Число Эпсилон

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) В статье содержится список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2021 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Эта статья может оказаться слишком сложной для понимания большинством читателей .Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы сделать его понятным для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Январь 2023 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математике числа эпсилон представляют собой набор трансфинитных чисел , определяющим свойством которых является то, что они являются неподвижными точками экспоненциального отображения . Следовательно, они не достижимы из 0 посредством конечной серии применений выбранного экспоненциального отображения и «слабых» операций, таких как сложение и умножение. Первоначальные числа эпсилон были введены Георгом Кантором в контексте порядковой арифметики ; они являются порядковыми числами ε, которые удовлетворяют уравнению

${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,}$

в котором ω — наименьший бесконечный ординал.

Наименьшим таким ординалом является ε ₀ (произносится как эпсилон ноль (главным образом в Британии), эпсилон ноль (главным образом в Америке) или эпсилон ноль ), который можно рассматривать как «предел», полученный с помощью трансфинитной рекурсии из последовательности меньших предельных ординалов:

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup \left\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \right\}\,,}$

где sup — супремум , что эквивалентно объединению множеств в случае представления фон Неймана ординалов.

Более крупные порядковые неподвижные точки экспоненциального отображения индексируются порядковыми индексами, что приводит к . ^[1] Порядковое число ε ₀ по-прежнему счетно , как и любое число эпсилон, индекс которого счетен. Существуют также несчетные порядковые числа, наряду с несчетными числами эпсилон, индекс которых является несчетным порядковым числом.${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots \zeta _{0}=\varphi _{2}(0)}$

Наименьшее число эпсилон ε ₀ появляется во многих доказательствах индукции , поскольку для многих целей трансфинитная индукция требуется только до ε ₀ (как в доказательстве непротиворечивости Генцена и доказательстве теоремы Гудстейна ). Его использование Генценом для доказательства непротиворечивости арифметики Пеано , наряду со второй теоремой Гёделя о неполноте , показывают, что арифметика Пеано не может доказать обоснованность этого упорядочения (на самом деле это наименьшее порядковое число с этим свойством, и как таковое, в порядковом анализе с доказательствами , используется как мера силы теории арифметики Пеано).

Многие большие числа эпсилон можно определить с помощью функции Веблена .

Более общий класс эпсилон-чисел был выявлен Джоном Хортоном Конвеем и Дональдом Кнутом в сюрреалистической системе счисления , состоящей из всех сюрреалистов, которые являются неподвижными точками базового ω-экспоненциального отображения x → ω ^x .

Хессенберг (1906) определил гамма-числа (см. аддитивно неразложимый ординал ) как числа γ > 0, такие, что α + γ = γ, когда α < γ , и дельта-числа (см. мультипликативно неразложимый ординал ) как числа δ > 1, такие, что αδ = δ, когда 0 < α < δ , и эпсилон-числа как числа ε > 2, такие, что α ^ε = ε, когда 1 < α < ε . Его гамма-числа имеют вид ω ^β , а его дельта-числа имеют вид ω ^{ω β} .

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (February 2023) (Learn how and when to remove this message)

Стандартное определение порядкового возведения в степень с основанием α:

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1\,,}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\alpha ^{\beta -1}\cdot \alpha \,,}$когда имеет непосредственного предшественника .${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta -1}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\sup \lbrace \alpha ^{\delta }\mid 0<\delta <\beta \rbrace }$, всякий раз, когда является предельным ординалом .${\displaystyle \beta }$

Из этого определения следует, что для любого фиксированного ординала α > 1 отображение является нормальной функцией , поэтому оно имеет произвольно большие неподвижные точки по лемме о неподвижной точке для нормальных функций . Когда , эти неподвижные точки являются в точности порядковыми числами эпсилон.${\displaystyle \beta \mapsto \alpha ^{\beta }}$${\displaystyle \alpha =\omega }$

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup \left\lbrace 1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\ldots \right\rbrace \,,}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\lbrace {\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}}},\ldots \right\rbrace \,,}$когда имеет непосредственного предшественника .${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta -1}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \lbrace \varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \rbrace }$, когда — предельный ординал.${\displaystyle \beta }$

Потому что

${\displaystyle \omega ^{\varepsilon _{0}+1}=\omega ^{\varepsilon _{0}}\cdot \omega ^{1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega \,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot \omega )}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{\omega }=\varepsilon _{0}^{\omega }\,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{1+\omega }}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot {\varepsilon _{0}}^{\omega })}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}={\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}\,,}$

другая последовательность с тем же супремумом, , получается, если начать с 0 и возвести в степень с основанием ε ₀ :${\displaystyle \varepsilon _{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup \left\{1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\ldots \right\}.}$

Как правило, число эпсилон, индексированное любым порядковым числом, имеющим непосредственного предшественника, может быть построено аналогичным образом.${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle \beta -1}$

${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\{1,\varepsilon _{\beta -1},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}}},\dots \right\}.}$

В частности, независимо от того, является ли индекс β предельным ординалом, он является неподвижной точкой не только возведения в степень по основанию ω, но и возведения в степень по основанию δ для всех ординалов .${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle 1<\delta <\varepsilon _{\beta }}$

Поскольку числа эпсилон являются неограниченным подклассом порядковых чисел, они перечисляются с использованием самих порядковых чисел. Для любого порядкового числа , является наименьшим числом эпсилон (неподвижной точкой экспоненциального отображения), которое еще не находится в наборе . Может показаться, что это неконструктивный эквивалент конструктивного определения с использованием итерированного возведения в степень; но оба определения одинаково неконструктивны на шагах, индексированных предельными порядковыми числами, которые представляют собой трансфинитную рекурсию более высокого порядка, чем взятие супремума экспоненциального ряда.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle \{\varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \}}$

Следующие факты об эпсилон-числах легко доказать:

• Хотя это довольно большое число, оно все равно счетно , поскольку является счетным объединением счетных порядковых чисел; фактически, счетно тогда и только тогда, когда счетно.${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle \beta }$
• Объединение (или супремум) любого непустого множества чисел эпсилон является числом эпсилон; так, например, является числом эпсилон. Таким образом, отображение является нормальной функцией.$${\displaystyle \varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \}}$$${\displaystyle \beta \mapsto \varepsilon _{\beta }}$
• Начальным порядковым числом любого несчетного кардинального числа является число эпсилон.$${\displaystyle \alpha \geq 1\Rightarrow \varepsilon _{\omega _{\alpha }}=\omega _{\alpha }\,.}$$

Любое число ε имеет нормальную форму Кантора , что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для чисел ε. Ординалы, меньшие ε ₀ , однако, могут быть полезно описаны их нормальными формами Кантора, что приводит к представлению ε ₀ как упорядоченного множества всех конечных корневых деревьев , следующим образом. Любой ординал имеет нормальную форму Кантора , где k — натуральное число , и являются ординалами с , однозначно определяемыми . Каждый из ординалов , в свою очередь, имеет похожую нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, путем соединения корней деревьев, представляющих новый корень. (Это имеет следствием то, что число 0 представлено одним корнем, в то время как число представлено деревом, содержащим корень и один лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья, присоединенные к корню, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок на этих упорядоченных последовательностях поддеревьев. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится вполне упорядоченным множеством , порядок которого изоморфен ε ₀ .${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon }}$${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{0}}$${\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}}$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$${\displaystyle \alpha >\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{k}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$${\displaystyle 1=\omega ^{0}}$

Это представление связано с доказательством теоремы о гидре , которая представляет убывающие последовательности ординалов как теоретико-графовую игру.

Неподвижные точки «отображения эпсилон» образуют нормальную функцию, неподвижные точки которой образуют нормальную функцию; это известно как иерархия Веблена (функции Веблена с основанием φ ₀ ( α ) = ω ^α ). В обозначениях иерархии Веблена отображение эпсилон — это φ ₁ , а его неподвижные точки нумеруются как φ ₂ .${\displaystyle x\mapsto \varepsilon _{x}}$

Продолжая в том же духе, можно определить отображения φ _α для постепенно увеличивающихся ординалов α (включая, посредством этой разреженной формы трансфинитной рекурсии, предельные ординалы) с постепенно увеличивающимися наименьшими неподвижными точками φ _{α +1} (0) . Наименьший ординал, не достижимый из 0 с помощью этой процедуры, т. е. наименьший ординал α, для которого φ _α (0) = α , или, что эквивалентно, первая неподвижная точка отображения , — это ординал Фефермана–Шютте Γ ₀ . В теории множеств, где можно доказать существование такого ординала, имеется отображение Γ , которое перечисляет неподвижные точки Γ ₀ , Γ ₁ , Γ ₂ , ... из ; все они по-прежнему являются числами эпсилон, поскольку они лежат в образе φ _β для каждого β ≤ Γ ₀ , включая отображение φ _{1 ,} которое перечисляет числа эпсилон.${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$

В книге On Numbers and Games , классическом изложении сюрреалистических чисел , Джон Хортон Конвей привел ряд примеров концепций, которые имели естественные расширения от ординалов до сюрреалистов. Одной из таких функций является -map ; это отображение естественным образом обобщается, включая все сюрреалистические числа в своей области , что в свою очередь обеспечивает естественное обобщение нормальной формы Кантора для сюрреалистических чисел.${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n\mapsto \omega ^{n}}$

Естественно считать любую фиксированную точку этой расширенной карты числом эпсилон, независимо от того, является ли она строго порядковым числом. Вот некоторые примеры не порядковых чисел эпсилон

${\displaystyle \varepsilon _{-1}=\left\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\ldots \mid \varepsilon _{0}-1,\omega ^{\varepsilon _{0}-1},\ldots \right\}}$

и

${\displaystyle \varepsilon _{1/2}=\left\{\varepsilon _{0}+1,\omega ^{\varepsilon _{0}+1},\ldots \mid \varepsilon _{1}-1,\omega ^{\varepsilon _{1}-1},\ldots \right\}.}$

Существует естественный способ определить для каждого сюрреального числа n , и отображение остается сохраняющим порядок . Конвей продолжает определять более широкий класс «неприводимых» сюрреальных чисел, который включает числа эпсилон как особенно интересный подкласс.${\displaystyle \varepsilon _{n}}$

• Порядковая арифметика
• Большое счетное порядковое число