерных представления: тривиальное представление и знаковое представление. Симметричные многочлены являются тривиальным представлением, а знаковые многочлены являются знаковым представлением. Формально, скалярная оболочка любого симметричного (соответственно, знакового) многочлена является тривиальным (соответственно, знаковым) представлением симметричной группы, и умножение многочленов тензорами представлений.

В характеристике 2 это не отдельные представления, и анализ более сложен.

Если , то существуют и другие подпредставления действия симметрической группы на кольце многочленов, как обсуждается в теории представлений симметрической группы . н > 2 {\displaystyle n>2}

Нестабильный

Знакопеременные многочлены являются нестабильным явлением: кольцо симметрических многочленов от n переменных может быть получено из кольца симметрических многочленов от произвольного числа переменных путем оценки всех переменных выше до нуля: симметрические многочлены, таким образом, стабильны или совместимым образом определены. Однако это не относится к знакопеременным многочленам, в частности, к многочлену Вандермонда . х н {\displaystyle x_{n}}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Джамбруно и Зайцев (2005), с. 12.
  2. ^ Скорее, он только переставляет другие члены: для , переключение и изменяется на , и обменивается с , но не меняет их знак. н = 3 {\displaystyle n=3} х 1 {\displaystyle x_{1}} х 2 {\displaystyle x_{2}} ( х 2 − х 1 ) {\displaystyle (x_{2}-x_{1})} ( х 1 − х 2 ) = − ( х 2 − х 1 ) {\displaystyle (x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})} ( х 3 − х 1 ) {\displaystyle (x_{3}-x_{1})} ( х 3 − х 2 ) {\displaystyle (x_{3}-x_{2})}

Ссылки

  • Джамбруно, Антонио; Зайцев, Михаил (2005). Полиномиальные тождества и асимптотические методы. Том 122. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3829-7.
  • Основная теорема знакопеременных функций, Матье Романьи, 15 сентября 2005 г.
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Звенящий_многочлен&oldid=1238839928"