Состояние продукта матрицы

В квантовой механике состояние произведения матриц ( MPS ) представляет собой квантовое состояние многих частиц (в N узлах), записанное в следующем виде:

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} \left[A_{1}^{(s_{1})}A_{2}^{(s_{2})}\cdots A_{N}^{(s_{N})}\right]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle ,}$$

где — комплексные квадратные матрицы порядка (эта размерность называется локальной размерностью). Индексы идут по состояниям в вычислительном базисе. Для кубитов это . Для кудитов ( систем d -уровня) это .${\displaystyle A_{i}^{(s_{i})}}$${\displaystyle \чи}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{i}\in \{0,1\}}$${\displaystyle s_{i}\in \{0,1,\ldots ,d-1\}}$

Он особенно полезен для работы с основными состояниями одномерных квантовых спиновых моделей (например, модель Гейзенберга (квантовая) ). Параметр связан с запутанностью между частицами. В частности, если состояние является состоянием продукта (т.е. вообще не запутано), его можно описать как состояние продукта матрицы с .${\displaystyle \чи}$${\displaystyle \чи =1}$

Для состояний, которые являются трансляционно-симметричными, мы можем выбрать:$${\displaystyle A_{1}^{(s)}=A_{2}^{(s)}=\cdots =A_{N}^{(s)}\equiv A^{(s)}.}$$

В общем случае каждое состояние можно записать в виде MPS (с ростом экспоненциально с числом частиц N ). Однако MPS практичны, когда малы – например, не зависят от числа частиц. За исключением небольшого числа конкретных случаев (некоторые из которых упомянуты в разделе Примеры), такое невозможно, хотя во многих случаях это служит хорошим приближением.${\displaystyle \чи}$${\displaystyle \чи}$

Разложение MPS не является уникальным. Для введения см. ^[1] , ^[2] и. ^[3] В контексте конечных автоматов см. ^[4] Для акцента на графическом обосновании тензорных сетей см. введение. ^[5]

Один из методов получения представления квантового состояния в виде MPS заключается в использовании разложения Шмидта N − 1 раз. В качестве альтернативы, если известна квантовая схема , которая подготавливает состояние многих тел, можно сначала попытаться получить представление оператора матричного произведения схемы. Локальные тензоры в операторе матричного произведения будут четырьмя индексными тензорами. Локальный тензор MPS получается путем сжатия одного физического индекса локального тензора MPO с состоянием, которое вводится в квантовую схему в этом месте.

Состояние Гринбергера–Хорна–Цайлингера , которое для N частиц можно записать как суперпозицию N нулей и N единиц

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}}{\sqrt {2}}}}$

может быть выражено как состояние продукта матрицы, с точностью до нормализации, с

${\displaystyle A^{(0)}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad A^{(1)}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

или эквивалентно, используя обозначения из: ^[4]

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\0&|1\rangle \end{bmatrix}}.}$

Эта нотация использует матрицы, элементы которых являются векторами состояния (вместо комплексных чисел), а при умножении матриц используют тензорное произведение для своих элементов (вместо произведения двух комплексных чисел). Такая матрица строится как

${\displaystyle A\equiv |0\rangle A^{(0)}+|1\rangle A^{(1)}+\ldots +|d-1\rangle A^{(d-1)}.}$

Обратите внимание, что тензорное произведение не является коммутативным .

В этом конкретном примере произведение двух матриц A равно:

${\displaystyle AA={\begin{bmatrix}|00\rangle &0\\0&|11\rangle \end{bmatrix}}.}$

W state , т. е. суперпозиция всех вычислительных базисных состояний веса Хэмминга один.

${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}(|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle )}$

Несмотря на то, что состояние симметрично относительно перестановок, его простейшее представление MPS таковым не является. ^[1] Например:

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\|0\rangle &|1\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{2}={\begin{bmatrix}|0\rangle &|1\rangle \\0&|0\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{3}={\begin{bmatrix}|1\rangle &0\\0&|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

Волновая функция основного состояния AKLT, которая является историческим примером подхода MPS: ^[6] соответствует выбору ^[7]

${\displaystyle A^{+}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}={\begin{bmatrix}0&{\sqrt {2/3}}\\0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{0}={\frac {-1}{\sqrt {3}}}\ \sigma ^{z}={\begin{bmatrix}-1/{\sqrt {3}}&0\\0&1/{\sqrt {3}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}={\begin{bmatrix}0&0\\-{\sqrt {2/3}}&0\end{bmatrix}}}$

где — матрицы Паули , или ${\displaystyle \sigma {\text{'s}}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}-|0\rangle &{\sqrt {2}}|+\rangle \\-{\sqrt {2}}|-\rangle &|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

Основное состояние Маджумдара-Гоша можно записать как MPS с

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&\left|\uparrow \right\rangle &\left|\downarrow \right\rangle \\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\left|\downarrow \right\rangle &0&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|\uparrow \right\rangle &0&0\end{bmatrix}}.}$

• Группа перенормировки матрицы плотности
• Вариационный метод (квантовая механика)
• Перенормировка
• цепь Маркова
• Тензорная сеть

• Обзорная статья с открытым исходным кодом, посвященная алгоритмам, приложениям и программному обеспечению тензорных сетей.
• Состояние Матричных Продуктов Состояний – Physics Stack Exchange
• Практическое введение в тензорные сети: состояния матричных произведений и проецируемые состояния запутанных пар
• Махание руками и интерпретирующий танец: вводный курс по тензорным сетям
• Тензорные сети в двух словах: Введение в тензорные сети